2年中考1年模擬備戰(zhàn)2018年中考數(shù)學(xué) 第四篇 圖形的性質(zhì) 專題18 等腰三角形與直角三角形(含解析)
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1、 第四篇 圖形的性質(zhì) 專題18 等腰三角形與直角三角形 ?解讀考點(diǎn) 知 識(shí) 點(diǎn) 名師點(diǎn)晴 等腰三角形 等腰三角形的性質(zhì) 理解等腰三角形的性質(zhì),并能解決等腰三角形的有關(guān)計(jì)算 等腰三角形的判定 掌握等腰三角形的判定方法,會(huì)證明一個(gè)三角形是等腰三角形 等邊三角形 等邊三角形的性質(zhì) 理解等邊三角形的性質(zhì) 等邊三角形的判定 掌握等邊三角形的判定方法,會(huì)證明一個(gè)三角形是等邊三角形 直角三角形 直角三角形的性質(zhì) 理解直角三角形的有關(guān)性質(zhì) 直角三角形的判定 掌握直角三角形的判定方法,會(huì)證明一個(gè)三角形是直角三角形 勾股定理 理解并掌握勾股定理及其逆定
2、理 ?2年中考 【2017年題組】 一、選擇題 1.(2017內(nèi)蒙古包頭市)若等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm,其中一邊長(zhǎng)為2cm,則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為( ?。? A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 【答案】A. 【解析】 試題分析:若2cm為等腰三角形的腰長(zhǎng),則底邊長(zhǎng)為10﹣2﹣2=6(cm),2+2<6,不符合三角形的三邊關(guān)系; 若2cm為等腰三角形的底邊,則腰長(zhǎng)為(10﹣2)÷2=4(cm),此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2cm,4cm,4cm,符合三角形的三邊關(guān)系;故選A. 考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì);2.三角形三邊關(guān)系;3.
3、分類討論. 2.(2017天津)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的兩條中線,P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長(zhǎng)度等于BP+EP最小值的是( ?。? A.BC B.CE C.AD D.AC 【答案】B. 【解析】 考點(diǎn):1.軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題;2.等腰三角形的性質(zhì);3.最值問(wèn)題. 3.(2017山東省淄博市)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F,則EF的長(zhǎng)為( ) A. B. C. D. 【答案】C.
4、 【解析】 考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.角平分線的性質(zhì);3.等腰三角形的判定與性質(zhì);4.綜合題. 4.(2017湖北省武漢市)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為( ?。? A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D. 【解析】 試題分析:如圖: 故選D. 考點(diǎn):1.等腰三角形的判定與性質(zhì);2.分類討論;3.綜合題;4.操作型. 5.(2017湖北省荊州市)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,A
5、B的垂直平分線l交AC于點(diǎn)D,則∠CBD的度數(shù)為( ?。? A.30° B.45° C.50° D.75° 【答案】B. 【解析】 考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì);2.線段垂直平分線的性質(zhì). 6.(2017湖北省鄂州市)如圖,AB∥CD,E為CD上一點(diǎn),射線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,EC=EA.若∠CAE=30°,則∠BAF=( ?。? A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】D. 【解析】 考點(diǎn):1.平行線的性質(zhì);2.等腰三角形的性質(zhì). 7.(2017貴州省畢節(jié)市)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分
6、別在BC,CD上,且∠EAF=45°,將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處,則下列判斷不正確的是( ?。? A.△AEE′是等腰直角三角形 B.AF垂直平分EE' C.△E′EC∽△AFD D.△AE′F是等腰三角形 【答案】D. 【解析】 試題分析:∵將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處,∴AE′=AE,∠E′AE=90°,∴△AEE′是等腰直角三角形,故A正確; ∵將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處,∴∠E′AD=∠BAE,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DA
7、F=45°,∴∠E′AD+∠FAD=45°,∴∠E′AF=∠EAF,∵AE′=AE,∴AF垂直平分EE',故B正確; ∵AF⊥E′E,∠ADF=90°,∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF,∴∠FE′E=∠DAF,∴△E′EC∽△AFD,故C正確; ∵AD⊥E′F,但∠E′AD不一定等于∠DAE′,∴△AE′F不一定是等腰三角形,故D錯(cuò)誤; 故選D. 考點(diǎn):1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);2.線段垂直平分線的性質(zhì);3.等腰三角形的判定;4.等腰直角三角形;5.正方形的性質(zhì);6.相似三角形的判定. 8.(2017遼寧省營(yíng)口市)如圖,在△ABC中,AB=AC,E,F(xiàn)分別是BC,AC的中點(diǎn),以AC
8、為斜邊作Rt△ADC,若∠CAD=∠CAB=45°,則下列結(jié)論不正確的是( ?。? A.∠ECD=112.5° B.DE平分∠FDC C.∠DEC=30° D.AB=CD 【答案】C. 【解析】 ∵∠FEC=∠B=67.5°,∠FED=22.5°,∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°,故C錯(cuò)誤,符合題意; ∵Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=DC,∴AC=CD,∵AB=AC,∴AB=CD,故D正確,不符合題意. 故選C. 考點(diǎn):1.三角形中位線定理;2.等腰三角形的性質(zhì). 9.(2017廣西河池市)已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12,D是AB上的
