2018年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員系列 專題29 尺規(guī)作圖（含解析）

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1、 考點(diǎn)二十九：尺規(guī)作圖 聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解 1．尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺 2．基本作圖 (1)作一條線段等于已知線段，以及線段的和﹑差； (2)作一個(gè)角等于已知角，以及角的和﹑差； (3)作角的平分線； (4)作線段的垂直平分線； (5)過一點(diǎn)作已知直線的垂線． 3．利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊作三角形； (2)已知兩邊及其夾角作三角形； (3)已知兩角及其夾邊作三角形； (4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形； (5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形． 4．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖 (1)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓)

2、； (2)作三角形的內(nèi)切圓； (3)作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形． 5．有關(guān)中心對稱或軸對稱的作圖以及設(shè)計(jì)圖案是中考的常見類型 6．作圖的一般步驟 尺規(guī)作圖的基本步驟： (1)已知：寫出已知的線段和角，畫出圖形； (2)求作：求作什么圖形，它符合什么條件，一一具體化； (3)作法：應(yīng)用“五種基本作圖”，敘述時(shí)不需重述基本作圖的過程，但圖中必須保留基本作圖的痕跡； (4)證明：為了驗(yàn)證所作圖形的正確性，把圖作出后，必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等，結(jié)合作法來證明所作出的圖形完全符合題設(shè)條件； (5)討論：研究是不是在任何已知的條件下都能作出圖形；在哪些情況下，問題有一個(gè)解、多

3、個(gè)解或者沒有解； (6)結(jié)論：對所作圖形下結(jié)論． 名師點(diǎn)睛☆典例分類 考點(diǎn)典例一、應(yīng)用角平分線、線段的垂直平分線性質(zhì)畫圖 【例1】（2017四川自貢第22題）兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B與一條公路CD，一條河流CE的位置如圖所示，某人要修建一避暑山莊，要求該山莊到A，B的距離必須相等，到CD和CE的距離也必須相等，且在∠DCE的內(nèi)部，請畫出該山莊的位置P．（不要求寫作法，保留作圖痕跡．） 【答案】作圖見解析． 【解析】 試題分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：到CD和CE的距離相等的點(diǎn)在∠DCE的角平分線上，所以第一步作：∠ECD的平分線CF； 根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得：到A、B的距離相等的點(diǎn)在A

4、B的垂直平分線上，所以第二步作線段AB的垂直平分線MN，其交點(diǎn)就是P點(diǎn). 試題解析：作法：①作∠ECD的平分線CF， ②作線段AB的中垂線MN， ③MN與CF交于點(diǎn)P，則P就是山莊的位置． 考點(diǎn)：作圖設(shè)計(jì)． 【點(diǎn)睛】本題借助實(shí)際場景，考查了幾何基本作圖的能力，考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用． 【舉一反三】 （2017黑龍江綏化第22題）如圖，為某公園的三個(gè)景點(diǎn)，景點(diǎn)和景點(diǎn)之間有一條筆直的小路，現(xiàn)要在小路上建一個(gè)涼亭，使景點(diǎn)、景點(diǎn)到?jīng)鐾さ木嚯x之和等于景點(diǎn)到景點(diǎn)的距離．請用直尺和圓規(guī)在所給的圖中作出點(diǎn)．(不寫作法和證明，只保留作圖痕跡) 【答案】作圖見解析.

5、【解析】 考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖． 考點(diǎn)典例二、畫已知直線的平行線，垂線 【例2】（北京市燕山區(qū)2017屆九年級一模）下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程. 請回答：該作圖依據(jù)是__________________________________________________． 【答案】四邊相等的四邊形是菱形，菱形對邊平行， 兩點(diǎn)確定一條直線 【解析】四邊相等的四邊形是菱形，菱形對邊平行， 兩點(diǎn)確定一條直線。 【點(diǎn)睛】尺規(guī)作圖經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線，實(shí)際上就是基本作圖：作一個(gè)角等于已知角． 【例3】（北京市海淀區(qū)2017-2

6、018學(xué)年九年級上學(xué)期期中）下面是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過程. 已知： . 求作： 邊上的高 作法：如圖， (1)分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于， 兩點(diǎn)； (2)作直線，交于點(diǎn)； (3)以為圓心， 為半徑⊙O,與CB的延長線交于點(diǎn)D，連接AD，線段AD即為所作的高. 請回答；該尺規(guī)作圖的依據(jù)是___________________________________________________ 【答案】①到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；②直徑所對的圓周角是直角；③兩點(diǎn)確定一條直線. 【解析】由（1）（2）（3）可得OA=OC=

