2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸專題 三角形(含解析)
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1、《三角形》 1.在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足為點(diǎn)D,M為線段DB上一動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),點(diǎn)N在直線AC左上方且∠NCM=135°,CN=CM,如圖① (1)求證:∠ACN=∠AMC (2)記△ANC得面積為5,記△ABC得面積為5.求證: (3)延長線段AB到點(diǎn)P,使BP=BM,如圖②.探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關(guān)系時對于滿足條件的任意點(diǎn)M,AN=CP始終成立?(寫出探究過程) 解:(1)∵∠BAC=45°, ∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM, ∵∠NCM=135°, ∴∠ACN=135°﹣∠ACM, ∴∠ACN=∠A
2、MC; (2)過點(diǎn)N作NE⊥AC于E, ∵∠CEN=∠CDM=90°,∠ACN=∠AMC,CM=CN, ∴△NEC≌△CDM(AAS) ∴NE=CD,CE=DM; ∵S1=AC?NE,S2=AB?CD, ∴=; (3)當(dāng)AC=2BD時,對于滿足條件的任意點(diǎn)N,AN=CP始終成立, 理由如下:過點(diǎn)N作NE⊥AC于E, 由(2)可得NE=CD,CE=DM, ∵AC=2BD,BP=BM,CE=DM, ∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM ∴AE=BD+BP=DP, ∵NE=CD,∠NEA=∠CDP=90°,AE=DP, ∴△NEA≌△CDP(SAS) ∴AN=PC.
3、 2.如圖1,OA=2,OB=4,以點(diǎn)A為頂點(diǎn),AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC. (Ⅰ)求C點(diǎn)的坐標(biāo); (Ⅱ)如圖2,OA=2,P為y軸負(fù)半軸上的一個動點(diǎn),若以P為直角頂點(diǎn),PA為腰等腰直角△APD,過D作DE⊥x軸于E點(diǎn),求OP﹣DE的值; (Ⅲ)如圖3,點(diǎn)F坐標(biāo)為(﹣4,﹣4),點(diǎn)G(0,m)在y軸負(fù)半軸,點(diǎn)H(n,0)x軸的正半軸,且FH⊥FG,求m+n的值. 解:(Ⅰ)如圖1,過C作CM⊥x軸于M點(diǎn),如圖1所示: ∵CM⊥OA,AC⊥AB, ∴∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°, ∴∠MAC=∠OBA, 在△MAC和△OBA中,, ∴△M
4、AC≌△OBA(AAS), ∴CM=OA=2,MA=OB=4, ∴OM=6, ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣6,﹣2), 故答案為(﹣6,﹣2); (Ⅱ)如圖2,過D作DQ⊥OP于Q點(diǎn), 則四邊形OEDQ是矩形, ∴DE=OQ, ∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°, ∴∠QPD=∠OAP, 在△AOP和△PDQ中,, ∴△AOP≌△PDQ(AAS), ∴AO=PQ=2, ∴OP﹣DE=OP﹣OQ=PQ=OA=2; (Ⅲ)如圖3,過點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于S點(diǎn),F(xiàn)T⊥y軸于T點(diǎn), 則∠HSF=∠GTF=90°=∠SOT, ∴四邊形OSFT是正方形, ∴F
5、S=FT=4,∠EFT=90°=∠HFG, ∴∠HFS=∠GFT, 在△FSH和△FTG中,, ∴△FSH≌△FTG(AAS), ∴GT=HS, 又∵G(0,m),H(n,0),點(diǎn)F坐標(biāo)為(﹣4,﹣4), ∴OT═OS=4, ∴GT=﹣4﹣m,HS=n﹣(﹣4)=n+4, ∴﹣4﹣m=n+4, ∴m+n=﹣8. 3.如圖1,點(diǎn)C在線段AB上,(點(diǎn)C不與A、B重合),分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE、BD交于點(diǎn)P (1)觀察猜想:①線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系為 AE=BD?。? ②∠APC的度數(shù)為 60°?。? (2)數(shù)
