2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型一 數(shù)式規(guī)律

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1、類型一 數(shù)式規(guī)律 1、數(shù)列型數(shù)字問題 例1、有一組數(shù)：1，2，5，10，17，26，……，請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個數(shù)為_________． 【答案】：50 【解析】：仔細觀察這一數(shù)列中的各個數(shù)字的構(gòu)成特點，不難發(fā)現(xiàn)如下； 第一個數(shù)是1，第二個數(shù)數(shù)1+1，第三個數(shù)是1+1+3，第四個數(shù)是1+1+3+5，第五個數(shù)是1+1+3+5+7，第六個數(shù)是1+1+3+5+7+9， 為了使規(guī)律凸顯的明顯，我們不妨把第一個數(shù)1也寫成兩個數(shù)的和的形式，為1+0， 這樣，就發(fā)現(xiàn)數(shù)字1是固定不變的，規(guī)律就蘊藏在新數(shù)列0，1，4，9，16 中，而0，1，4，9，

2、16 這些數(shù)都是完全平方數(shù)，并且底數(shù)恰好等于這個數(shù)字對應(yīng)的序號與1的差，即1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2， 26=1+（5-1）2，這樣，第n個數(shù)為1+（n-1）2，找到數(shù)列變化的一般規(guī)律后，就很容易求得任何一個序號的數(shù)字了。因此，第八個數(shù)就是當(dāng)n=8時，代數(shù)式1+（n-1）2的值，此時，代數(shù)式1+（n-1）2的值為1+（8-1）2=50。所以，本空填50。 例2、 古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個三角形數(shù)與第98個三角形數(shù)的差為_______

3、__. 【答案】：199 【解析】：本題中數(shù)列的數(shù)字，不容易發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律。我們不妨利用函數(shù)的思想去試一試。 當(dāng)序號為1時，對應(yīng)的值是1，有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為A， 則A（1，1）； 當(dāng)序號為2時，對應(yīng)的值是3，有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為B， 則B（2，3）； 當(dāng)序號為3時，對應(yīng)的值是6，有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為C， 則C（3，6）； 因為，，，所以有：成立，所以，對應(yīng)的數(shù)值y是序號n的二次函數(shù)，因此，我們不妨設(shè)y=an2+bn+c， 把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分別代入y=an2+bn+c中， 得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9

4、a+3b+c=6，解得：a=，b=，c=0， 所以，y= n2+n，因此，當(dāng)n=100時，y= ×1002+×100， 當(dāng)n=98時，y= ×982+×98，因此（×1002+×100）-（×982+×98）=199，所以該空應(yīng)該填199。 2、圖示型數(shù)字問題 例3、為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比 賽．如圖所示： 按照上面的規(guī)律，擺個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（ ） 　A． B． C． ? D． 【答案】：A 【解析】：第一個圖需要火柴的根數(shù)是8，有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為A，則A（1，8）；

5、 第二個圖需要火柴的根數(shù)是14，有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為B，則B（2，14）； 第三個圖需要火柴的根數(shù)是20，有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為C，則C（3，20）； 因為，，，所以有：成立，所以，每個圖形中所需要的火柴的總根數(shù)y是這個圖形的序號n的一次函數(shù)，因此，我們不妨設(shè)y=kn+b， 把A（1，8），B（2，14）分別代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2， 所以，y=6n+2。因此選A。 例4、下列圖案是由邊長為單位長度的小正方形按一定的規(guī)律拼接而成。依此規(guī)律，第5個圖案中小正方形的個數(shù)為_______________。 【答案】：5

6、0 【解析】： 仔細觀察第一個圖，正方形的個數(shù)為1，第二個圖形中正方形的特點是中間是3個，左右兩邊各一個，即為1+3+1個，第三個圖形中正方形的特點是中間是5個，左右分別是1+3個，即為1+3+5+3+1，分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個圖形中正方形的個數(shù)為1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，這樣，第5個圖形中正方形的個數(shù)，也就是當(dāng)n=5時，代數(shù)式2n2-2n+1的值，所以，代數(shù)式的值為：2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41個。所以，本空填50。 例5、按如下規(guī)律擺放三角形： 則第（4）堆三角形的個數(shù)為__

7、___________；第(n)堆三角形的個數(shù)為_____________. 【答案】：14,3n+2 【解析】：仔細觀察第一個圖形，三角形排列的特點是中間3=(1+2)個,左右各1個,即圖1中三角形的總數(shù)為1+(1+2)+1,第二個圖形中三角形形的特點是中間是4=(2+2)個，左右兩邊各2個，即為2+(2+2)+2個，第三個圖形中三角形的特點是中間是5=(3+2)個，左右分別是3個，即為3+(3+2)+3，分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個圖形中三角形的個數(shù)為n+（n+2）+n =3n+2，這樣，第4個圖形中三角形正方形的個數(shù)，也就是當(dāng)n=4時，代數(shù)式3n+2

