高等數(shù)學(xué)備課教案：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三節(jié)泰勒公式

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1、第三節(jié) 泰勒公式 對于一些比較復(fù)雜的函數(shù),為了便于研究,往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達(dá). 多項(xiàng)式函數(shù)是最為簡單的一類函數(shù),它只要對自變量進(jìn)行有限次的加、減、乘三種算術(shù)運(yùn)算,就能求出其函數(shù)值,因此,多項(xiàng)式經(jīng)常被用于近似地表達(dá)函數(shù),這種近似表達(dá)在數(shù)學(xué)上常稱為逼近. 英國數(shù)學(xué)家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在這方面作出了不朽的貢獻(xiàn). 其研究結(jié)果表明: 具有直到階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)在一個點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的次多項(xiàng)式近似表達(dá). 本節(jié)我們將介紹泰勒公式及其簡單應(yīng)用. 分布圖示 ★ 引言 ★ 多項(xiàng)式逼近 ★ 泰勒中值定理

2、 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 常用函數(shù)的麥克勞林公式 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題3-3 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、問題：設(shè)函數(shù)在含有的開區(qū)間(a, b)內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù), 問是否存在一個n次多項(xiàng)式函數(shù) (3.1) 使得 , (3.2) 且誤差是比高階的無窮小,并給出誤差估計(jì)的具體表達(dá)式. 二

3、、泰勒中值公式 (3.6) 拉格朗日型余項(xiàng) (3.7) 皮亞諾形式余項(xiàng) (3.9) 帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式 (3.12) 從公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式 (3.13) 誤差估計(jì)式(3.8)相應(yīng)變成 (3.14) 例題選

4、講 直接展開法 例1 (E01) 寫出函數(shù)在處的四階泰勒公式. 解 于是其中在1與之間. 例2 (E02) 求的n階麥克勞林公式. 解 注意到代入泰勒公式，得 由公式可知 其誤差 取得 其誤差 例3 (E03) 求的n階麥克勞林公式. 解 由此得 的各階導(dǎo)數(shù)依序循環(huán)地取四個數(shù)令則 其中 取的近似函數(shù)與原函數(shù)圖像比較. 常用初等函數(shù)的麥克勞林公式： 簡介

5、展開法 在實(shí)際應(yīng)用中, 上述已知初等函數(shù)的麥克勞林公式常用于間接地展開一些更復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林公式, 以及求某些函數(shù)的極限等. 例4 (E05) 求 在的泰勒展開式. 解 例5 (E04) 求函數(shù) 的階麥克勞林公式. 解法一 利用求積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式，得 于是 余項(xiàng) 因此，的階麥克勞林公式為 或具有皮亞諾余項(xiàng)的階麥克勞林公式為 解法二 利用的階麥克勞林公式，可間接得到函數(shù)的階麥克勞林公式 例6 求的到麥克勞林展開式. 解 因?yàn)樗? 而及 故 例7 (E06) 計(jì)算 . 解

6、 從而 課堂練習(xí) 1. 利用泰勒公式求極限 . 泰勒（Taylor, Brook，1685~1731）簡介： 泰勒(Taylor,Brook)英國數(shù)學(xué)家。1685年8月18日生于英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市；1731年12月29日卒于倫敦。 泰勒出生于英格蘭一個富有的且有點(diǎn)貴族血統(tǒng)的家庭。父親約翰來自肯特郡的比夫隆家庭。泰勒是長子。進(jìn)大學(xué)之前，泰勒一直在家里讀書。泰勒全家尤其是他的父親，都喜歡音樂和藝術(shù)，經(jīng)常在家里招待藝術(shù)家。這時泰勒一生的工作造成的極大的影響，這從他的兩個主要科學(xué)研究課題：弦振動問題及透視畫法，就可以看出來 。 1701年，泰勒進(jìn)劍橋大

7、學(xué)的圣約翰學(xué)院學(xué)習(xí)。1709年，他獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位。1714年獲法學(xué)博士學(xué)位。1712年，他被選為英國皇家學(xué)會會員，同年進(jìn)入促裁牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭論的委員會。從1714年起擔(dān)任皇家學(xué)會第一秘書，1718年以健康為由辭去這一職務(wù)。 泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721年，因和一位據(jù)說是出身名門但沒有財(cái)才的女人結(jié)婚，遭到父親的嚴(yán)厲反對，只好離開家庭。兩年后，妻子在生產(chǎn)中死去，才又回到家里，1725年，在征得父親同意后，他第二次結(jié)婚，并于1729年繼承了父親在肯特郡的財(cái)才。1730年，第二個妻子也在生產(chǎn)中死去，不過這一次留下了一個女兒。妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去了，安葬在倫

