2018年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)卷 三角形(含解析)

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1、 三角形 一、選擇題 1.在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為(?? ) A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8 【答案】A 【解析】 :∵在直角三角形中,勾為3,股為4, ∴弦為 故答案為:A. 【分析】根據(jù)在直角三角形中,勾是最短的直角邊,股是長的直角邊,弦是斜邊,知道勾和股利用勾股定理,即

2、可得出答案。 2.在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AC=8,BD=10,那么BC的取值范圍是(? ??) A.8

3、 ?) A.?80°?????????????????????????????????????B.?100°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?140° 【答案】B 【解析】 如圖,延長BC交AD于點(diǎn)E, ∵∠BCD=∠D+∠DEC,∠DEC=∠A+∠B, ∴∠BCD=∠A+∠B+∠D, ∵∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°, ∴∠BCD=50°+20°+30°=100°, 故答案為:B. 【分析】延長BC交AD于點(diǎn)E,根據(jù)三角

4、形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC,∠DEC=∠A+∠B,所以∠BCD=∠A+∠B+∠D,由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。 4.如圖,BE∥AF,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn),且DC⊥BE于點(diǎn)C,若∠A=35°,則∠ADC的度數(shù)( ??) A.?105°????????????????????????????????????B.?115°????????????????????????????????????C.?125°????????????????????????????????????D.?135° 【答案】C 【解析】 :∵

5、BE∥AF,∴∠B=∠A=35°.∵DC⊥BE,∴∠DCB=90°,∴∠ADC=90°+35°=125°.故答案為:C.【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠A=35°,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。 5.如圖,在Rt ABC中,∠ACB=900,BC=2.將 ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ ,使點(diǎn)B’落在AC邊上.設(shè)M是 的中點(diǎn),連接BM,CM, BCM的面積為(?? ) A.?1???????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????

6、??????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4 【答案】A 【解析】 :過點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D ∴∠MDA=90° ∵M(jìn)是 B′C′ 的中點(diǎn) ∴A'M=A′B′ ∵△ ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A ′B ′C ′ ∴BC=BC=2,∠ACB=∠ACB=90°=∠MDA ∴MD∥AC ∴ ∴MD=1 ∴S△BCM=BCMD=×2×1=1 故答案為;A 【分析】過點(diǎn)M作MD⊥A ' B于點(diǎn)D,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可證得BC=B 'C=2,∠ACB=∠A ' CB ' =90°=∠

7、MDA ',再根據(jù)平行線分線段成比例及線段中點(diǎn)的定義,可得線段成比例,求出MD的長,然后利用三角形的面積公式,求解即可。 6.如圖, ABC中,正方形DEFG的頂點(diǎn)D,G分別在AB,AC上,頂點(diǎn)E,F(xiàn)在BC上.若△ADG、△BED、△CFG的面積分別是1、3、1,則正方形的邊長為(?? ) A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????D.?2 【答案】C 【解析】 :過

8、A作AM⊥BC于M,交DG于N, 設(shè)正方形DEFG的邊長是a,AN=b, ∵四邊形DEFG是正方形, ∴DG=GF=EF=DE=MN=a,DG∥BC, ∵S△ADG=1,S△BDE=3,S△FCG=1, ∴S△ADG=ab=1,即a= S△BDE=BE?a=3,S△FCG=CF?a=1, ∴BE=3b,CF=b, ∴BC=3b+a+b=4b+a,AM=a+b ∴BCAM=(4b+a)(a+b)=4b2+5ab+a2 ∴S△ADG+S△BED+S△CFG=1+3+1=5 ∴ab=2, ∵S正方形DEFG=S△ABC?(S△ADG+S△BDE+S△CFG)=a2 BC

9、AM-5=a2 (4b2+5ab+a2)-5=a2 ∵ab=2 (4b2+10+a2)-5=a2 ∴a=2b(取正), ∴2b2=2 解之:b=1(取正) ∴a=2×1=2 即正方形的邊長是2,【分析】過A作AM⊥BC于M,交DG于N,設(shè)正方形DEFG的邊長是a,AN=b,根據(jù)已知及三角形的面積公式,可得出ab=2,用含b的代數(shù)式分別表示出BE、CF、AM、BC的長,再根據(jù)S正方形DEFG=S△ABC?(S△ADG+S△BDE+S△CFG)=a2 , 得出a=2b,結(jié)合ab=2,求出a、b的值即可求解。 7.如圖,點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn),PA為⊙0的切線,A為切點(diǎn),PO交⊙0于點(diǎn)