6、學(xué)思考:如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時,(1)中的結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明 (3)拓展應(yīng)用:如圖3,分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,其中∠ACD=∠BCE=90°,CA=CD,CB=CE,連接AE=BD交于點(diǎn)P,則線段AE與BD的關(guān)系為 AE=BD,AE⊥BD?。? 解:(1)觀察猜想:①如圖1, 設(shè)AE交CD于點(diǎn)O.過點(diǎn)C作CH⊥AE,CG⊥BD, ∵△ADC,△ECB都是等邊三角形, ∴CA=CD,∠ACD=∠ECB=60°,CE=CB, ∴∠ACE=∠DCB, ∴△ACE
7、≌△DCB(SAS), ∴AE=BD,∠CAO=∠ODP,S△ACE=S△BCD, ∵∠AOC=∠DOP, ∴∠DPO=∠ACO=60°, ∴∠APB=120°, ∵S△ACE=S△BCD, ∴×AE×CH=×BD×CG, ∴CH=CG,且CH⊥AE,CG⊥BD, ∴CP平分∠APB, ∴∠APC=60°, 故答案為AE=BD,60°. (2)數(shù)學(xué)思考::①成立,②不成立, 理由:設(shè)AC交BD于點(diǎn)O.過點(diǎn)C作CH⊥AE,CG⊥BD, ∵△ADC,△ECB都是等邊三角形, ∴CA=CD,∠ACD=∠ECB=60°,CE=CB, ∴∠ACE=∠DCB ∴△A
8、CE≌△DCB(SAS), ∴AE=BD,∠PAO=∠ODC, ∵∠AOP=∠DOC, ∴∠APO=∠DCO=60°, ∴∠DPE=120°, ∵S△ACE=S△BCD, ∴×AE×CH=×BD×CG, ∴CH=CG,且CH⊥AE,CG⊥BD, ∴CP平分∠DPE, ∴∠DPC=60°, ∴∠APC=120°, ∴①成立,②不成立; 拓展應(yīng)用: 設(shè)AC交BD于點(diǎn)O. ∵∠ACD=∠BCE=90°,CA=CD,CB=CE, ∴∠ACE=∠DCB ∴△AEC≌△DBC(SAS), ∴AE=BD,∠CDB=∠CAE, ∵∠AOP=∠COD,∠CDB=∠CA
9、E, ∴∠DCO=∠APO=90°, ∴AE⊥BD, 故答案為:AE=BD,AE⊥BD. 4.如圖,△ABC是等邊三角形,D是BC邊的中點(diǎn),以D為頂點(diǎn)作一個120°的角,角的兩邊分別交直線AB、直線AC于M、N兩點(diǎn).以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)∠MDN(∠MDN的度數(shù)不變),當(dāng)DM與AB垂直時(如圖①所示),易證BM+CN=BD. (1)如圖②,當(dāng)DM與AB不垂直,點(diǎn)M在邊AB上,點(diǎn)N在邊AC上時,BM+CN=BD是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由; (2)如圖③,當(dāng)DM與AB不垂直,點(diǎn)M在邊AB上,點(diǎn)N在邊AC的延長線上時,BM+CN=BD是否仍然成立?若不成立,請寫出B
10、M,CN,BD之間的數(shù)量關(guān)系,不用證明. 解:(1)結(jié)論BM+CN=BD成立,理由如下: 如圖②,過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E, ∵△ABC是等邊三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∵DE∥AC, ∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°, ∴∠B=∠BED=∠BDE=60°, ∴△BDE是等邊三角形,∠EDC=120°, ∴BD=BE=DE,∠EDN+∠CDN=120°, ∵∠EDM+∠EDN=∠MDN=120°, ∴∠CDN=∠EDM, ∵D是BC邊的中點(diǎn), ∴DE=BD=CD, 在△CDN和△EDM中, , ∴△CDN≌△EDM(ASA