9、動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過(guò)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,過(guò)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí),AD的長(zhǎng)是( ?。? A.3 B.4 C.8 D.9 【答案】B. 【解析】 試題分析:設(shè)AD=x,∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE⊥AC于點(diǎn)E,EF⊥BC于點(diǎn)F,F(xiàn)G⊥AB,∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°,∴AF=2x,∴CF=12﹣2x,∴CE=2CF=24﹣4x,∴BE=12﹣CE=4x﹣12,∴BD=2BE=8x﹣24,∵AD+BD=AB,∴x+8x﹣24=12,∴x=4,∴AD=4.故選B. 考點(diǎn):1.等邊三角形的性
10、質(zhì);2.含30度角的直角三角形;3.動(dòng)點(diǎn)型. 10.(2017廣西玉林崇左市)如圖,大小不同的兩個(gè)磁塊,其截面都是等邊三角形,小三角形邊長(zhǎng)是大三角形邊長(zhǎng)的一半,點(diǎn)O是小三角形的內(nèi)心,現(xiàn)將小三角形沿著大三角形的邊緣順時(shí)針滾動(dòng),當(dāng)由①位置滾動(dòng)到④位置時(shí),線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是( ?。? A.240° B.360° C.480° D.540° 【答案】C. 【解析】 考點(diǎn):1.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;2.等邊三角形的性質(zhì);3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 11.(2017天門)如圖,P(m,m)是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn),以P為頂點(diǎn)作等邊△PAB,使
11、AB落在x軸上,則△POB的面積為( ) A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】 考點(diǎn):1.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;2.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;3.等邊三角形的性質(zhì). 12.(2017內(nèi)蒙古包頭市)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5,則CE的長(zhǎng)為( ?。? A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.勾股定理;3.角平分線的性質(zhì);4.綜合題. 13.(
12、2017山東省泰安市)如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),ME⊥AM,ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AB=12,BM=5,則DE的長(zhǎng)為( ?。? A.18 B. C. D. 【答案】B. 【解析】 試題分析:∵四邊形ABCD是正方形,AB=12,BM=5,∴MC=12﹣5=7.∵M(jìn)E⊥AM,∴∠AME=90°,∴∠AMB+∠CMG=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMG,∠B=∠C=90°,∴△ABM∽△MCG,∴,即,解得CG=,∴DG=12﹣=.∵AE∥BC,∴∠E=CMG,∠EDG=∠C,∴△MCG∽△EDG,∴,即,解得DE=.故選B
13、. 考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.勾股定理;3.正方形的性質(zhì). 14.(2017山東省聊城市)如圖是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上,如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn),連接PA、PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( ?。? A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 【答案】B. 【解析】 考點(diǎn):等腰直角三角形. 15.(2017江蘇省無(wú)錫市)如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),將△ABD沿AD翻折得到△AED,連CE,則線段CE的長(zhǎng)等于( )
14、A.2 B. C. D. 【答案】D. 【解析】 試題分析:如圖連接BE交AD于O,作AH⊥BC于H. 在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,∴BC==5,∵CD=DB,∴AD=DC=DB=,∵?BC?AH=?AB?AC,∴AH=,∵AE=AB,DE=DB=DC,∴AD垂直平分線段BE,△BCE是直角三角形,∵?AD?BO=?BD?AH,∴OB=,∴BE=2OB=,在Rt△BCE中,EC===,故選D. 考點(diǎn):1.翻折變換(折疊問(wèn)題);2.直角三角形斜邊上的中線;3.勾股定理. 16.(2017浙江省紹興市)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子
15、斜靠在左墻時(shí),梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米,如果保持梯子底端位置不動(dòng),將梯子斜靠在右墻時(shí),頂端距離地面2米,則小巷的寬度為( ) A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 【答案】C. 【解析】 考點(diǎn):勾股定理的應(yīng)用. 17.(2017湖北省襄陽(yáng)市)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理,是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲,如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為b,若,大正方形的面積為13,則小正方形的面積為( ?。?