8、敦圣.安教堂墓地。 由于工作及健康上的原因，泰勒曾幾次訪問法國并和法國數(shù)學(xué)家蒙莫爾多次通信討論級數(shù)問題和概率論的問題。1708年，23歲的泰勒得到了“振動中心問題”的解，引起了人們的注意，在這個工作中他用了牛頓的瞬的記號。從1714年到1719年，是泰勒在數(shù)學(xué)牛頓產(chǎn)的時期。他的兩本著作：《正和反的增量法》及《直線透視》都出版于1715年，它們的第二版分別出于1717和1719年。從1712到1724年，他在《哲學(xué)會報》上共發(fā)表了13篇文章，其中有些是通信和評論。文章中還包含毛細(xì)管現(xiàn)象、磁學(xué)及溫度計(jì)的實(shí)驗(yàn)記錄。 在生命的后期，泰勒轉(zhuǎn)向宗教和哲學(xué)的寫作，他的第三本著作《哲學(xué)的沉思》在他死后由外

9、孫W.楊于1793年出版。 泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世。這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來。然而，在半個世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家們并沒有認(rèn)識到泰勒定理的重大價值。這一重大價值是后來由拉格朗日發(fā)現(xiàn)的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。泰勒定理的嚴(yán)格證明是在定理誕生一個世紀(jì)之后，由柯西給出的。 麥克勞林（Maclaurin, Colin，1689~1746）簡介： 麥克勞林（Maclaurin,Colin）是英國數(shù)學(xué)家。1689年2月生于蘇格蘭的基爾莫登；1746年1月卒于愛丁堡。 麥克勞林是一位牧師的

10、兒子，半歲喪父，9歲喪母。由其叔父撫養(yǎng)成人。叔父也是一位牧師。麥克勞林是一個“神童”，為了當(dāng)牧師，他11歲考入格拉斯哥大學(xué)學(xué)習(xí)神學(xué)，但入校不久卻對數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣，一年后轉(zhuǎn)攻數(shù)學(xué)。17歲取得了碩士學(xué)位并為自己關(guān)于重力作功的論文作了精彩的公開答辯；19歲擔(dān)任阿伯丁大學(xué)的數(shù)學(xué)教授并主持該校馬里歇爾學(xué)院數(shù)學(xué)第工作；兩年后被選為英國皇家學(xué)會會員；1722-1726年在巴黎從事研究工作，并在1724年因?qū)懥宋矬w碰撞的杰出論文而榮獲法國科學(xué)院資金，回車后任愛丁堡大學(xué)教授。 1719年，麥克勞林在訪問倫敦時見到了牛頓，從此便成為牛頓的門生。1724年，由于牛頓的大力推薦，他繼續(xù)獲得教授席位。 麥克勞

11、林21歲時發(fā)表了第一本重要著作《構(gòu)造幾何》，在這本書中描述了作圓錐曲線的一些新的巧妙方法，精辟地討論了圓錐曲線及高次平面曲線的種種性質(zhì)。 1742年撰寫的《流數(shù)論》以泰勒級數(shù)作為基本工具，是對牛頓的流數(shù)法作出符合邏輯的、系統(tǒng)解釋的第一本書。此書之意是為牛頓流數(shù)法提供一個幾何框架的，以答復(fù)貝克來大主教等人對牛頓的微積分學(xué)原理的攻擊。 麥克勞林也是一位實(shí)驗(yàn)科學(xué)家，設(shè)計(jì)了很多精巧的機(jī)械裝置。他不但學(xué)術(shù)成就斐然，而且關(guān)于政治，1745年參加了愛丁堡保衛(wèi)戰(zhàn)。 麥克勞林終生不忘牛頓對他的栽培，并為繼承、捍衛(wèi)、發(fā)展牛頓的學(xué)說而奮斗。他曾打算寫一本《關(guān)于伊薩克.牛頓爵士的發(fā)現(xiàn)說明》，但未能完成便去世了。