11、), ∴CN=EM, ∴BD=BE=BM+EM=BM+CN; (2)上述結(jié)論不成立,BM,CN,BD之間的數(shù)量關(guān)系為:BM﹣CN=BD;理由如下: 如圖③,過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E, ∵△ABC是等邊三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠NCD=120°, ∵DE∥AC, ∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°, ∴∠B=∠BED=∠BDE=60°, ∴△BDE是等邊三角形,∠MED=∠EDC=120°, ∴BD=BE=DE,∠NCD=∠MED,∠EDM+∠CDM=120°, ∵∠CDN+∠CDM=∠MDN=120°, ∴∠CDN=∠EDM,
12、 ∵D是BC邊的中點(diǎn), ∴DE=BD=CD, 在△CDN和△EDM中, , ∴△CDN≌△EDM(ASA), ∴CN=EM, ∴BD=BE=BM﹣EM=BM﹣CN, ∴BM﹣CN=BD. 5.△ABC是等邊三角形,P為平面內(nèi)的一個動點(diǎn),BP=BA,0°<∠PBC<180°,DB平分∠PBC,且DB=DA. (1)當(dāng)BP與BA重合時(如圖1),求∠BPD的度數(shù); (2)當(dāng)BP在∠ABC的內(nèi)部時(如圖2),求∠BPD的度數(shù); (3)當(dāng)BP在∠ABC的外部時,請你直接寫出∠BPD的度數(shù). 解:(1)∵△ABC是等邊三角形,BD平分∠PBC, ∴∠PBD=∠CBD=30
13、°, ∵DB=DA, ∴∠PBD=∠BPD=30°; (2)如圖2,連接CD, ∵點(diǎn)D在∠PBC的平分線上, ∴∠PBD=∠CBD, ∵△ABC是等邊三角形, ∴BA=BC=AC,∠ACB=60°, ∵BP=BA, ∴BP=BC, ∵BD=BD, ∴△PBD≌△CBD(SAS), ∴∠BPD=∠BCD, ∵DB=DA,BC=AC,CD=CD, ∴△BCD≌△ACD(SSS), ∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°, ∴∠BPD=30°; (3) 如圖3,連接CD, ∵AD=BD,CD=CD,BC=AC, ∴△ACD≌△BCD(SSS) ∴
14、∠ACD=∠BCD=30°, ∵BD=BD,∠PBD=∠CBD,PB=AB=BC, ∴△PBD≌△CBD(SAS) ∴∠BPD=∠BCD=30°, 如圖4,連接CD, ∵AD=BD,CD=CD,BC=AC, ∴△ACD≌△BCD(SSS) ∴∠ACD=∠BCD=30°, ∵BD=BD,∠PBD=∠CBD,PB=AB=BC, ∴△PBD≌△CBD(SAS) ∴∠BPD=∠BCD=30°, 如圖5,連接CD, ∵AD=BD,CD=CD,BC=AC, ∴△ACD≌△BCD(SSS) ∴∠ACD=∠BCD==150°, ∵BD=BD,∠PBD=∠CBD,PB=AB
15、=BC, ∴△PBD≌△CBD(SAS) ∴∠BPD=∠BCD=150°, 6.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D為AB邊的中點(diǎn),以D為直角頂點(diǎn)的Rt△DEF的另兩個頂點(diǎn)E,F(xiàn)分別落在邊AC,CB(或它們的延長線)上. (1)如圖1,若Rt△DEF的兩條直角邊DE,DF與△ABC的兩條直角邊AC,BC互相垂直,則S△DEF+S△CEF=S△ABC,求當(dāng)S△DEF=S△CEF=2時,AC邊的長; (2)如圖2,若Rt△DEF的兩條直角邊DE,DF與△ABC的兩條直角邊AC,BC不垂直,S△DEF+S△CEF=S△ABC,是否成立?若成立,請給予證明;若不成立
16、,請直接寫出S△DEF,S△CEF,S△ABC之間的數(shù)量關(guān)系; (3)如圖3,若Rt△DEF的兩條直角邊DE,DF與△ABC的兩條直角邊AC,BC不垂直,且點(diǎn)E在AC的延長線上,點(diǎn)F在CB的延長線上,S△DEF+S△CEF=S△ABC是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請直接寫出S△DEF,S△CEF,S△ABC之間的數(shù)量關(guān)系. 解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC, ∴四邊形DECF是矩形, ∵∠ACB=90°, ∴BC⊥AC, ∵DE⊥AC, ∴DE∥BC, ∵D為AB邊的中點(diǎn), ∴DE是△ABC的中位線, ∴DE=BC,AC=2CE, 同理:DF