16、A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C. 【解析】 試題分析:如圖所示,∵,∴=21,∵大正方形的面積為13,2ab=21﹣13=8,∴小正方形的面積為13﹣8=5.故選C. 考點(diǎn):勾股定理的證明. 18.(2017遼寧省大連市)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),CD=DE=a,則AB的長(zhǎng)為( ?。? A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 考點(diǎn):直角三角形斜邊上的中線. 19.(2017遼寧省營(yíng)口市)如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D在BC上
17、,BD=3,DC=1,點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn),則PC+PD的最小值為( ?。? A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B. 【解析】 考點(diǎn):1.軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題;2.等腰直角三角形;3.最值問(wèn)題. 20.(2017遼寧省葫蘆島市)如圖,將矩形紙片ABCD沿直線EF折疊,使點(diǎn)C落在AD邊的中點(diǎn)C′處,點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,其中AB=9,BC=6,則FC′的長(zhǎng)為( ) A. B.4 C.4.5 D.5 【答案】D. 【解析】 試題分析:設(shè)FC′=x,則FD=9﹣x,∵BC=6,四邊形ABCD為矩形,點(diǎn)C′為
18、AD的中點(diǎn),∴AD=BC=6,C′D=3.在Rt△FC′D中,∠D=90°,F(xiàn)C′=x,F(xiàn)D=9﹣x,C′D=3,∴FC′2=FD2+C′D2,即x2=(9﹣x)2+32,解得:x=5.故選D. 考點(diǎn):1.矩形的性質(zhì);2.勾股定理. 21.(2017四川省雅安市)如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,AD=1,BC=2,則四邊形ABCD的面積是 ( ?。? A. B.3 C. D.4 【答案】A. 【解析】 考點(diǎn):1.勾股定理;2.含30度角的直角三角形;3.解直角三角形. 二、填空題 22.(2017吉林省長(zhǎng)春市)如圖①,
19、這個(gè)圖案是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”.此圖案的示意圖如圖②,其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四個(gè)全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,則AB的長(zhǎng)為 . 【答案】10. 【解析】 考點(diǎn):勾股定理的證明. 23.(2017吉林省長(zhǎng)春市)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)B,C的坐標(biāo)為(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直線AB交x軸于點(diǎn)P.若△ABC與△A'B'C'關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱,則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為 . 【答案】(﹣2,﹣
20、3). 【解析】 試題分析:如圖,點(diǎn)B,C的坐標(biāo)為(2,1),(6,1),得:BC=4.由∠BAC=90°,AB=AC,得AB=,∠ABD=45°,∴BD=AD=2,A(4,3),設(shè)AB的解析式為y=kx+b,將A,B點(diǎn)坐標(biāo)代入,得:,解得:,AB的解析式為y=x﹣1,當(dāng)y=1時(shí),x=1,即P(1,0),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得 xA′=2xP﹣xA=2﹣4=﹣2,yA′=2yA′﹣yA=0﹣3=﹣3,A′(﹣2,﹣3).故答案為:(﹣2,﹣3). 考點(diǎn):1.坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn);2.等腰直角三角形. 24.(2017四川省樂(lè)山市)點(diǎn)A、B、C在格點(diǎn)圖中的位置如圖5所示,格點(diǎn)小正方形的
21、邊長(zhǎng)為1,則點(diǎn)C到線段AB所在直線的距離是 . 【答案】. 【解析】 考點(diǎn):勾股定理. 25.(2017山東省東營(yíng)市)我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達(dá)其頂,問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何?”題意是:如圖所示,把枯木看作一個(gè)圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長(zhǎng)為3尺,有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處,則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是 尺. 【答案】25. 【解析】 考點(diǎn):1.平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題;2.勾股定理的應(yīng)用;3.壓軸題;4.轉(zhuǎn)化思想. 26.(2017山東省青
