2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型三 新解題方法型

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1、類型三 新解題方法型 例1、 求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學(xué)問題，中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中便記載了求兩個(gè)正整數(shù)最大公數(shù)最大公約數(shù)的一種方法——更相減損術(shù)，術(shù)曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少成多，更相減損，求其等也．以等數(shù)約之”，意思是說，要求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)，先用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù)，以此類推，當(dāng)減數(shù)與差相等時(shí)，此時(shí)的差(或減數(shù))即為這兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)． 例如：求91與56的最大公約數(shù) 　91－56＝35 56－35＝21 35－21＝14 21－14＝7 14－7＝7 所以，91與56的最大

2、公約數(shù)是7. 請用以上方法解決下列問題： (1)求108與45的最大公約數(shù)； (2)求三個(gè)數(shù)78、104、143的最大公約數(shù)． 【解答】解：(1)108－45＝63 63－45＝18 45－18＝27 27－18＝9 18－9＝9 所以，108與45的最大公約數(shù)是9； (2)①先求104與78的最大公約數(shù)， 104－78＝26 78－26＝52 52－26＝26 所以，104與78的最大公約數(shù)是26； ②再求26與143的最大公約數(shù)， 143－26＝117 117－26＝91 91－26＝65 65－26＝39 39－26＝13 26－13＝13 所

3、以，26與143的最大公約數(shù)是13.綜上所述，78、104、143的最大公約數(shù)是13. 例2、數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用． 探究：求不等式|x－1|< 2的解集 (1)探究|x－1|的幾何意義 【解答】如圖①，在以O(shè)為原點(diǎn)的數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的數(shù)是x－1，由絕對(duì)值的定義可知，點(diǎn)A′與點(diǎn)O的距離為|x－1|，可記為A′O＝|x－1|.將線段A′O向右平移1個(gè)單位得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1.因?yàn)锳B＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x

4、－1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離AB. 第2題圖 (2)求方程|x－1|＝2的解 【解答】因?yàn)閿?shù)軸上3和－1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為2，所以方程的解為3，－1. (3)求不等式|x－1|<2的解集 因?yàn)閨x－1|表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)距離小于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)x的范圍． 請?jiān)趫D②的數(shù)軸上表示|x－1|<2的解集，并寫出這個(gè)解集． 【解答】 解：在數(shù)軸上表示如解圖所示． 第2題解圖 所以，不等式的|x－1|<2的解集為－1

5、元250年前后)在《算術(shù)》中提到了一元二次方程的問題，不過當(dāng)時(shí)古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的圖解法是：如圖，以和b為兩直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD＝，則AD的長就是所求方程的解． (1)請用含字母a、b的代數(shù)式表示AD的長． (2)請利用你已學(xué)的知識(shí)說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處． 第3題圖 【解答】解：(1)∵∠C＝90°，BC＝，AC＝b， ∴AB＝， ∴AD＝－＝ ； (2)用求根公式求得： x1＝； x2＝ 故AD的長就是方程的正

6、根， 遺憾之處：圖解法不能表示方程的負(fù)根． 例4、請你閱讀引例及其分析解答，希望能給你以啟示，然后完成對(duì)探究一和探究二的解答． 引例：設(shè)a，b，c為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：＋＋≥(a＋b＋c)， 分析：考慮不等式中各式的幾何意義，我們可以試構(gòu)造一個(gè)邊長為a＋b＋c的正方形來研究． 解：如圖①，設(shè)正方形的邊長為a＋b＋c， 則AB＝，BC＝，CD＝， 顯然AB＋BC＋CD≥AD， ∴＋＋≥(a＋b＋c)． 探究一：已知兩個(gè)正數(shù)x，y，滿足x＋y＝12，求＋的最小值(圖②僅供參考)； 探究二：若a，b為正數(shù)，求以，，為邊的三角形的面積． 第4題圖 【解答】解：探究一：如解圖①，

7、構(gòu)造矩形AECF，并設(shè)矩形的兩邊長分別為12，5， 第4題解圖① 則x＋y＝12，AB＝， BC＝， 顯然AB＋BC≥AC， 當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，AB＋BC最小， 即＋的最小值為AC， ∵AC＝＝13， ∴＋的最小值為13； 第4題解圖② 探究二：如解圖②，設(shè)矩形ABCD的兩邊長分別為2a，2b，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)， 則CF＝，CE＝， EF＝， 設(shè)以，，為邊的三角形的面積為S△CEF， ∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△CDF－S△AEF－S△BCE ＝4ab－×2a×b－ab－a×2b ＝ab， ∴以，，為邊的三角形的面積為ab. 5