17、=AC, ∵AC=BC, ∴DE=DF, ∴四邊形DECF是正方形, ∴CE=DF=CF=DE, ∵S△DEF=S△CEF=2=DE?DF=DF2, ∴DF=2, ∴CE=2, ∴AC=2CE=4; (2)S△DEF+S△CEF=S△ABC成立,理由如下: 連接CD;如圖2所示: ∵AC=BC,∠ACB=90°,D為AB中點(diǎn), ∴∠B=45°,∠DCE=∠ACB=45°,CD⊥AB,CD=AB=BD, ∴∠DCE=∠B,∠CDB=90°,S△ABC=2S△BCD, ∵∠EDF=90°, ∴∠CDE=∠BDF, 在△CDE和△BDF中,, ∴△CDE≌△BDF(
18、ASA), ∴DE=DF.S△CDE=S△BDF. ∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BCD=S△ABC; (3)不成立;S△DEF﹣S△CEF=S△ABC;理由如下: 連接CD,如圖3所示: 同(1)得:△DEC≌△DBF,∠DCE=∠DBF=135°, ∴S△DEF=S五邊形DBFEC, =S△CFE+S△DBC, =S△CFE+S△ABC, ∴S△DEF﹣S△CFE=S△ABC. ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是:S△DEF﹣S△CEF=S△ABC. 7.教材呈現(xiàn):如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容 2.線段垂
19、直平分線 我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形,線段的垂直平分線是線段的對稱軸,如圖,直線MN是線段AB的垂直平分線,P是MN上任一點(diǎn),連結(jié)PA、PB,將線段AB沿直線MN對稱,我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合,由此即有: 線段垂直平分線的性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的距離相等. 已知:如圖,MN⊥AB,垂足為點(diǎn)C,AC=BC,點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn). 求證:PA=PB. 分析:圖中有兩個直角三角形APC和BPC,只要證明這兩個三角形全等,便可證明PA=PB. 定理證明:請根據(jù)教材中的分析,結(jié)合圖①,寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程. 定理應(yīng)用: (1)如圖②,在△
20、ABC中,直線m、n分別是邊BC、AC的垂直平分線,直線m、n的交點(diǎn)為O.過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H.求證:AH=BH. (2)如圖③,在△ABC中,AB=BC,邊AB的垂直平分線l交AC于點(diǎn)D,邊BC的垂直平分線k交AC于點(diǎn)E.若∠ABC=120°, AC=15,則DE的長為 5 . 解:定理證明: ∵M(jìn)N⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°. 又∵AC=BC,PC=PC, ∴△PAC≌△PBC(SAS), ∴PA=PB. 定理應(yīng)用:(1)如圖2,連結(jié)OA、OB、OC. ∵直線m是邊BC的垂直平分線, ∴OB=OC, ∵直線n是邊AC的垂直平分線, ∴OA=OC,
21、 ∴OA=OB ∵OH⊥AB, ∴AH=BH; (2)如圖③中,連接BD,BE. ∵BA=BC,∠ABC=120°, ∴∠A=∠C=30°, ∵邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E, ∴DA=DB,EB=EC, ∴∠A=∠DBA=30°,∠C=∠EBC=30°, ∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°,∠BED=∠C+∠EBC=60°, ∴△BDE是等邊三角形, ∴AD=BD=DE=BE=EC, ∵AC=15=AD+DE+EC=3DE, ∴DE=5, 故答案為:5. 8.如圖,在△ABC中,AB=AC,以BC為直角邊作等腰Rt△BCD,
22、∠CBD=90°,斜邊CD交AB于點(diǎn)E. (1)如圖1,若∠ABC=60°,BE=4,作EH⊥BC于H,求線段BC的長; (2)如圖2,作CF⊥AC,且CF=AC,連接BF,且E為AB中點(diǎn),求證:CD=2BF. 解:(1)∵∠ABC=60°,EH⊥BC, ∴∠BEH=30°, ∴BE=2BH=4,EH=BH, ∴BH=2,EH=2, ∵∠CBD=90°,BD=BC, ∴∠BCD=45°,且EH⊥BC, ∴∠BCD=∠BEC=45°, ∴EH=CH=2, ∴BC=BH+HC=2+2; (2)如圖,過點(diǎn)A作AM⊥BC, ∵AB=AC,AM⊥BC, ∴BM=MC=