22、島市)如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E為對(duì)角線AC的中點(diǎn),連接BE,ED,BD.若∠BAD=58°,則∠EBD的度數(shù)為 度. 【答案】32. 【解析】 試題分析:∵∠ABC=∠ADC=90°,∴點(diǎn)A,B,C,D在以E為圓心,AC為直徑的同一個(gè)圓上,∵∠BAD=58°,∴∠DEB=116°,∵DE=BE=AC,∴∠EBD=∠EDB=32°,故答案為:32. 考點(diǎn):直角三角形斜邊上的中線. 27.(2017江蘇省徐州市)如圖,已知OB=1,以O(shè)B為直角邊作等腰直角三角形A1BO,再以O(shè)A1為直角邊作等腰直角三角形A2A1O,如此下去,則線段OAn的
23、長(zhǎng)度為 . 【答案】. 【解析】 考點(diǎn):1.等腰直角三角形;2.規(guī)律型;3.綜合題. 28.(2017河南?。┤鐖D,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=,點(diǎn)M,N分別是邊BC,AB上的動(dòng)點(diǎn),沿MN所在的直線折疊∠B,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′始終落在邊AC上,若△MB′C為直角三角形,則BM的長(zhǎng)為 . 【答案】或1. 【解析】 試題分析:①如圖1,當(dāng)∠B′MC=90°,B′與A重合,M是BC的中點(diǎn),∴BM=BC=; ②如圖2,當(dāng)∠MB′C=90°,∵∠A=90°,AB=AC,∴∠C=45°,∴△CMB′是等腰直角三角形,∴CM=MB′,
24、∵沿MN所在的直線折疊∠B,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′,∴BM=B′M,∴CM=BM,∵BC=+1,∴CM+BM=BM+BM=+1,∴BM=1,綜上所述,若△MB′C為直角三角形,則BM的長(zhǎng)為或1,故答案為:或1. 考點(diǎn):1.翻折變換(折疊問(wèn)題);2.等腰直角三角形;3.分類討論. 29.(2017湖北省武漢市)如圖,在△ABC中,AB=AC=,∠BAC=120°,點(diǎn)D、E都在邊BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,則DE的長(zhǎng)為 . 【答案】. 【解析】 ∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,∴∠BAD+∠CAE=60°,∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+
25、∠CAE=60°. 在△ADE和△AFE中,∵AD=AF,∠DAE=∠FAE=60°,AE=AE,∴△ADE≌△AFE(SAS),∴DE=FE. ∵BD=2CE,BD=CF,∠ACF=∠B=30°,∴設(shè)CE=2x,則CM=x,EM=x,F(xiàn)M=4x﹣x=3x,EF=ED=6﹣6x. 在Rt△EFM中,F(xiàn)E=6﹣6x,F(xiàn)M=3x,EM=x,∴EF2=FM2+EM2,即,解得:x1=,x2=(不合題意,舍去),∴DE=6﹣6x=.故答案為:. 考點(diǎn):1.全等三角形的判定與性質(zhì);2.勾股定理;3.翻折變換(折疊問(wèn)題);4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 30.(2017寧夏)在△ABC中,AB=6,點(diǎn)D是
26、AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC,交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)M在DE上,且ME=DM.當(dāng)AM⊥BM時(shí),則BC的長(zhǎng)為 . 【答案】8. 【解析】 考點(diǎn):1.三角形中位線定理;2.等腰三角形的判定與性質(zhì). 31.(2017浙江省紹興市)如圖,∠AOB=45°,點(diǎn)M、N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn).若使點(diǎn)P、M、N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè),則x的值是 . 【答案】x=0或x= 或 . 【解析】 試題分析:以MN為底邊時(shí),可作MN的垂直平分線,與OB的必有一個(gè)交點(diǎn)P1 , 且MN=4,以M為圓心MN為半徑畫圓,以N為圓心MN為