7、OD，所以A、D、C在以O(shè)為圓心，AC為直徑的圓上，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠ADC=90°，即AD為BC邊上的高. 故答案為：①到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；②直徑所對的圓周角是直角；③兩點(diǎn)確定一條直線. 【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖時(shí)在五種基本作圖的基礎(chǔ)上你進(jìn)行作圖，一般是幾何了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作. 【舉一反三】 （2017浙江衢州第7題）下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角等于已知角；②作一個(gè)角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；

8、④過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線，則對應(yīng)選項(xiàng)中作法錯(cuò)誤的是（　?。? A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C. 考點(diǎn)：基本作圖. 考點(diǎn)典例三、畫三角形 【例4】（2017江蘇無錫第24題）如圖，已知等邊△ABC，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）： （1）作△ABC的外心O； （2）設(shè)D是AB邊上一點(diǎn)，在圖中作出一個(gè)正六邊形DEFGHI，使點(diǎn)F，點(diǎn)H分別在邊BC和AC上． 【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)垂直平分線的作法作出AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)O即為所求； （2）過

9、D點(diǎn)作DI∥BC交AC于I，分別以D，I為圓心，DI長為半徑作圓弧交AB于E，交AC于H，過E點(diǎn)作EF∥AC交BC于F，過H點(diǎn)作HG∥AB交BC于G，六邊形DEFGHI即為所求正六邊形． 試題解析：（1）如圖所示：點(diǎn)O即為所求． （2）如圖所示：六邊形DEFGHI即為所求正六邊形． 考點(diǎn)：1.作圖—復(fù)雜作圖；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.三角形的外接圓與外心． 【點(diǎn)睛】(1)作三角形包括：①已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；②已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；③已知三角形的三邊，求作三角形； (2)求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點(diǎn)；而求作直角三角形時(shí)，一般先作出直角，然

10、后根據(jù)條件作出所求的圖形． 【舉一反三】 已知：線段a、c和∠β（如圖），利用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不寫作法，保留作圖痕跡）． 【答案】作圖見解析. 【解析】 試題分析：先作∠MBN=∠β，再在∠MBN的兩邊上分別截取BC=a，AB=c，連接AC即可． 試題解析： 考點(diǎn)：作圖—基本作圖． 考點(diǎn)典例四、通過畫圖確定圓心 【例5】（2017浙江嘉興同學(xué)19題）如圖，已知，． （1）在圖中，用尺規(guī)作出的內(nèi)切圓，并標(biāo)出與邊，，的切點(diǎn)，，（保留痕跡，不必寫作法）； （2）連接，，求的度數(shù)． 【答案】（1）作圖見解析；（2）70°

11、． 【解析】 試題分析：（1）直接利用基本作圖即可得出結(jié)論； （2）利用四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 試題解析：（1）如圖1， ⊙O即為所求． （2）如圖2， 連接OD，OE， ∴OD⊥AB，OE⊥BC， ∴∠ODB=∠OEB=90°， ∵∠B=40°， ∴∠DOE=140°， ∴∠EFD=70°． 考點(diǎn)：1.作圖—復(fù)雜作圖；2.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心． 【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜的尺規(guī)作圖，角平分線，線段中垂線及圓，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)圓周心作出圓． 【舉一反三】 (浙江省杭州市余杭區(qū)2017屆九年級上學(xué)期期中) 如圖，（1）作△ABC的外接

12、⊙O（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半徑． 【答案】（1）（1）作圖見解析；（2） 【解析】試題分析：（1）作線段AB于BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為圓心，OA為半徑，作△ABC的外接圓即可； （2）先根據(jù)勾股定理求出CD的長，設(shè)OC=OA=r，則OD=CD-r，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r的值即可． 試題解析：（1）如圖，⊙O即為所求； （2）∵AB=6cm，AC=BC=5cm， ∴AD=AB=3cm， ∴CD==4cm． 設(shè)OC=OA=r，則OD=4-r， 在Rt△AOD中， ∵AD2