23、BC=DB, ∵∠DCB=45°,AM⊥BC, ∴∠DCB=∠MNC=45°, ∴MN=MC=BD, ∵AM∥DB, ∴△CNM∽△CBD ∴, ∴CD=2CN,AN=BD, ∵CF⊥AC,∠BCD=45°, ∴∠ACD+∠BCF=45°,且∠ACD+∠MAC=45°, ∴∠BCF=∠MAC,且AC=CF,BC=AN, ∴△ACN≌△CFB(SAS) ∴BF=CN, ∴CD=2BF 9.【問題】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C作直線l平行于AB.∠EDF=90°,點(diǎn)D在直線L上移動,角的一邊DE始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊DF與AC交于點(diǎn)P,研
24、究DP和DB的數(shù)量關(guān)系. 【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖2,某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D移動到使點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時,通過推理就可以得到DP=DB,請寫出證明過程; 【數(shù)學(xué)思考】(2)如圖3,若點(diǎn)P是AC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)A、C),受(1)的啟發(fā),這個小組過點(diǎn)D作DG⊥CD交BC于點(diǎn)G,就可以證明DP=DB,請完成證明過程. 【探究發(fā)現(xiàn)】 證明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC ∴∠CAB=∠CBA=45° ∵CD∥AB ∴∠CBA=∠DCB=45°,且BD⊥CD ∴∠DCB=∠DBC=45° ∴DB=DC 即DP=DB; 【數(shù)學(xué)思考】 證明:(
25、2)∵DG⊥CD,∠DCB=45° ∴∠DCG=∠DGC=45° ∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°, ∵∠BDP=∠CDG=90° ∴∠CDP=∠BDG ,在△CDP和△GDB中,, ∴△CDP≌△GDB(ASA) ∴DP=DB. 10.已知,在平面直角坐標(biāo)系中,A(m,0)、B(0,n),m、n滿足(m﹣n)2+|m﹣5|=0.C為AB的中點(diǎn),P是線段AB上一動點(diǎn),D是x軸正半軸上一點(diǎn),且PO=PD,DE⊥AB于E. (1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時,點(diǎn)D恰在線段OA上,則PE與AB的數(shù)量關(guān)系為 AB=2PE (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A右側(cè)時,(1)中結(jié)
26、論是否成立?若成立,寫出證明過程;若不成立,說明理由! (3)設(shè)AB=5,若∠OPD=45°,直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo). 解:(1)∵(m﹣n)2+|m﹣5|=0, ∴m﹣n=0,m﹣5=0, ∴m=n=5, ∴A(5,0)、B(0,5), ∴AC=BC=5, ∴△AOB為等腰直角三角形, ∴∠AOC=∠BOC=45°,OC⊥AB, ∵PO=PD, ∴∠POD=∠PDO, ∵D是x軸正半軸上一點(diǎn), ∴點(diǎn)P在BC上, ∵∠POD=45°+∠POC,∠PDO=45°+∠DPE, ∴∠POC=∠DPE, 在△POC和△DPE中, , ∴△POC≌△DPE(AAS),
27、 ∴OC=PE, ∵C為AB的中點(diǎn), ∴AB=2OC, ∴AB=2PE. 故答案為:AB=2PE. (2)成立,理由如下: ∵點(diǎn)C為AB中點(diǎn), ∴∠AOC=∠BOC=45°,OC⊥AB, ∵PO=PD, ∴∠POD=∠PDO, ∵∠POD=45°﹣∠POC,∠PDO=45°﹣∠DPE, ∴∠POC=∠DPE, 在△POC和△DPE中, , ∴△POC≌△DPE(AAS), ∴OC=PE, 又∠AOC=∠BAO=45° ∴OC=AC=AB ∴AB=2PE; (3)∵AB=5, ∴OA=OB=5, ∵OP=PD, ∴∠POD=∠PDO==67.5°,
