高考數學大二輪刷題首選卷文數文檔：第一部分 考點二十 坐標系與參數方程 Word版含解析

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1、 考點二十　坐標系與參數方程 解答題 1．在直角坐標系xOy中，直線l：y＝x，圓C： (φ為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求直線l與圓C的極坐標方程； (2)設直線l與圓C的交點為M，N，求△CMN的面積． 解　(1)將C的參數方程化為普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)， 圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0， 得ρ2＋3ρ＋4＝0，解得ρ1＝－2，ρ2＝－

2、， |MN|＝|ρ1－ρ2|＝， ∵圓C的半徑為1， ∴△CMN的面積為××1×sin＝. 2．已知在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t是參數)．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為 ρ＝4cosθ. (1)求曲線C1的普通方程及曲線C2的直角坐標方程并說明各曲線名稱； (2)判斷曲線C1與曲線C2的位置關系？若相交，求出弦長． 解　(1)由消去t得x－2y－3＝0， 所以曲線C1的普通方程為x－2y－3＝0，是斜率為的直線． 由ρ＝4cosθ兩邊同乘以ρ得ρ2＝4ρcosθ， 所以x2＋y2＝4x，配方得(x－2)2＋

3、y2＝4， 即曲線C2的普通方程為(x－2)2＋y2＝4，是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓． (2)由(1)知，曲線C2：(x－2)2＋y2＝4的圓心為(2,0)，半徑為2，由點到直線的距離公式得，圓心(2,0)到直線x－2y－3＝0的距離為d＝＝<2， 所以曲線C1與曲線C2相交，弦長為2 ＝. 3．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程是(θ為參數)，以射線Ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcosθ－ρsinθ－＝0. (1)求曲線C的普通方程，及直線l的參數方程； (2)求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長． 解　(1)曲線C的參數方程化成普通方程為＋＝1

4、， 因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以l的直角坐標方程為x－y－＝0，其傾斜角為，過點(，0)， 所以直線方程化成參數方程為(t為參數，且t∈R)． (2)將代入＋＝1， 得7t2＋6t－6＝0， Δ＝(6)2－4×7×(－6)＝384>0， 設方程的兩根是t1，t2，則t1＋t2＝－，t1t2＝－， 所以AB＝|t1－t2|＝ ＝＝. 故直線l與曲線C相交所得的弦AB的長為. 4．(2019·全國卷Ⅲ)如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分

5、別寫出M1，M2，M3的極坐標方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標． 解　(1)由題設可得，弧，，所在圓的極坐標方程分別為ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ， 所以M1的極坐標方程為ρ＝2cosθ， M2的極坐標方程為ρ＝2sinθ， M3的極坐標方程為ρ＝－2cosθ. (2)設P(ρ，θ)，由題設及(1)知 若0≤θ≤，則2cosθ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sinθ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cosθ＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標為或或或. 5．(2019·河南洛陽第三次統(tǒng)考)已知極點與坐

6、標原點O重合，極軸與x軸非負半軸重合，M是曲線C：ρ＝2sinθ上任一點，點P滿足＝3.設點P的軌跡為曲線Q. (1)求曲線Q的平面直角坐標方程； (2)已知曲線Q向上平移1個單位后得到曲線N，設曲線N與直線l：(t為參數)相交于A，B兩點，求|OA|＋|OB|的值． 解　(1)設P(ρ，θ)，∵＝3，∴點M的極坐標為，代入曲線C，得＝2sinθ， 即曲線Q的極坐標方程為ρ＝6sinθ， ∵ρ2＝6ρsinθ，∴x2＋y2＝6y，∴x2＋(y－3)2＝9， ∴曲線Q的平面直角坐標方程為x2＋(y－3)2＝9. (2)曲線Q向上平移1個單位后得到曲線N的方程為 x2＋(y－4)2

7、＝9.l的參數方程化為 兩方程聯(lián)立得t2－4t＋7＝0， ∴t1＋t2＝4，t1t2＝7， ∴|OA|＋|OB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝4. 6．(2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(t為參數)．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐標方程； (2)求C上的點到l距離的最小值． 解　(1)因為－1<≤1， 且x2＋2＝2＋＝1， 所以C的直角坐標方程為x2＋＝1(x≠－1)， l的直角坐標方程為2x＋y＋11＝0. (2)由(1)可設C的參數方