13、+OD2=OA2，即32+（4-r）2=r2，解得r=． 課時(shí)作業(yè)☆能力提升 1．（2017廣西四市）如圖，△ABC中，AB＞AC，∠CAD為△ABC的外角，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC 【答案】D． 【解析】 試題分析：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得∠DAE=∠B，故A選項(xiàng)正確，∴AE∥BC，故C選項(xiàng)正確，∴∠EAC=∠C，故B選項(xiàng)正確，∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D． 考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖；平行線的判定與

14、性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)． 2．（2016-2017學(xué)年江蘇鹽城東臺市第二教育聯(lián)盟初二上10月考）用尺規(guī)作圖，不能作出唯一直角三角形的是（ ）. A．已知兩條直角邊 B．已知兩個(gè)銳角 C．已知一直角邊和直角邊所對的一銳角 D．已知斜邊和一直角邊 【答案】B． 考點(diǎn)：作圖——復(fù)雜作圖． 3．（河南省駐馬店市確山縣2017-2018學(xué)年八年級上學(xué)期期中）如圖，已知鈍角?ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡. 步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫?、?； 步驟2：以B為圓心，BA為半徑畫弧②，交?、儆邳c(diǎn)D； 步驟3：連接A

15、D，交BC延長線于點(diǎn)H. 下列敘述正確的是（ ） A. AC平分∠BAD B. BH垂直平分線段AD C. D. AB=AD 【答案】B 【解析】解：①、錯(cuò)誤．CA不一定平分∠BAD． ②、正確．如圖連接CD、BD．∵CA=CD，BA=BD，∴點(diǎn)C、點(diǎn)B在線段AD的垂直平分線上，∴直線BC是線段AD的垂直平分線，故A正確． ③、錯(cuò)誤．應(yīng)該是S△ABC=?BC?AH． ④、錯(cuò)誤．根據(jù)條件AB不一定等于AD． 故選B． 點(diǎn)睛：本題考查作圖﹣基本作圖、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握證明線段垂直平分線的證明方法． 4．（福建省晉江市2

16、017年初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查）已知點(diǎn)，點(diǎn)都在直線的上方，試用尺規(guī)作圖在直線上求作一點(diǎn)，使得 的值最小，則下列作法正確的是( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如圖，由作圖可知，B，B＇關(guān)于直線對稱，所以BP= B＇P,此時(shí)AP +PB＇=AP+PB值最小. 5．（2017湖北隨州）如圖，用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫?、?，分別交OA、OB于點(diǎn)E、F，那么第二步的作圖痕跡②的作法是（　?。? A. 以點(diǎn)F為圓心，OE長為半徑畫弧 B. 以點(diǎn)F為圓心，EF長為半徑畫弧 C. 以點(diǎn)E為圓心，OE長

17、為半徑畫弧 D. 以點(diǎn)E為圓心，EF長為半徑畫弧 【答案】D 【解析】解：用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫?、?，分別交OA、OB于點(diǎn)E、F，第二步的作圖痕跡②的作法是以點(diǎn)E為圓心，EF長為半徑畫?。蔬xD． 6．（浙江省溫州市鹿城區(qū)第二十三中學(xué)2017學(xué)年H上八年級期中）如圖，用尺規(guī)作圖作“一個(gè)角等于已知角”的原理是：因?yàn)?所以.由這種作圖方法得到的和全等的依據(jù)是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】根據(jù)作圖方法可知：D' O' =DO， O' C'=OC，D'C'=DC，根

18、據(jù)SSS即可得，故選A. 7．（2017屆浙江省杭州市淳安縣中考模擬）尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無數(shù)人沉湎期中，連當(dāng)年叱咤風(fēng)云的拿破侖也不例外，我們可以只用圓規(guī)將圓等分。例如可將圓6等分，如圖只需在⊙O上任取點(diǎn)A，從點(diǎn)A開始，以⊙O的半徑為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)B,C,D,E,F.從而點(diǎn)A,B,C,D,E,F把⊙O六等分。下列可以只用圓規(guī)等分的是（ ） ①兩等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分 A. ② B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】經(jīng)過圓心的直徑可將圓周兩等分；畫一條直徑，以直徑的一個(gè)端點(diǎn)為圓心，以圓的