8、的值，所以，代數(shù)式的值為：3n+2=3×4+2=14個。所以，本題的兩個空分別填14和3n+2。 例6、柜臺上放著一堆罐頭，它們擺放的形狀見右圖： ? ? ? 第一層有2×3聽罐頭，第二層有3×4聽罐頭，第三層有4×5聽罐頭，…… 根據(jù)這堆罐頭排列的規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）層有???????? 聽罐頭（用含n的式子表示）。 【答案】：n2+3n+2 【解析】：仔細觀察圖形，第一層有2×3聽罐頭，對應(yīng)的序號為1，第一個數(shù)字2與序號1的關(guān)系是序號+1，第二個數(shù)字是3，它與序號的關(guān)系是序號+2；第二層有3×4聽罐頭，對應(yīng)的序號為2，第一個數(shù)字3與序號的關(guān)系是序號+1，第二

9、個數(shù)字是4，它與序號的關(guān)系是序號+2；第三層有4×5聽罐頭，對應(yīng)的序號為3，第一個數(shù)字4與序號的關(guān)系是序號+1，第二個數(shù)字是5，它與序號的關(guān)系是序號+2；分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n層中有（n+1）（n+2）聽罐頭，即n2+3n+2。所以，本題的空填n2+3n+2。 例7、下列圖中有大小不同的菱形，第1幅圖中有1個，第2幅圖中有3個，第3幅圖中有5個，則第幅圖中共有 個。 1 2 3 … … 【答案】：2n+1 【解析】：仔細觀察第一個圖形，有一個菱形，第二個圖形中有3個菱形，第三個圖形中有5個菱形，………仔細觀察這些數(shù)

10、的特點，恰好是奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，由此，就清楚了變化的規(guī)律了。所以，第n個圖形中有2n+1個菱形。 3、恒等式型數(shù)字問題 例8、試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空： …… 則_______________。 【答案】： 【解析】：要想找到式子的變化規(guī)律，同學(xué)們應(yīng)該仔細觀察式子的特點，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關(guān)鍵。 仔細觀察式子，不難發(fā)現(xiàn)等式左邊中的（x-1）是個固定不變的量。左邊式子中第二個括號中多項式的次數(shù)是不斷變化的，且多項式的次數(shù)等于對應(yīng)等式的序號數(shù)，即第一個等式中的多項式的次數(shù)是1，第二個等式中的多項式的次數(shù)為2， 所以，第n個等式

11、中的多項式的次數(shù)為n，這是等式左邊的變化規(guī)律； 等式右邊的規(guī)律，容易找些，多項式中的常數(shù)項是保持不變的，字母x的指數(shù)隨等式的序號變化而變化，且滿足字母x的指數(shù)等于等式的序號加1。所以，第10個等式的結(jié)果為。 例9、觀察下列各式： 　　 　　 　　 ……依此規(guī)律，第n個等式（n為正整數(shù)）為????????? 。 【答案】：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。 【解析】：要想找到式子的變化規(guī)律，同學(xué)們應(yīng)該仔細觀察式子的特點，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關(guān)鍵。 等式左邊底數(shù)的特點是，個位數(shù)字都5，是個不變的量，十位數(shù)字與對應(yīng)的序號一致，

12、分別是1、2、3、4…………； 等式右邊的特點是：第一個數(shù)字與對應(yīng)的序號是一致的，括號里的數(shù)字的特點是對應(yīng)的序號與常數(shù)1的和；第三個數(shù)字又是一個固定的常數(shù)100；第四個數(shù)字是常數(shù)5的平方，也是固定不變的。 通過分析，我們知道在這里對應(yīng)的序號是問題的根本。而第n個等式的序號為n，所以第n個等式應(yīng)該是：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。 例10、觀察下列等式： 第一行???? 3=4－1 第二行???? 5=9－4 ? 第三行?? ? 7=16－9 ? 第四行??? 9=25－16 …???? …　按照上

13、述規(guī)律，第n行的等式為____________?? 【答案】：2n+1=（n+1）2- n2。 【解析】：等式的左邊的特點是：奇數(shù)3、5、7、9 …， 這些奇數(shù)可以用對應(yīng)的序號表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1， 其中1、2、3、4等恰好是對應(yīng)的序號，所以，第n 個奇數(shù)為2n+1，這樣，我們就把等式左邊的規(guī)律找出來了； 等式右邊的特點是：被減數(shù)為4、9、16、25、…恰好是22，32，42，52，…等對應(yīng)的冪，冪的底數(shù)與對應(yīng)的序號的關(guān)系是：底數(shù)=對應(yīng)序號+1，這樣，我們就又找到了一部分規(guī)律， 第n 個被減數(shù)為（n+1）2； 減數(shù)分別為1、4、

14、9、16…恰好是12，22，32，42，…等對應(yīng)的冪，冪的底數(shù)與對應(yīng)的序號的關(guān)系是：底數(shù)=對應(yīng)序號，這樣，我們就又找到了一部分規(guī)律，第n 個減數(shù)為n2； 所以，本題的變化規(guī)律為：2n+1=（n+1）2- n2。 例11、觀察下列各式： 請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來 。 【答案】：=( n+1 )。 【解析】：仔細觀察我們發(fā)現(xiàn)，等式的左邊的特點是： 被開方數(shù)中，第一個加數(shù)分別是1、2、3、………等的自然數(shù)，第二個加數(shù)是一個分數(shù)，且分子都是1，是固定不變的，這就是一條規(guī)律；分母分別是3、4、5、6………，這些數(shù)與第一個加