27、半徑畫圓,①如下圖,當(dāng)M與點(diǎn)O重合時(shí),即x=0時(shí),除了P1 , 當(dāng)MN=MP,即為P3;當(dāng)NP=MN時(shí),即為P2; 只有3個(gè)點(diǎn)P; ②當(dāng)0<x<4時(shí),如下圖,圓N與OB相切時(shí),NP2=MN=4,且NP2⊥OB,此時(shí)MP3=4,則OM=ON-MN= NP2-4= . ③因?yàn)镸N=4,所以當(dāng)x>0時(shí),MN<ON,則MN=NP不存在,除了P1外,當(dāng)MP=MN=4時(shí),過(guò)點(diǎn)M作MD⊥OB于D,當(dāng)OM=MP=4時(shí),圓M與OB剛好交OB兩點(diǎn)P2和P3; 當(dāng)MD=MN=4時(shí),圓M與OB只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)OM=MD=,故4≤x<. 與OB有兩個(gè)交點(diǎn)P2和P3,故答案為:x=0或x=或
28、4≤x<. 考點(diǎn):1.等腰三角形的判定;2.相交兩圓的性質(zhì);3.分類討論;4.綜合題. 32.(2017黑龍江省綏化市)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直線BC于點(diǎn)D,若AD=BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為 . 【答案】30°或150°或90°. 【解析】 考點(diǎn):1.含30度角的直角三角形;2.等腰三角形的性質(zhì);3.分類討論. 33.(2017黑龍江省龍東地區(qū))如圖,在△ABC中,AB=BC=8,AO=BO,點(diǎn)M是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠AOC=60°,則當(dāng)△ABM為直角三角形時(shí),AM的長(zhǎng)為 . 【答案】或或4. 【解析】 如圖3,當(dāng)∠ABM
29、=90°時(shí),∵∠BOM=∠AOC=60°,∴∠BMO=30°,∴MO=2BO=2×4=8,∴Rt△BOM中,BM==,∴Rt△ABM中,AM==. 綜上所述,當(dāng)△ABM為直角三角形時(shí),AM的長(zhǎng)為或或4.故答案為:或或4. 考點(diǎn):1.勾股定理;2.等腰三角形的性質(zhì);3.分類討論;4.動(dòng)點(diǎn)型;5.綜合題. 34.(2017遼寧省撫順市)如圖,等邊△A1C1C2的周長(zhǎng)為1,作C1D1⊥A1C2于D1,在C1C2的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C3,使D1C3=D1C1,連接D1C3,以C2C3為邊作等邊△A2C2C3;作C2D2⊥A2C3于D2,在C2C3的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C4,使D2C4=D2C2,連接D2C4,
30、以C3C4為邊作等邊△A3C3C4;…且點(diǎn)A1,A2,A3,…都在直線C1C2同側(cè),如此下去,則△A1C1C2,△A2C2C3,△A3C3C4,…,△AnCnCn+1的周長(zhǎng)和為 .(n≥2,且n為整數(shù)) 【答案】. 【解析】 考點(diǎn):1.等邊三角形的性質(zhì);2.規(guī)律型;3.綜合題. 35.(2017遼寧省營(yíng)口市)如圖,點(diǎn)A1(1,)在直線l1:y=x上,過(guò)點(diǎn)A1作A1B1⊥l1交直線l2:y=x于點(diǎn)B1,A1B1為邊在△OA1B1外側(cè)作等邊三角形A1B1C1,再過(guò)點(diǎn)C1作A2B2⊥l1,分別交直線l1和l2于A2,B2兩點(diǎn),以A2B2為邊在△OA2B2外側(cè)作等邊三角形A2
31、B2C2,…按此規(guī)律進(jìn)行下去,則第n個(gè)等邊三角形AnBnCn的面積為 .(用含n的代數(shù)式表示) 【答案】. 【解析】 試題分析:∵點(diǎn)A1(1,),∴OA1=2. ∵直線l1:y=x,直線l2:y=x,∴∠A1OB1=30°. 在Rt△OA1B1中,OA1=2,∠A1OB1=30°,∠OA1B1=90°,∴A1B1=OB1,∴A1B1=. ∵△A1B1C1為等邊三角形,∴A1A2=A1B1=1,∴OA2=3,A2B2=. 同理,可得出:A3B3=,A4B4=,…,AnBn=,∴第n個(gè)等邊三角形AnBnCn的面積為×AnBn2=.故答案為:. 考點(diǎn):1.一次函數(shù)圖象上
32、點(diǎn)的坐標(biāo)特征;2.等邊三角形的性質(zhì);3.規(guī)律型;4.綜合題. 三、解答題 36.(2017寧夏)在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中,P是BC邊上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn) P分別作 PM⊥A B,PN⊥AC,M、N分別為垂足. (1)求證:不論點(diǎn)P在BC邊的何處時(shí)都有PM+PN的長(zhǎng)恰好等于三角形ABC一邊上的高; (2)當(dāng)BP的長(zhǎng)為何值時(shí),四邊形AMPN的面積最大,并求出最大值. 【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)BP=1時(shí),四邊形AMPN的面積最大,最大值是. 【解析】 (2)設(shè)BP=x,則CP=2﹣x,由△ABC是等邊三角形,得到∠B=∠C=60°,解直角三角形得到BM=x,PM=x