19、半徑為半徑畫弧，與原有圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)與直徑另一個(gè)端點(diǎn)就是圓的三等分點(diǎn)；畫兩條互相垂直的直徑就可以將圓四等分；五等分圓如下圖所示： 8．（山東省日照市莒縣2016-2017學(xué)年期末）下列尺規(guī)作圖，能判斷AD是△ABC邊上的高是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析：過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，故選B． 考點(diǎn)：作圖—基本作圖． 9．（浙江省麗水市青田縣八校聯(lián)盟2017屆九年級上學(xué)期第二次教學(xué)效果調(diào)研）已知線段AB,下列尺規(guī)作圖中,PQ與AB的交點(diǎn)O不一定是AB的中點(diǎn)的是( ) A. A B. B

20、C. C D. D 【答案】C 10．（2017湖北宜昌卷）如圖，在中，尺規(guī)作圖如下：分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn),連接，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．平分 B．垂直平分 C. 垂直平分 D．平分 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)線段垂直平分線的作法可得，GH垂直平分線段EF． 故選：C． 考點(diǎn)：1、作圖—基本作圖；2、線段垂直平分線的性質(zhì) 11．（浙江省杭州市青春中學(xué)2016-2017學(xué)年八年級上學(xué)期期中）如圖，用尺規(guī)作圖作“一個(gè)角等于已知角”的原理是：因?yàn)椤鱀′O′

21、C′≌△DOC，所以∠D′O′C′＝∠DOC。由這種作圖方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依據(jù)是___（寫出全等判定方法的簡寫） 【答案】SSS 【解析】由題意得，， 得△D′O′C′△DOC. 12．（2017年初中畢業(yè)升學(xué)考試河北卷）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算∠α=___°． 【答案】56 【解析】試題分析：如圖，根據(jù)作圖痕跡可知，GH垂直平分AC，AG平分∠CAD. ∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ABC=68°。 ∵AG平分∠CAD，∴∠CAG=∠CAD=34°。 ∵GH垂直平分AC，∴∠AHG=90°，∴∠AGH=90°-34°=

22、56°。 ∵∠α=∠AGH，∴∠α=56°。 考點(diǎn)：尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，角平分的定義，直角三角形的性質(zhì). 13．（2017年北京懷柔初三數(shù)學(xué)二模）下面是一道確定點(diǎn)P位置的尺規(guī)作圖題的作圖過程. 如圖，直線L1與L2相交于點(diǎn)O，A,B是L2上兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線L1上的點(diǎn)，且∠APB=30°，請?jiān)趫D中作出符合條件的點(diǎn)P. 作法：如圖， （1）以AB為邊在L2上方作等邊△ABC； （2）以C 為圓心，AB長為半徑作⊙C交直線L1于P1，P2兩點(diǎn). 則P1、P2就是所作出的符合條件的點(diǎn)P. 請回答:該作圖的依據(jù)是______________________________

23、________________________. 【答案】一條弧所對圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半. 【解析】∵△ABC是等邊三角形， ∴∠C=60°， ∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30° 依據(jù)是：一條弧所對圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半. 14.（2017甘肅慶陽第21題）如圖，已知△ABC，請用圓規(guī)和直尺作出△ABC的一條中位線EF（不寫作法，保留作圖痕跡）． 【答案】作圖見解析 【解析】 試題分析：作線段AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)E，作AC的垂直平分線得到線段AC的中點(diǎn)F．線段EF即為所求． 試題解析：如圖，△ABC的一條中位線EF如圖所示， 方法：

24、作線段AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)E，作AC的垂直平分線得到線段AC的中點(diǎn)F．線段EF即為所求． 考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖；三角形中位線定理． 15.（2017廣西貴港第20題）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）： 已知線段和，點(diǎn) 在上（如圖所示）. （1）在邊上作點(diǎn)，使 ； （2）作的平分線； （3）過點(diǎn)作的垂線. 【答案】作圖見解析. 【解析】 試題分析：（1）在OA上截取OP=2a即可求出點(diǎn)P的位置； （2）根據(jù)角平分線的作法即可作出∠AOB的平分線； （3）以M為圓心，作一圓與射線OB交于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)分別為圓心，作兩個(gè)相等半徑的圓交于D點(diǎn)，連接MD即為O