28、∴∠APD=∠PDO﹣∠A=22.5°,∠BOP=90°﹣∠POD=22.5°, ∴∠APD=∠BOP, 在△POB和△DPA中, , ∴△POB≌△DPA(SAS), ∴PA=OB=5,DA=PB, ∴DA=PB=5﹣5, ∴OD=OA﹣DA=5﹣(5﹣5)=10﹣5, ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(10﹣5,0). 11.如圖1,直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),OC平分∠AOB交AB于點(diǎn)C,點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥OC交y軸于點(diǎn)E,已知AO=m,BO=n,且m、n滿足n2﹣8n+16+|n﹣2m|=0. (1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo); (2)若點(diǎn)D為AB中點(diǎn),求OE
29、的長; (3)如圖2,若點(diǎn)P(x,﹣2x+4)為直線AB在x軸下方的一點(diǎn),點(diǎn)E是y軸的正半軸上一動點(diǎn),以E為直角頂點(diǎn)作等腰直角△PEF,使點(diǎn)F在第一象限,且F點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)始終相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo). 解:(1)∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|=0, ∴(n﹣4)2+|n﹣2m|=0, ∵(n﹣4)2≥0,|n﹣2m|≥0, ∴(n﹣4)2=0,|n﹣2m|=0, ∴m=2,n=4, ∴點(diǎn)A為(2,0),點(diǎn)B為(0,4); (2)延長DE交x軸于點(diǎn)F,延長FD到點(diǎn)G,使得DG=DF,連接BG, 設(shè)OE=x, ∵OC平分∠AOB, ∴∠BOC=∠AOC=45°, ∵DE∥
30、OC, ∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°, ∴OE=OF=x, 在△ADF和△BDG中, , ∴△ADF≌△BDG(SAS), ∴BG=AF=2+x,∠G=∠AFE=45°, ∴∠G=∠BEG=45°, ∴BG=BE=4﹣x, ∴4﹣x=2+x,解得:x=1, ∴OE=1; (3)如圖2,分別過點(diǎn)F、P作FM⊥y軸于點(diǎn)M,PN⊥y軸于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)E為(0,m), ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,﹣2x+4), ∴PN=x,EN=m+2x﹣4, ∵∠PEF=90°, ∴∠PEN+∠FEM=90°, ∵FM⊥y軸, ∴∠MFE+∠FEM=90°, ∴
31、∠PEN=∠MFE, 在△EFM和△PEN中, , ∴△EFM≌△PEN(AAS), ∴ME=NP=x,F(xiàn)M=EN=m+2x﹣4, ∴點(diǎn)F為(m+2x﹣4,m+x), ∵F點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等, ∴m+2x﹣4=m+x, 解得:x=4, ∴點(diǎn)P為(4,﹣4). 12.在等邊△ABC中,線段AM為BC邊上的中線.動點(diǎn)D在直線AM上時,以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE,連結(jié)BE. (1)若點(diǎn)D在線段AM上時(如圖1),則AD?。健E(填“>”、“<”或“=”),∠CAM= 30 度; (2)設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O. ①當(dāng)動點(diǎn)D在線段AM的延長線上
32、時(如圖2),試判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; ②當(dāng)動點(diǎn)D在直線AM上時,試判斷∠AOB是否為定值?若是,請直接寫出∠AOB的度數(shù);若不是,請說明理由. 解:(1))∵△ABC與△DEC都是等邊三角形 ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE ∴∠ACD=∠BCE. 在△ADC和△BEC中 , ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE; ∵△ABC是等邊三角形, ∴∠BAC=60°. ∵線段AM為BC邊上的中線 ∴∠CAM=∠BAC, ∴∠CAM=30°. 故答案為:=,30; (2)①AD