12、死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛頓推薦”，以表達(dá)他對牛頓的感激之情。 皮亞諾簡介： 皮亞諾，G. （Peano, Giuseppe） 1858年8月27日生于意大利庫內(nèi)奧（Cuneo）附近的斯皮內(nèi)塔（Spinetta）村；1932年4月20日卒于都靈（Turin）. 數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)。 皮亞諾的父母巴爾托洛梅奧（Bartolomeo）和C. 羅斯亞（Rosa）有4男1女，皮亞諾是第二個孩子。他們家以耕作為生，雖處在文盲充斥的農(nóng)村，但皮亞諾的父母有見識且很開朗，讓子女都接受教育。他家住在離省城庫內(nèi)奧3英里的地方，每天皮亞諾和其兄米切勒（Michele）必須步行去省城念書。為了方便孩子們上學(xué)，他

13、父母把家搬到城內(nèi)，直到他最小的妹妹小學(xué)畢業(yè)，才又搬回農(nóng)場。他的舅舅M. 卡瓦羅（Cavallo）是一位牧師和律師，住在都靈。由于皮亞諾勤學(xué)好問，成績優(yōu)異，舅舅接他去都靈讀書。開始時他接受私人教育（包括舅舅的教育）和自學(xué)，使他能于1873年通過卡沃烏爾（Cavour）學(xué)校的初中升學(xué)考試而入了學(xué)。1876年高中畢業(yè)，因成績優(yōu)異獲得獎學(xué)金，進(jìn)入都靈大學(xué)讀書。他先讀工程學(xué)，在修完兩年物理與數(shù)學(xué)之后，決定專攻純數(shù)學(xué)。在校5年，他學(xué)習(xí)的科目十分廣泛。1880年7月他以高分拿到大學(xué)畢業(yè)證書，并留校當(dāng)E。奧維迪奧（D’ovidio）的助教，一年后又轉(zhuǎn)為分析學(xué)家A。杰諾其（Genocchi）教授的助教。1882

14、年春杰諾其摔壞了膝蓋骨，皮亞諾便接替他講授分析課。1884年任都靈大學(xué)微積分學(xué)講師。1890年12月經(jīng)過正規(guī)競爭，皮亞諾成為都靈大學(xué)的臨時性教授，1895年成為正教授，他一直在都靈大學(xué)教書，直到去世。 1887年皮亞諾與卡羅拉·克羅西亞（Crosio·Carola）·結(jié)婚，她是一位畫家的女兒。他們沒有孩子。 皮亞諾是許多科學(xué)協(xié)會的會員，也是意大利皇家學(xué)會會員。他在分析方面的研究頗有成績，是符號邏輯的奠基人，又是國際語的創(chuàng)立者。皮亞諾于1932年4月20日夜里因心絞痛逝世。按照他的意愿，葬禮非常簡樸，他被葬在都靈公墓。1963年，他的遺骸被遷往老家斯皮內(nèi)塔的家族墓地。 皮亞諾作為符號邏輯的

15、先驅(qū)和公理化方法的推行人而著名。他的工作是獨(dú)立于J.W.R.戴德金（Dedekind）而做出的。雖然戴德金也曾發(fā)表過一篇自然數(shù)方面的文章，觀點(diǎn)與皮亞諾的基本相同，但表達(dá)得不如皮亞諾明晰，沒有引人們注意。皮亞諾以簡明的符號及公理體系為數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究開創(chuàng)了新局面。他在邏輯方面的第一篇文章出現(xiàn)在他1888年出版的《幾何演算—基于格拉斯曼的“擴(kuò)張研究”》(Calcolo geometrico secondo 1’Ausdehnungslehre di H. Grassmann)一書中。該文獨(dú)立成章共20頁，是關(guān)于“演繹邏輯的運(yùn)算”（Operations of deductivelogic）的

16、。皮亞諾不同意B.A.W.羅素（Russell）的觀點(diǎn)，而是G。布爾（Boole）、F.W.K.E. 施勒德（Schroder）、C.S.皮爾斯（Peirce）和H. 麥科爾（Mccoll）等人工作的綜合和發(fā)展。1889年皮亞諾的名著《算術(shù)原理新方法》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）出版，在這本小冊子中他完成了對整數(shù)的公理化處理，在邏輯符號上有許多創(chuàng)新，從而使推理更加簡潔。書中他給出了舉世聞名的自然數(shù)公理，成為經(jīng)典之作。1891年皮亞諾創(chuàng)建了《數(shù)學(xué)雜志》（Rivista di Matematica），并在這個雜志上用數(shù)理邏輯符號寫下