25、B的垂線； 試題解析：（1）點(diǎn)P為所求作； （2）OC為所求作； （3）MD為所求作； 考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖． 16.（2017湖北孝感第20題）如圖，已知矩形 . （1）請用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡： ①以點(diǎn)為圓心，以的長為半徑畫弧交邊于點(diǎn)，連接； ②作的平分線交 于點(diǎn)； ③連接; （2）在（1）作出的圖形中，若，則的值為 . 【答案】（1）畫圖見解析；（2） . 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題目要求作圖即可； （2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，可證△DAF≌△EAF得∠D=∠AEF=90°，即可得∠F

26、EC=∠BAE，從而由tan∠FEC=tan∠BAE=可得答案． 試題解析：（1）如圖所示； 考點(diǎn)：1.作圖﹣基本作圖；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.解直角三角形. 17.（2017貴州六盤水第25題）如圖，是的直徑，，點(diǎn)在上，，為的中點(diǎn)，是直徑上一動點(diǎn). (1)利用尺規(guī)作圖，確定當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)的位置(不寫作法，但要保留作圖痕跡). (2)求的最小值. 【答案】（1）詳見解析；(2)2. 試題分析：(1)畫出A點(diǎn)關(guān)于MN的稱點(diǎn),連接B,就可以得到P點(diǎn); (2)利用得∠AON=∠=60°，又為弧AN的中點(diǎn),∴∠BON=30°，所以∠ON=90°，再求最小值． 試題解析：

27、 (1)如圖，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn). (2)由（1）可知，的最小值為的長， 連接,OB、OA ∵A點(diǎn)關(guān)于MN的稱點(diǎn)，∠AMN=30°， ∴ 又∵為的中點(diǎn) ∴ ∴ ∴ 又∵M(jìn)N=4 ∴ 在Rt△中， 即的最小值為2. 考點(diǎn)：圓，最短路線問題． 18.（2017江蘇鹽城第24題）如圖，△ABC是一塊直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，現(xiàn)將圓心為點(diǎn)O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部． （1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時(shí)，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡） （2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1

28、周，回到起點(diǎn)位置時(shí)停止，若BC=9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運(yùn)動的路徑長． 【答案】（1）作圖見解析；（2）15+． 【解析】 試題分析：（1）作∠ACB的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心O，作射線CO即可； （2）添加如圖所示輔助線，圓心O的運(yùn)動路徑長為C△OO1O2，先求出△ABC的三邊長度，得出其周長，證四邊形OEDO1、四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，從而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案． 試題解析：（1）如圖①所示，射線OC即為所求

29、； （2）如圖，圓心O的運(yùn)動路徑長為C△OO1O2， 過點(diǎn)O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D、F、G， 過點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接O2B， 過點(diǎn)O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分別為點(diǎn)H、I， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°， ∴AC=，AB=2BC=18，∠ABC=60°， ∴C△ABC=9+9+18=27+9， ∵O1D⊥BC、O1G⊥AB， ∴D、G為切點(diǎn)， ∴BD=BG， 在Rt△O1BD和Rt△O1BG中， ∵， ∴△O1BD≌△O1BG（HL）， ∴∠O1BG=∠O1BD=30°，

30、 在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°， ∴BD=， ∴OO1=9-2-2=7-2， ∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC， ∴O1D∥OE，且O1D=OE， ∴四邊形OEDO1為平行四邊形， ∵∠OED=90°， ∴四邊形OEDO1為矩形， 同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形， 又OE=OF， ∴四邊形OECF為正方形， ∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°， ∴∠GO1D=120°， 又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°， ∴∠OO1O2=360°-90°-90°=60°=∠ABC， 同

31、理，∠O1OO2=90°， ∴△OO1O2∽△CBA， ∴，即， ∴C△OO1O2=15+，即圓心O運(yùn)動的路徑長為15+． 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖． 19.（2017甘肅蘭州第22題）在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程： 已知：直線和外一點(diǎn) 求作：直線的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn). 做法：如圖：(1)在直線上任取兩點(diǎn)、； (2)分別以點(diǎn)、為圓心，，長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)； (3)作直線. 參考以上材料作圖的方法，解決以下問題： (1)以上材料作圖的依據(jù)是 . (3)已知：直線和外一點(diǎn)， 求作：，使它與直線相切。(尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑) 【答案】（1）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；（2）作圖見解析. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得答案； （2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，可得答案． 試題解析：（1）以上材料作圖的依據(jù)是：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等， （2）如圖． 考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖；切線的判定． 24