33、,CN=(2﹣x),PN=(2﹣x),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論. 試題解析:(1)連接AP,過(guò)C作CD⊥AB于D,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,∴ AB?CD=AB?PM+AC?PN,∴PM+PN=CD,即不論點(diǎn)P在BC邊的何處時(shí)都有PM+PN的長(zhǎng)恰好等于三角形ABC一邊上的高; (2)設(shè)BP=x,則CP=2﹣x,∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°,∵PM⊥AB,PN⊥AC,∴BM=x,PM=x,CN=(2﹣x),PN=(2﹣x),∴四邊形AMPN的面積=×(2﹣x)?x+×[2﹣(2﹣x)]? (2﹣x)= =,∴當(dāng)BP=1時(shí)
34、,四邊形AMPN的面積最大,最大值是. 考點(diǎn):1.等邊三角形的性質(zhì);2.二次函數(shù)的最值;3.定值問(wèn)題;4.動(dòng)點(diǎn)型;5.最值問(wèn)題. 37.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特市)如圖,等腰三角形ABC中,BD,CE分別是兩腰上的中線. (1)求證:BD=CE; (2)設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別為線段BO和CO的中點(diǎn),當(dāng)△ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長(zhǎng)相等時(shí),判斷四邊形DEMN的形狀,無(wú)需說(shuō)明理由. 【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形DEMN是正方形. 【解析】 試題解析:(1)解:由題意得,AB=AC,∵BD,CE分別是兩腰上的中線,∴AD=AC,AE=AB,∴A
35、D=AE,在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(ASA),∴BD=CE; (2)四邊形DEMN是正方形,證明:∵E、D分別是AB、AC的中點(diǎn),∴AE=AB,AD=AC,ED是△ABC的中位線,∴ED∥BC,ED=BC,∵點(diǎn)M、N分別為線段BO和CO中點(diǎn),∴OM=BM,ON=CN,MN是△OBC的中位線,∴MN∥BC,MN=BC,∴ED∥MN,ED=MN,∴四邊形EDNM是平行四邊形,由(1)知BD=CE,又∵OE=ON,OD=OM,OM=BM,ON=CN,∴DM=EN,∴四邊形EDNM是矩形,在△BDC與△CEB中,∵BE=CD,CE=BD,BC
36、=CB,∴△BDC≌△CEB,∴∠BCE=∠CBD,∴OB=OC,∵△ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長(zhǎng)相等,∴O到BC的距離=BC,∴BD⊥CE,∴四邊形DEMN是正方形. 考點(diǎn):1.全等三角形的判定與性質(zhì);2.三角形的重心;3.等腰三角形的性質(zhì). 38.(2017江蘇省連云港市)如圖,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E分別在邊AB.AC上,且AD=AE,連接BE、CD,交于點(diǎn)F. (1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由; (2)求證:過(guò)點(diǎn)A、F的直線垂直平分線段BC. 【答案】(1)∠ABE=∠ACD;(2)證明見解析. 【解析】 (2)∵A
37、B=AC,∴∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC,∵AB=AC,∴點(diǎn)A、F均在線段BC的垂直平分線上,即直線AF垂直平分線段BC. 考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì);2.線段垂直平分線的性質(zhì);3.探究型. 39.(2017北京市)在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合),連接AP,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q,使得CQ=CP,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)M. (1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示). (2)用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明. 【答案】(1)∠AMQ=45
38、°+α;(2)PQ=MB. 【解析】 試題分析:(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠B=45°,∠PAB=45°﹣α,由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論; (2)連接AQ,作ME⊥QB,由AAS證明△APC≌△QME,得出PC=ME,△AEB是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論. 試題解析:(1)∠AMQ=45°+α;理由如下: ∵∠PAC=α,△ACB是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠B=45°,∠PAB=45°﹣α,∵QH⊥AP,∴∠AHM=90°,∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α; (2)PQ=MB;理由如下: 連接AQ,作ME⊥QB,