8、程為(α為參數，－π<α<π)． C上的點到l的距離為 ＝. 當α＝－時，4cos＋11取得最小值7， 故C上的點到l距離的最小值為. 解答題 1．(2019·全國卷Ⅱ)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當θ0＝時，求ρ0及l(fā)的極坐標方程； (2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程． 解　(1)因為M(ρ0，θ0)在曲線C上， 當θ0＝時，ρ0＝4sin＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos＝2. 設Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點．連接O

9、Q， 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經檢驗，點P在曲線ρcos＝2上， 所以，l的極坐標方程為ρcos＝2. (2)設P(ρ，θ)，在Rt△OAP中， |OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ. 因為P在線段OM上，且AP⊥OM， 所以θ的取值范圍是. 所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cosθ，θ∈. 2．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)，圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求直線l及圓C的極坐標方程； (2)若直線l與圓C交于A，B兩點，求cos∠AOB

10、的值． 解　(1)由直線l的參數方程得，其普通方程為y＝x＋2， ∴直線l的極坐標方程為ρsinθ＝ρcosθ＋2. 又∵圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5， 將代入并化簡得ρ＝4cosθ＋2sinθ， ∴圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ＋2sinθ. (2)將直線l：ρsinθ＝ρcosθ＋2， 與圓C：ρ＝4cosθ＋2sinθ聯(lián)立，得(4cosθ＋2sinθ)(sinθ－cosθ)＝2， 整理得sinθcosθ＝3cos2θ， ∴θ＝或tanθ＝3. 不妨記點A對應的極角為，點B對應的極角為θ，且tanθ＝3. 于是，cos∠AOB＝cos＝sinθ＝.

11、3．(2019·湖北4月調研)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α是參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sinθ. (1)求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)若射線θ＝β與曲線C1交于O，A兩點，與曲線C2交于O，B兩點，求|OA|＋|OB|取最大值時tanβ的值． 解　(1)由得x2－2x＋y2＝0， 將代入得ρ＝2cosθ， 故曲線C1的極坐標方程為ρ＝2cosθ. 由ρ＝4sinθ得ρ2＝4ρsinθ， 將代入得x2＋y2＝4y， 故曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0. (2)設

12、點A，B的極坐標分別為(ρ1，θ)，(ρ2，θ)，將θ＝β分別代入曲線C1，C2的極坐標方程得ρ1＝2cosβ，ρ2＝4sinβ， 則|OA|＋|OB|＝2cosβ＋4sinβ＝2＝2sin(β＋φ)， 其中φ為銳角，且滿足sinφ＝，cosφ＝， 當β＋φ＝時，|OA|＋|OB|取最大值， 此時β＝－φ，tanβ＝tan＝＝＝＝. 4．已知直線l的參數方程為(t為參數，0≤φ<π)，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝1，l與C交于不同的兩點P1，P2. (1)求φ的取值范圍； (2)以φ為參數，求線段P1P2中點M的軌跡的參數方程． 解

13、　(1)曲線C的極坐標方程為ρ＝1， 根據ρ2＝x2＋y2可得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝1，將代入x2＋y2＝1， 得t2－4tsinφ＋3＝0.　(*) 由Δ＝16sin2φ－12>0得|sinφ|>. 又0≤φ<π，所以φ的取值范圍是. (2)由(1)中的(*)可知＝2sinφ， 代入得 整理得P1P2中點M的軌跡的參數方程為 . 5．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數，0≤α<π)，在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ2＝. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)設點M的坐標為(1,0)，直線l與曲線C

14、相交于A，B兩點，求＋的值． 解　(1)曲線ρ2＝，即ρ2＋ρ2sin2θ＝2， ∵ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)， ∴曲線C的直角坐標方程為x2＋2y2＝2， 即＋y2＝1. (2)將代入x2＋2y2＝2并整理得 (1＋sin2α)t2＋2tcosα－1＝0， ∴t1＋t2＝－，t1·t2＝， ∴＋＝＝＝， ∵|t1－t2|＝＝ ＝， ∴＋＝＝2. 6．(2019·江西省名校5月聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數方程為(t為參數，a∈R)，以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.

15、 (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)已知曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數a的值． 解　(1)C1的參數方程為消參得普通方程為x－y－a＋1＝0，C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，兩邊同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x，所以曲線C2的直角坐標方程為y2＝4x. (2)曲線C1的參數方程可轉化為(t為參數，a∈R)，代入曲線C2：y2＝4x， 得t2－t＋1－4a＝0，由Δ＝(－)2－4××(1－4a)>0，得a>0， 設A，B對應的參數分別為t1，t2， 由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2， 當t1＝2t2時，解得a＝； 當t1＝－2t2時，解得a＝， 綜上，a＝或.