33、=BE, 理由如下:∵△ABC和△CDE都是等邊三角形 ∴AB=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°, ∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB, ∴∠ACD=∠BCE, ∴△ACD≌△BCE(SAS) ∴AD=BE. ②∠AOB是定值,∠AOB=60°, 理由如下: 當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時,如圖1,由①知△ACD≌△BCE,則∠CBE=∠CAD=30°, 又∠ABC=60°, ∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°, ∵△ABC是等邊三角形,線段AM為BC邊上的中線 ∴AM平分∠BAC,即, ∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
34、 當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長線上時,如圖2, ∵△ABC與△DEC都是等邊三角形 ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE ∴∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中 , ∴△ACD≌△BCE(SAS) ∴∠CBE=∠CAD=30°, 同理可得:∠BAM=30°, ∴∠BOA=90°﹣30°=60°. 13.小明在學(xué)習(xí)等邊三角形時發(fā)現(xiàn)了直角三角形的一個性質(zhì):直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進(jìn)一步探究.如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB,則:∠ABC=30°
35、. 探究結(jié)論:(1)如圖1,CE是AB邊上的中線,易得結(jié)論:△ACE為 等邊 三角形. (2)如圖2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB,CP是AB邊上的中線,點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn),連接AD,在AB邊上方作等邊△ADE,連接BE.試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系,寫出你的猜想加以證明. 拓展應(yīng)用:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣,1),點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動點(diǎn),以AB為邊作等邊△ABC,當(dāng)點(diǎn)C在第一象內(nèi),且B(2,0)時,求點(diǎn)C的坐標(biāo). 解:探究結(jié)論(1)∵CE是AB邊上的中線, ∴CE=AE=AB, ∵AC=AB, ∴AC=CE=AE,
36、∴△ACE是等邊三角形. 故答案為:等邊; (2)如圖2中,結(jié)論:ED=EB. 理由:取AB的中點(diǎn)P,連接CP、PE. ∵△ACP,△ADE都是等邊三角形, ∴AC=AP=PC,AD=AE=DE,∠CAP=∠DAE=60°, ∴∠CAD=∠PAE, ∴△CAD≌△PAE(SAS), ∴∠ACD=∠APE=90°, ∴EP⊥AB, ∵PA=PB, ∴EA=EB, ∵DE=AE, ∴ED=EB. 拓展應(yīng)用:如圖3中,作AH⊥x軸于H,CF⊥OB于F,連接OA. ∵A(﹣,1), ∴∠AOH=30°, 由(2) 可知,CO=CB, ∵CF⊥OB, ∴O
37、F=FB=1, ∴可以假設(shè)C(1,n), ∵OC=BC=AB, ∴1+n2=1+(+2)2, ∴n=2+, ∴C(1,2+). 14.如圖,等邊△ABC外有一點(diǎn)D,連接DA,DB,DC. (1)如圖1,若∠DAB+∠DCB=180°,求證:BD平分∠ADC; (2)如圖2,若∠BDC=60°,求證:BD﹣CD=AD; (3)如圖3,延長AD交BC的延長線于點(diǎn)F,以BF為邊向下作等邊△BEF,若點(diǎn)D,C,E在同一直線上,且∠ABD=α,直接寫出∠CEF的度數(shù)為 60°﹣α?。ńY(jié)果用含α的式子表示). (1)證明:過點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M,BN⊥AD于點(diǎn)N, ∴∠AN