17、了這組自然數(shù)公理，且證明了它們的獨(dú)立性。皮亞諾用兩個不定義的概念“1”和“后繼者”及四個公理來定義自然數(shù)，說所謂自然數(shù)是指滿足以下性質(zhì)的集合N中的元素： （1）1是N的一個元，它不是N中任何元的后繼者，若a的后繼者用表示，則對于N中任何a, （2）對于N中任意元a, 存在而且僅存在一個后繼者； （3）對于N中任何, 若則 （4）（歸納公理）N的一個子集合M，若具有以下性質(zhì)：當(dāng)時，有則 19世紀(jì)90年代他繼續(xù)研究邏輯，并向第一屆國際數(shù)學(xué)家大會投了稿。1990年在巴黎的哲學(xué)大會上，皮亞諾和他的合作者C. 布拉利-福爾蒂（Burali-Forti）、A. 帕多阿（Padoa）及M. 皮耶

18、里（Pieri）主持了討論。羅素后來寫道：“這次大會是我學(xué)術(shù)生涯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，因?yàn)樵谶@次大會上我遇到了皮亞諾。” 皮亞諾對20世紀(jì)中期的邏輯發(fā)展起了很大作用，對數(shù)學(xué)做出了卓越的貢獻(xiàn)。 皮亞諾在《數(shù)學(xué)雜志》上公布他和他的追隨者的邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的結(jié)果。他還在上面公布了他的《數(shù)學(xué)公式》（Formulario）的龐大計(jì)劃，并且在這項(xiàng)工作上花費(fèi)了26年的時間。他期望能將他的數(shù)理邏輯記號的若干基本公理出發(fā)建立整個數(shù)學(xué)體系。他使數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)發(fā)生了深刻變化，對布爾巴基學(xué)派產(chǎn)生了很大影響。 皮亞諾的《數(shù)學(xué)公式匯編》（Formulario mathematico）共有5卷，1895—1908年出版，僅第5卷就

19、含有4200條公式和定理，有許多還給出了證明，書中有豐富的歷史與文獻(xiàn)信息，有人稱它為“無盡的數(shù)學(xué)礦藏。”他不是把邏輯作為研究的目標(biāo)，他只關(guān)注邏輯在數(shù)學(xué)中的發(fā)展，稱自己的系統(tǒng)為數(shù)學(xué)的邏輯。 皮亞諾在其他領(lǐng)域中也使用了公理化方法，特別是對幾何。從1889年開始，他對初等幾何采用公理化的處理方法，給出了幾套公理系統(tǒng)。1894年他將這種方法加以延伸，在M.帕施（Pasch）工作的基礎(chǔ)上將幾何中不可定義的項(xiàng)消減為三個（點(diǎn)、線段和運(yùn)動），后來M. 皮耶里（Pieri）在1899年又把幾何中不可定義的項(xiàng)消減為二個（點(diǎn)和運(yùn)動）。 他的許多論文都是對已有的定義和定理給出更加清晰和嚴(yán)格的描述及應(yīng)用，例如188

20、2年H. A. 施瓦茲（Schwarz）引入了曲面的表面積這個概念，但沒有說清楚，一年后皮亞諾獨(dú)立地將曲面表面積的概念清晰化。 皮亞諾引入并推廣了“測度”的概念。1888年開始他將H. G.格拉斯曼（Grassmann）的向量方法推廣應(yīng)用于幾何，他的表述比格拉斯曼清晰得多，對意大利的向量分析研究作了很大的推動。 1890年，皮亞諾發(fā)現(xiàn)一種奇怪的曲線，只要恰當(dāng)選擇函數(shù)和由定義的一條連續(xù)的參數(shù)曲線，當(dāng)參數(shù)t在[0，1]區(qū)間取值時，曲線將遍歷單位正方形中所有的點(diǎn)，得到一條充滿空間的曲線。稍后D。希爾伯特（Hilbert）和皮亞諾還找到另外一些這樣的曲線。 皮亞諾認(rèn)為自己最重要的工作在分析方面。

21、的確，他在分析方面的工作是非常新穎的，有不少是開創(chuàng)性的。1883年他給出了定積分的一個新定義，將黎曼積分定義為黎曼和當(dāng)其最小上界等于最大下界時所取的公共值。這是設(shè)法使積分定義擺脫極限概念所作的努力。1886年他率先證出一階微分方程可解的唯一條件是f的連續(xù)性，并給出稍欠嚴(yán)格的證明。 1890年他又用另一種證法把這一結(jié)果推廣到一般的微分方程組，并給出選擇公理的直接明晰的描述。這比E。F。F。策梅羅(Zermelo)早14年。但皮亞諾拒絕使用選擇公理，因?yàn)樗鰯?shù)學(xué)證明所用的普通邏輯之外。1887年他發(fā)現(xiàn)了解線性微分方程的逐次逼近法，但人們把功勞歸于比他晚一年給出此法的E。皮卡（Picard）.