15、數(shù)的關(guān)系是：分母=第一個加數(shù)+2，這是第二規(guī)律； 等式的右邊的特點是：二次根式的系數(shù)分別是2、3、4、5、………，這些數(shù)與左邊的被開方數(shù)中的第一個加數(shù)的關(guān)系是：二次根式系數(shù)=左邊的被開方數(shù)中的第一個加數(shù)+1，這是右邊的第一個規(guī)律；而被開方數(shù)也是一個分數(shù)，且分子是1，保持不變，這是一條規(guī)律，分數(shù)中的分母與左邊分數(shù)中分母一樣。這是第二條規(guī)律。這樣的話，因為，第n個等式中的第一個加數(shù)為n，所以，第n個等式為：=( n+1 )。 4、冪指數(shù)型數(shù)字問題 例12、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，…………………， 仔細觀察，式子的特點，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，則22008

16、的個位數(shù)字是： A 2 B 4 C 6 D 8 【答案】：C 【解析】：仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)冪的指數(shù)能被4整除時，這個數(shù)的個位數(shù)字是6，當(dāng)被4除，余數(shù)是3時，這個數(shù)的個位數(shù)字為8，當(dāng)被4除，余數(shù)是2時，這個數(shù)的個位數(shù)字為4，當(dāng)被4除，余數(shù)是1時，這個數(shù)的個位數(shù)字為2， 所以，問題解決的關(guān)鍵，就是看冪的指數(shù)被4除的情形就可了。我們知道2008是能被4整除的，所以，22008的個位數(shù)字是6， 所以，選C。 5 、排列型數(shù)字問題 例13、把正整數(shù)1，2，3，4，5，……，按如下規(guī)律排列： 1 2，3， 4，5，6，7，

17、8，9，10，11，12，13，14，15， …?? …?? …?? …?? 按此規(guī)律，可知第n行有???????? 個正整數(shù) 【答案】： 【解析】：仔細觀察各行數(shù)字的個數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，第一行有1個數(shù)字，第二行有2個數(shù)字，第三行有4個數(shù)字，第四行有8個數(shù)字，再用我們前面所用的方法，我們就不容易找到變化的規(guī)律了。我們不妨換一種思路。利用冪指數(shù)的思想試一試。由于第一個數(shù)字是1，聯(lián)想到任何不是零的數(shù)的任何次冪都是1，所以，指數(shù)0=序號1-1，又因為第二行有2個數(shù)字，第三行有4個數(shù)字，第四行有8個數(shù)字，這些數(shù)字都是偶數(shù)，所以底數(shù)一定是偶數(shù)，是2、或4或6等等，但是，第二個數(shù)為2，指數(shù)等于2-1

18、=1，所以，底數(shù)為2，這樣，我們就找到規(guī)律，第n行中的數(shù)字個數(shù)為。 例14、將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去。若用有序?qū)崝?shù)對（，）表示第排，從左到右第個數(shù)，如（4，3）表示實數(shù)9，則（7，2）表示的實數(shù)是???????? 。 【答案】：23 【解析】：仔細觀察各行數(shù)字的個數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，第一行有1個數(shù)字，第二行有2個數(shù)字，第三行有3個數(shù)字，第四行有4個數(shù)字，……第n行有n 個數(shù)字，這是第一條變化規(guī)律；我們再來觀察一下，每一行最后的一個數(shù)字的特點，不難發(fā)現(xiàn)，第二行的最后一個數(shù)字3=第一行中的數(shù)字個數(shù)1+第二行數(shù)字個數(shù)2，第三行最后的數(shù)字6=第一行數(shù)字個數(shù)1+第二行數(shù)字2+第三行數(shù)字個

19、數(shù)3；因此，第n行的最后一個數(shù)字=1+2+3+4+ …………+n=， 所以，第六行最后的數(shù)字為：==21，所以，第七行的第一個數(shù)字為22，第二個數(shù)字位23，因為（7，2）的意義就是第七行第二個數(shù)的意思，所以，（7，2）表示的實數(shù)是?23。 6、圖表型數(shù)字問題 例15、觀察表1，尋找規(guī)律．表2是從表1中截取的一部分，其中的值分別為（ ）。 表1　　　　　　　　　　　　　　　　 表2 1 2 3 4 …… 2 4 6 8 …… 3 6 9 12 …… 4 8 12 16 …… …… …… …… …… …… 16 20 30 A．20，25，24 B．25，20，24 C．18，25，24 D．20，30，25 【答案】：A 【解析】：仔細觀察圖表的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)第n行，第m列的交叉處的數(shù)恰好是n與m的積。 結(jié)合表1，就知道數(shù)c在六行，四列的交叉處，所以c的數(shù)值為6×4=24；a 在四行，五列的交叉處，所以a的數(shù)值為4×5=20；b在五行，五列的交叉處，所以b的數(shù)值為5×5=25； 所以，選A。 8