10、B,∠P=30°,OB=3,則線段BP的長為(?? ). A.?3??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????????D.?9 【答案】A 【解析】 :連接OA ∵PA為⊙0的切線 ∴OA⊥AP ∴∠OAP=90° ∵∠P=30° ∴OP=OB+BP=2OA=2OB=6 ∴BP=3 故答案為:A 【分析】已知圓的切線。因此連半徑OA,可證得△OAP是

11、直角三角形,利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,就可求出BP的長。 8.如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠B=40°,AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,連接AE,則∠BAE的度數(shù)是(?? ) A.?45°???????????????????????????????????????B.?50°???????????????????????????????????????C.?55°???????????????????????????????????????D.?60° 【答案】D 【解析】 ∵AB=AC,∠B=40°, ∴∠B=∠C=40°, ∴∠BAC=180°﹣∠

12、B﹣∠C=100°, 又∵AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)E, ∴AE=CE, ∴∠CAE=∠C=40°, ∴∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=60°. 故答案為:D. 【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=40°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE,所以由等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAE=∠C=40°,所以∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=60°. 9.在矩形ABCD中,AC,BD相交于O,AE⊥BD于E,OF⊥AD于F,若BE:ED=1:3,OF=3cm,則BD的長是(?? )cm. A.?

13、6??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12 【答案】D 【解析】 ∵ABCD是矩形, ∴BO=OD=OA. ∵BE:ED=1:3, ∴BE=EO. 又AE⊥BD, ∴OB=OA=AB. ∴∠ABD=60°. ∴∠FDO=30° ∵OF⊥AD,OF=3, ∴OD=6. ∴BD=2?OD=12.故答案為:D. 【分析】先證得三角形A

14、BO為等邊三角形,從而解得∠BAO=60o,即∠ODA=∠OAD=30o,進(jìn)而解直角三角形OFD求得OD=6,即可求得BD=12. 10.如圖,點(diǎn)D在△ABC的邊AB的延長線上,DE∥BC,若∠A=35°,∠C=24°,則∠D的度數(shù)是(?? )。 A.?24°???????????????????????????????????????B.?59°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?69° 【答案】B 【解析】 :∵∠A=35°,∠C=24°

15、,∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°, 又∵DE∥BC, ∴∠D=∠DBC=59°. 故答案為:B. 【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DBC=∠A+∠C,再由平行線性質(zhì)得∠D=∠DBC. 11.如圖,等邊三角形 邊長是定值,點(diǎn) 是它的外心,過點(diǎn) 任意作一條直線分別交 , 于點(diǎn) , ,將 沿直線 折疊,得到 ,若 , 分別交 于點(diǎn) , ,連接 , ,則下列判斷錯(cuò)誤的是(?? ) A.????????????????????????????????????????????????B.?的周長是一個(gè)定值 C.?四邊形 的面積是一個(gè)定值???????????????????

16、???D.?四邊形 的面積是一個(gè)定值 【答案】D 【解析】 :A、連結(jié)OA、OC, ∵點(diǎn)O是等邊三角形ABC的外心, ∴AO平分∠BAC, ∴點(diǎn)O到AB、AC的距離相等, 由折疊得:DO平分∠BDB', ∴點(diǎn)O到AB、DB'的距離相等, ∴點(diǎn)O到DB'、AC的距離相等, ∴FO平分∠DFG, ∠DFO=∠OFG=(∠FAD+∠ADF), 由折疊得:∠BDE=∠ODF=(∠DAF+∠AFD), ∴∠OFD+∠ODF=(∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD)=120°, ∴∠DOF=60°, 同理可得∠EOG=60°, ∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG

17、, ∴△DOF≌△GOF≌△GOE ∴OD=OG,OE=OF, ∠OGF=∠ODF=∠ODB,∠OFG=∠OEG=∠OEB, ∴△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE, ∴AD=CG,AF=CE, ∴△ADF≌△CGE. 故A不符合題意; B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE, ∴DF=GF=GE, ∴△ADF≌△B'GF≌△CGE, ∴B'G=AD, ∴△B'FG的周長-FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC(定值), 故B不符合題意; C、S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC(定值), 故C不符合題意;