38、B=∠CMB=90°, ∵△ABC為等邊三角形, ∴AB=BC, ∵∠DAB+∠DCB=180°, ∠DCB+∠BCM=180°, ∴∠OAB=∠BCM, ∴△ABN≌△CBM(AAS), ∴BM=BN, ∴BD平分∠ADC; (2)證明:在BD上取點(diǎn)E,使DE=CD, ∵∠BDC=60° ∴△CDE為等邊三角形, ∴∠DCE=∠ACB=60°, ∴∠ACD=∠BCE, ∵AC=BC, ∴△ADC≌△BEC(SAS), ∴AD=BE, ∴BD﹣CD=AD; (3)解:∵△ABC,△BEF為等邊三角形,∴AB=CB,BF=BE,∠ABF=∠CBE ∴△A
39、BF≌CBE(SAS), ∴∠DFB=∠CEB, ∵∠CEB+∠CEF=60°,∠EFB=60° ∴∠FDE=180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF=60° ∴∠ADC=120°, ∴∠ADC+∠ABC=180°, 由(1)得BD平分∠ADC ∴∠BDE=60°, ∴∠FDB=120°, ∴∠FDB+∠FEB=180°, ∴F,E,B,D四點(diǎn)共圓, ∴∠CEF=∠DBF ∵∠DBF=60°﹣α. ∴∠CEF=60°﹣α. 故答案為:60°﹣α. 15.已知,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,2),B(﹣2,m),過B點(diǎn)作直線a與x軸互相垂直,C為x軸上的一個動點(diǎn),且∠
40、BAC=90°. (1)如圖1,若點(diǎn)B是第二象限內(nèi)的一個點(diǎn),且m>2時,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(用m的代數(shù)式表示) (2)如圖2,若點(diǎn)B是第三象限內(nèi)的一個點(diǎn),設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)(x,0),求x的取值范圍: (3)如圖3,連接BC,作∠ABC的平分線BD,點(diǎn)E、F分別是射線BD與邊BC上的兩個動點(diǎn),連接CE、EF,當(dāng)m=3時,試求CE+EF的最小值. 解:(1)如圖1,過B點(diǎn)作BH⊥y軸于點(diǎn)H, ∴∠BHA=90°,∠ABH+∠BAH=90°, ∴∠BHA=∠AOC=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠BAH+∠CAO=90°, ∴∠ABH=∠CAO, ∵點(diǎn)A(0,2),B(﹣2,m)
41、, ∴AO=BH=2,OH=m, ∵AO=BH,∠ABH=∠CAO,∠BHA=∠AOC=90°, ∴△BHA≌△AOC(ASA) ∴CO=AH=OH﹣AO=m﹣2, ∵m>2,點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸, ∴點(diǎn)C(2﹣m,0); (2)如圖2,過B點(diǎn)作BK⊥y軸于點(diǎn)K,則∠AKB=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠BAK+∠CAK=90°,且∠BAK+∠ABK=90°, ∴∠CAK=∠ABK, ∵點(diǎn)A(0,2),B(﹣2,m), ∴AO=BK=2,OH=m, ∵AO=BK,∠CAK=∠ABK,∠AOC=∠AKB=90°, ∴△ABK≌△CAO(AAS) ∴CO=AK=2﹣m, ∵C點(diǎn)的坐標(biāo)(x,0), ∴CO=x=2﹣m, ∵點(diǎn)B是第三象限內(nèi)的一個點(diǎn), ∴m<0, ∴2﹣m>2, ∴x>2; (3)如圖3,在AB上截取BN=BF, ∵BD是∠ABC的平分線, ∴∠ABE=∠CBE,且BE=BE,BF=BN, ∴△BEF≌△BEN(SAS) ∴EF=EN, ∴CE+EF=CE+EN, ∴當(dāng)C,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線,且N與點(diǎn)A重合時,CE+EF有最小值, 此時最小值為AC, 由(1)可知:點(diǎn)C(2﹣m,0); 且m=3, ∴點(diǎn)C(﹣1,0), ∴CO=1, ∴AC===, ∴CE+EF的最小值為.
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