《大學數(shù)學：2-3 高階導數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學數(shù)學：2-3 高階導數(shù)（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三節(jié)第三節(jié) 高階導數(shù)高階導數(shù) 一、高階導數(shù)的概念一、高階導數(shù)的概念 二、高階導數(shù)的運算法則二、高階導數(shù)的運算法則 一、高階導數(shù)的概念一、高階導數(shù)的概念)(tss 速度速度即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即即)( sa引例：引例：變速直線運動變速直線運動機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義.若函數(shù)若函數(shù))(xfy 的導數(shù)的導數(shù))(xfy可導可導, ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy類似地類似地 , 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù) ,1n階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)稱為 n 階導數(shù)階導數(shù) ,y ,)4(y
2、)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二階導數(shù)二階導數(shù) , 記作記作y )(xf 的導數(shù)為的導數(shù)為依次類推依次類推 ,分別記作分別記作則稱則稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例1.可推可推:, )(為任意常數(shù)xy nnxnx) 1()2)(1()()(可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 進一步可推：進一步可推：(1)0ny,3xaeay 例例2. 設(shè)設(shè)求解解:特別有特別有:,xaey .)(ny,xa
3、eay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nx)1 ( 解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:例例3. 設(shè)設(shè), )1(lnxy求求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè),sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)
4、(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、高階導數(shù)的運算法則二、高階導數(shù)的運算法則都有 n 階導數(shù) , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1(推導 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學歸納法可證用數(shù)學歸納
5、法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立成立 . .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. ,22xexy 求.)20(y解解: 設(shè),22xveux則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題思考題:設(shè)設(shè) 連續(xù)連續(xù),且且 ,)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 解答解答)(xg可導可導)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 練習題：練習題：( )(1)(2)(2012),( )( )( )f xx xxxfff（2013）（2014）已知求：， P103 EX3（2）、）、4
大學數(shù)學：2-3 高階導數(shù)