18、 D、S四邊形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+S△ADF=S四邊形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG, 過點(diǎn)O作OH⊥AC于H, ∴S△OFG=, 由于OH是定值,F(xiàn)G變化,故△OFG的面積變化,從而四邊形OGB'F的面積也變化。 故D符合題意。 故答案為:D【分析】A、根據(jù)等邊三角形ABC的外心的性質(zhì)可知,AO平分∠BAC,根據(jù)角平分線的定理和逆定理得:FO平分∠DFG,由外角的性質(zhì)可證明∠DOF=60°,同理可得∠EOG=60°,∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG,可證明△DOF≌△GOF≌△GOE,△OAD≌△O

19、CG,△OAF≌△OCE,可得AD=CG,AF=CE,從而得△ADF≌△CGE; B、根據(jù)△DOF≌△GOF≌△GOE,得DF=GF=GE,所以△ADF≌△B'GF≌△CGE,可得結(jié)論; C、根據(jù)S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE , 依次換成面積相等的三角形,可得結(jié)論為:S△AOC=S△ABC(定值),據(jù)此判斷; D、方法同C,將S四邊形OGB'F=S△OAC-S△OFG,根據(jù)S△OFG=·FG·OH,FG變化,故△OFG的面積變化,從而四邊形OGB'F的面積也變化,據(jù)此判斷; 12.如圖,在 中, , .以點(diǎn) 為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,交 于點(diǎn) ,交 于點(diǎn) ,再分別以點(diǎn) ,

20、 為圓心,大于 的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn) ,射線 交 的延長線于點(diǎn) ,則 的長是(?? ) A. B.1 C. D.? 【答案】B 【解析】 :由射線CN的尺規(guī)作圖的方法可知CN是∠BCD的平分線,則∠BCN=∠DCN.在□ABCD中,AB∥CD,∴∠E=∠DCN=∠BCN, ∴BE=BC=3, ∴AE=BE-AB=3-2=1. 故答案為:B. 【分析】首先由尺規(guī)作圖的步驟可知這是作∠BCD的角平分線CN;由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD,則∠E=∠DCN=∠BCN,由“等角對等邊”可知△BCE是等腰三角形即可求得AE的長度. 二、填空題 13.若一個(gè)等腰

21、三角形的頂角等于50°,則它的底角等于________. 【答案】65° 【解析】 :∵等腰三角形的頂角等于50°,∴它的底角為:(180°-50°)÷2=65°. 故答案為:65°. 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得出答案. 14.在△ABC中, AB=AC,∠BAC=100°,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,若△ABD為直角三角形,則∠ADC的度數(shù)為________. 【答案】90o或130o 【解析】 :∵AB=AC,∠BAC=100° ∴∠C=∠B=(180°-100°)÷2=40° 如圖1, 當(dāng)Rt△ABD的∠CAD=90°

22、時(shí) ∠ADB=∠C+∠CAD=40°+90°=130°; 如圖2, Rt△ABD中∠ADB=90° 故答案為:90°或130° 【分析】根據(jù)等邊對等角及三角形的內(nèi)角和定理,可求出∠C的度數(shù),再分情況討論:當(dāng)Rt△ABD的∠CAD=90°時(shí),利用三角形外角的性質(zhì)可求出∠ADB的度數(shù);Rt△ABD中∠ADB=90°;即可求解。 15.如圖,在邊長為4的等邊 中, , 分別為 , 的中點(diǎn), 于點(diǎn) , 為 的中點(diǎn),連接 ,則 的長為________. 【答案】 【解析】 連接DE, ∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn), ∴DE∥AC,DE= AC ∵ΔABC是等邊三角形,

23、且BC=4 ∴∠DEB=60°,DE=2 ∵EF⊥AC,∠C=60°,EC=2 ∴∠FEC=30°,EF= ∴∠DEG=180°-60°-30°=90° ∵G是EF的中點(diǎn), ∴EG= . ?在RtΔDEG中,DG= ? 故答案為: . 【分析】連接DE,根據(jù)三角形的中位線定理得出DE∥AC,DE=?AC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由ΔABC是等邊三角形得出∠DEB=60°,DE=2,根據(jù)含30o直角三角形的邊之間的關(guān)系,及中點(diǎn)定義得出EF的長,進(jìn)而判斷出ΔDEG是直角三角形,根據(jù)勾股定理得出DG的長。 16.如圖,四邊形ABCD為菱形,E為對角線BD延長線上一點(diǎn),BD=4,DE