39、如圖所示: ∵AC⊥QP,CQ=CP,∴∠QAC=∠PAC=α,∴∠QAM=45°+α=∠AMQ,∴AP=AQ=QM,在△APC和△QME中,∵∠MQE=∠PAC,∠ACP=∠QEM,AP=QM,∴△APC≌△QME(AAS),∴PC=ME,∴△AEB是等腰直角三角形,∴PQ=MB,∴PQ=MB. 考點(diǎn):1.全等三角形的判定與性質(zhì);2.等腰直角三角形;3.探究型;4.動(dòng)點(diǎn)型. 40.(2017四川省阿壩州)如圖,△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn). (1)求證:BD=CE; (2)若AB=2,AD=1,把△ADE
40、繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠EAC=90°時(shí),求PB的長(zhǎng); 【答案】(1)證明見解析;(2)PB的長(zhǎng)為或. 【解析】 試題解析:(1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,∴AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠CAE,∴△ADB≌△AEC,∴BD=CE. (2)解:①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),BE=AB﹣AE=1. ∵∠EAC=90°,∴CE==. 同(1)可證△ADB≌△AEC,∴∠DBA=∠ECA. ∵∠PEB=∠AEC,∴△PEB∽△AEC,∴,∴,∴PB=. ②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí),BE=3. ∵∠EAC=90°,∴CE==. 同(1)可證
41、△ADB≌△AEC,∴∠DBA=∠ECA. ∵∠BEP=∠CEA,∴△PEB∽△AEC,∴,∴,∴PB=. 綜上所述,PB的長(zhǎng)為或. 考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.等腰直角三角形;4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);5.分類討論. 41.(2017山西省)綜合與實(shí)踐 背景閱讀 早在三千多年前,我國(guó)周朝數(shù)學(xué)家商高就提出:將一根直尺折成一個(gè)直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被記載于我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.為了方便,在本題中,我們把三邊的比為3:4:5的三角形稱為(3,4,5)型三角形.例如:三邊長(zhǎng)分別為9,12,15或的三
42、角形就是(3,4,5)型三角形.用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形. 實(shí)踐操作 如圖1,在矩形紙片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm. 第一步:如圖2,將圖1中的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊,使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)E處,折痕為AF,再沿EF折疊,然后把紙片展平. 第二步:如圖3,將圖2中的矩形紙片再次折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)F重合,折痕為GH,然后展平,隱去AF. 第三步:如圖4,將圖3中的矩形紙片沿AH折疊,得到△AD′H,再沿AD′折疊,折痕為AM,AM與折痕EF交于點(diǎn)N,然后展平. 問(wèn)題解決 (1)請(qǐng)?jiān)趫D2中證明四邊形AEFD是正方形. (2)請(qǐng)?jiān)趫D4
43、中判斷NF與ND′的數(shù)量關(guān)系,并加以證明. (3)請(qǐng)?jiān)趫D4中證明△AEN是(3,4,5)型三角形. 探索發(fā)現(xiàn) (4)在不添加字母的情況下,圖4中還有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?請(qǐng)找出并直接寫出它們的名稱. 【答案】(1)證明見解析;(2)NF=ND′,證明見解析;(3)證明見解析;(4)△MFN,△MD′H,△MDA. 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)題中所給(3,4,5)型三角形的定義證明即可; (2)NF=ND′,證明Rt△HNF≌Rt△HND′即可; (3)根據(jù)題中所給(3,4,5)型三角形的定義證明即可; (4)由△AEN是(3,4,5)型三角形,凡是與△AEN
44、相似的△都是(3,4,5)型三角形. ∵四邊形AEFD是正方形,∴∠EFD=90°. ∵∠AD′H=90°,∴∠HD′N=90°. 在Rt△HNF和Rt△HND′中,∵HN=HN,HF=HD′,∴Rt△HNF≌Rt△HND′,∴NF=ND′. (3)∵四邊形AEFD是正方形,∴AE=EF=AD=8cm,由折疊知:AD′=AD=8cm,EN=EF-NF=(8-x)㎝. 在Rt△AEN中,由勾股定理得: ,即,解得:x=2,∴AN=8+x=10(㎝),EN=6(㎝),∴AN=6:8:10=3:4:5,∴△AEN是(3,4,5)型三角形. (4)∵△AEN是(3,4,5)型三角形