22、皮亞諾還給出了積分方程的誤差項(xiàng)，并發(fā)展成“漸近算子”的理論，它是解決數(shù)學(xué)方程的一個新方法。1901—1906年之間他就保險數(shù)學(xué)投過稿。作為國家委員會的一員，他曾被請為估計(jì)退休金的金額。1895-1896年他寫過理論力學(xué)方面的文章，其中有幾篇是關(guān)于地球自轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動。他的工作還涉及特殊的行列式、泰勒公式及求積分公式的推廣等等。1893年，皮亞諾發(fā)表了《無窮小分析教程》（Lezioni di analisi infinitesimale），書中的清晰而嚴(yán)格的表述令人嘆服。它與皮亞諾編輯的杰諾其的著作《微分學(xué)與積分學(xué)原理》（Calcolo differenziale e Principii di ca

23、lcolointegrale）被德國的數(shù)學(xué)百科全書列在“自L. 歐拉（Euler）和A. L. 柯西（Cauchy）時代以來最重要的19本微積分教科書”之中。 皮亞諾撰寫的《數(shù)學(xué)百科全書》（Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften）有很多引人注目的地方。例如對微分中值定理的推廣；多變量函數(shù)一致連續(xù)性的判定定理；隱函數(shù)存在定理以及其可微性定理的證明；部分可微但整體不可微的函數(shù)的例子；多變元函數(shù)泰勒展開的條件；當(dāng)時流行的極小理論的反例等。 1900年皮亞諾對國際輔助語發(fā)生了興趣，因?yàn)樗恼Z言能力很強(qiáng)，他曾用英語、意大利語、德語和波蘭語寫各種書

24、評。1903年他在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了對國際語的見解。他想構(gòu)造一種對學(xué)者特別是科學(xué)家通用的國際語言。他認(rèn)為已經(jīng)存在著大量源于拉丁語的科學(xué)詞匯，試圖將選擇每個詞的合式形式。他把拉丁語的詞干加到德語或英語的字中，使學(xué)者們能很快識別出來。他認(rèn)為最好的語法是無語法，主張取消復(fù)雜的詞尾變化。1908年皮亞諾當(dāng)選為國際語協(xié)會的主席，直到去世。他領(lǐng)導(dǎo)這個協(xié)會自由討論，于1919年出版了《拉丁語意大利語-法語-英語-德語公共詞匯》(Vocabulario Commune ad Latino-italiano-francais-englishdeutsch), 其中含有14000個詞條，皮亞諾把自己后期的精力絕

25、大部分用在這項(xiàng)工作上。他被譽(yù)為國際語的創(chuàng)立者。 皮亞諾的教學(xué)工作也很出色，因此曾被軍事學(xué)院和理工學(xué)院聘去兼課。他對教育有濃厚的興趣，并做出一些貢獻(xiàn)。他堅(jiān)決反對向?qū)W生施加過重的壓力，1912年他針對小學(xué)曾發(fā)表過“反對考試”的短文，他說：“用考試來折磨可憐的學(xué)生，要他們掌握一般受過教育的成人都不知道的東西，真是對人性的犯罪……。同樣的原則也適應(yīng)于中學(xué)和大學(xué)?！彼荜P(guān)心教學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性，他認(rèn)為定義一定要準(zhǔn)確清晰，證明必須正確無誤，可以省去那些困難的內(nèi)容。他在中學(xué)數(shù)學(xué)教師中間組織了一系列的討論，試圖促進(jìn)數(shù)學(xué)教育向清晰、精確和簡單化方向發(fā)展。 皮亞諾還注意研究數(shù)學(xué)史，他曾給出關(guān)于數(shù)學(xué)術(shù)語出處的精辟論述。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，他常介紹數(shù)學(xué)史知識，挖掘G。W。萊布尼茨（Leibniz）、I。牛頓（Newton）等人的數(shù)學(xué)思想，對同時代的人影響很大。 皮亞諾還和他的《數(shù)學(xué)公式》的合作者們一趕，創(chuàng)辦了一所學(xué)校。他的學(xué)識和對學(xué)生的寬容，使他吸引了一批在數(shù)學(xué)和哲學(xué)上興趣相投的人，形成他的學(xué)派，該學(xué)派對數(shù)理邏輯與向量分析在意大利的發(fā)展起過重大作用。