24、=1,∠BAE=45°,則AB長為 ________. 【答案】 【解析】 :連接AO交BD于O,作BM⊥AE于M,交AC于N. ∵∠BAE=45°,∠BMA=90°,∴∠MAB=∠MBA=45°,∴AM=BM, ∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠AOE=90°,設(shè)AM=BM=b,ME=a, ∵∠E=∠E,∠AOE=∠BME=90°,∴△AOE∽△BME,∴ = ,∴ = , ∴a2+ab=15???? ① 又∵a2+b2=25??? ② ①×5﹣②×3得到:2a2+5ab﹣3b2=0,∴(a+3b)(2a﹣b)=0, ∴b=2a代入②得到a= ,∴b=2 ,∵

25、AB= AM=2 .故答案為2 . 【分析】連接AO交BD于O,作BM⊥AE于M,交AC于N.根據(jù)三角形的內(nèi)角和判斷出∠MAB=∠MBA=45°,根據(jù)等邊對等角得出AM=BM,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD,∠AOE=90°,設(shè)AM=BM=b,ME=a,然后判斷出△AOE∽△BME,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 O E∶ E M = A E∶ B E,從而得出關(guān)于a,b的方程,a2+ab=15???? ①,根據(jù)勾股定理得出a2+b2=25??? ②,①×5﹣②×3得到:2a2+5ab﹣3b2=0,求解得出,a,b的值,根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系由AB=?AM得出答案。 17.如圖

26、,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是BC,AC的中點(diǎn),AB=8,則DE的長為________。 【答案】4 【解析】 :∵點(diǎn)D,E分別是BC,AC的中點(diǎn) ∴DE是△ABC的中位線 ∴DE=AB=×8=4 故答案為:4 【分析】根據(jù)已知可得出DE是△ABC的中位線,再根據(jù)中位線定理,可求出DE的長。 18.如圖,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,AC=5cm,將△ABC折疊,使點(diǎn)C與A重合,得折痕DE,則△ABE的周長等于________cm. 【答案】7 【解析】 :依題可得:AE=CE, 在Rt△ABC中, ∵AB=3cm,AC=5cm, ∴BC=

27、4, ∴C△ABE=AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7, 故答案為:7. 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AE=CE,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可求得BC長,再根據(jù)三角形周長即可求得答案. 19.如圖,在正方形 中, ,點(diǎn) , 分別在 , 上, , , 相交于點(diǎn) .若圖中陰影部分的面積與正方形 的面積之比為 ,則 的周長為________. 【答案】 【解析】 :∵陰影部分的面積與正方形 的面積之比為 ,∴空白部分的面積= ? 在△BCE和△CDF中, ? ∴△BCE≌△CDF(SAS), ∴ ,∠BEC=∠CFD, ∴ , 即 , ∴ ,

28、 ∵∠BEC=∠CFD,∠CFD+∠DCF=90°, ∴∠BEC+∠DCF=90°, 則∠BGC=90°, 在Rt△BCG中, 設(shè)BG=x,CG=y, 則 ? 可得 , ∴ , ∴△BCG的周長為BC+BG+CG= ? 故答案為: . 【分析】陰影部分的面積與正方形 的面積之比可求得空白部分的面積,由CE=DF,不難證得△BCE≌△CDF,則可得 ,求得 ;由△BCE≌△CDF,全等三角形的性質(zhì)可證明∠BGC=90°;問題是求△BCE的周長,BC已知,所以只需要求出BG+CG的即可,由三角形面積公式及勾股定理,根據(jù)代數(shù)式的運(yùn)算求出BG+CG值即可. 20.如圖,在矩形AB

29、CD中,AB=6,E,H分別為AD、CD的中點(diǎn),沿BE將△ABE折疊,若點(diǎn)A恰好落在BH上的F處,則AD=________ 【答案】 【解析】 :連接EH. ∵點(diǎn)E、點(diǎn)H是AD、DC的中點(diǎn),∴AE=ED,CH=DH= CD= AB=3,由折疊的性質(zhì)可得AE=FE,∴FE=DE.在Rt△EFH和Rt△EDH中,∵ ,∴Rt△EFH≌Rt△EDH(HL),∴FH=DH=3,∴BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9.在Rt△BCH中,BC= = = ,∴AD=BC= .故答案為: . 【分析】連接EH.根據(jù)三角形的中位線定理可得,AE=ED,CH=DH=CD=AB=3,由折疊的性質(zhì)

30、可得AE=FE,所以FE=DE.用斜邊直角邊定理可證得Rt△EFH≌Rt△EDH,所以FH=DH=3,由線段的構(gòu)成可得BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9,在Rt△BCH中,由勾股定理可求得BC= =6=AD. 三、解答題 21.如圖, , , 、 相交于點(diǎn) .求證: . 【答案】解:∵∠A=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△DCB中 BC=CB??? AC=DB ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL) ∴∠ACB=∠DBC ∴OB=OC 【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的全等判定定理,可證得Rt△ABC≌Rt△DCB,得出∠ACB=∠DBC,再根據(jù)等角對等邊,可證得結(jié)

31、論。 22.如圖,點(diǎn)D,C在BF上,AB∥EF,∠A=∠E,BD=CF.求證:AB=EF. 【答案】證明:∵AB∥EF, ∴∠B=∠F. 又∵BD=CF, ∴BC=FD. 在△ABC與△EFD中 , ∴△ABC≌△EFD(AAS), ∴AB=EF 【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠F.用角角邊可證得△ABC≌△EFD,所以AB=EF。 23.如圖,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一條直線上.求證:BD=CE. 【答案】證明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形, ∴AD=AE,AB=AC 又

32、∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD, ∴∠DAB=∠EAC.? ∵在△ADB和△AEC中, ∴△ADB≌△AEC(SAS), ∴BD=CE. 【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可證得AD=AE,AB=AC,再證明∠DAB=∠EAC,然后根據(jù)全等三角形的判定方法,證明△ADB≌△AEC,從而可證得結(jié)論。 24.已知:如圖,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.求證:BC=ED. 【答案】證明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD, 即:∠EAD=∠BAC. 在△EAD和△BAC中, ∴△ABC≌△AED(ASA),

33、∴BC=ED 【解析】【分析】根據(jù)∠1=∠2,證得∠EAD=∠BAC,再利用全等三角形的判定證明△ABC≌△AED,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論。 25.已知,等邊三角形ABC的邊長為5,點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)D在線段BC上,且△PDE是等邊三角形. (1)初步嘗試:若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)(如圖1),BD+BE=________ (2)類比探究:將點(diǎn)P沿AB方向移動(dòng),使AP=1,其余條件不變(如圖2),試計(jì)算BD+BE的值是多少? (3)拓展遷移:如圖3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=70°,點(diǎn)P在線段AB的延長線上,點(diǎn)D在線段CB的延長線上,在△PDE

34、中,PD=PE,∠DPE=70°,設(shè)BP=a,請直接寫出線段BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示) 【答案】(1)5 (2)解:如圖2,過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F, ∴△FPB是等邊三角形, ∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4,∠BPF=60°, ∵△PDE是等邊三角形, ∴PD=PE,∠DPE=60°, ∴∠BPE=∠FPD, ∴△PBE≌△PFD, ∴BE=DF, ∴BD+BE=BD+DF=BF=4; (3)解:如圖3,過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F, ∴∠BPF=∠BAC=70°,∠PFB=∠C, ∵AB=AC,∠BAC=70°, ∴∠A

35、BC=∠C=55°, ∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°, ∴PF=PB=a, ∵∠BPF=∠DPE=70°, ∴∠DPF=∠EPB, ∵PD=PE, ∴△PBE≌△PFD, ∴BE=DF, 過點(diǎn)P作PG⊥BC于G, ∴BF=2BG, 在Rt△BPG中,∠PBD=55°, ∴BG=BP?cos∠PBD=a?cos55°, ∴BF=2BG=2a?cos55°, ∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2a?cos55°. 【解析】 :(1)∵△ABC和△PDE是等邊三角形, ∴PE=PD,AB=AC,∠DPE=∠CAB=60°, ∴∠BPE=∠CAD, ∴△PBE≌

36、△ACD, ∴BE=CD, ∴BD+BE=BD+CD=BC=5, 故答案為5; 【分析】(1)由已知條件用邊角邊易證得△PBE≌△ACD,所以可得BE=CD,所以BE+BD=BD+CD=BC ; (2)由(1)的方法可作輔助線,過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F,將問題轉(zhuǎn)化為(1)的形式,同理可證△PBE≌△PFD,則BE=DF,所以BE+BD=BD+FD=BF;由題意得BF=BC-1=4,問題得解; (3)由(1)和(2)的思路可作輔助線,過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F,過點(diǎn)P作PG⊥BC于G,根據(jù)已知條件易證得△PBE≌△PFD,BE=DF,則BF=2BG,在Rt△BPG中,解直角三角形即可用含a的代數(shù)式表示BG,則BF=2BG也可用含a的代數(shù)式表示,所以BD﹣BE=BD﹣DF=BF可得結(jié)論。 20

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