45、,凡是與△AEN相似的△都是(3,4,5)型三角形,故答案為:△MFN,△MD′H,△MDA. 考點(diǎn):1.勾股定理的應(yīng)用;2.新定義;3.閱讀型;4.探究型;5.翻折變換(折疊問(wèn)題);6.壓軸題. 42.(2017甘肅省天水市)△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合,將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q. (1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上,且AP=AQ時(shí),求證:△BPE≌△CQE; (2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí),求證:△BPE∽△CEQ
46、;并求當(dāng)BP=2,CQ=9時(shí)BC的長(zhǎng). 【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析,. 【解析】 試題解析:(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠B=∠C=45°,AB=AC,∵AP=AQ,∴BP=CQ,∵E是BC的中點(diǎn),∴BE=CE,在△BPE和△CQE中,∵BE=CE,∠B=∠C,BP=CQ,∴△BPE≌△CQE(SAS); (2)解:連接PQ,∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,∴∠B=∠C=∠DEF=45°,∵∠BEQ=∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,∴∠BEP=∠EQC,∴△BPE∽△CEQ
47、,∴,∵BP=2,CQ=9,BE=CE,∴BE2=18,∴BE=CE=,∴BC=. 考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.等腰直角三角形;4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 43.(2017重慶)在△ABC中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足為M,點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AC. (1)如圖1,若AB=,BC=5,求AC的長(zhǎng); (2)如圖2,點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn),MD=MC,點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn),EC=AC,連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn),求證:∠BDF=∠CEF. 【答案】(1);(2)證明見解析. 【解析】 試題解析:(1)∵∠A
48、BM=45°,AM⊥BM,∴AM=BM=ABcos45°=×=3,則CM=BC﹣BM=5﹣2=2,∴AC= = =; (2)延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G,使得FG=EF,連接BG. 由DM=MC,∠BMD=∠AMC,BM=AM,∴△BMD≌△AMC(SAS),∴AC=BD,又CE=AC,因此BD=CE,由BF=FC,∠BFG=∠EFC,F(xiàn)G=FE,∴△BFG≌△CFE,故BG=CE,∠G=∠E,所以BD=BG=CE,因此∠BDG=∠G=∠E. 考點(diǎn):1.全等三角形的判定與性質(zhì);2.勾股定理. 44.(2017黑龍江省哈爾濱市)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°
49、,連接AE,BD交于點(diǎn)O,AE與DC交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N. (1)如圖1,求證:AE=BD; (2)如圖2,若AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)全等的直角三角形. 【答案】(1)證明見解析;(2)△ACB≌△DCE, △EMC≌△BCN, △AON≌△DOM, △AOB≌△DOE. 【解析】 (2)∵AC=DC,∴AC=CD=EC=CB,△ACB≌△DCE(SAS); 由(1)可知:∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC,∴∠DOM=90°,∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,∴△EMC≌△BCN(ASA),∴CM=CN,∴DM=AN,△AON
50、≌△DOM(AAS),∵DE=AB,AO=DO,∴△AOB≌△DOE(HL). 考點(diǎn):1.全等三角形的判定與性質(zhì);2.等腰直角三角形. 45.(2017黑龍江省龍東地區(qū))已知:△AOB和△COD均為等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°.連接AD,BC,點(diǎn)H為BC中點(diǎn),連接OH. (1)如圖1所示,易證:OH=AD且OH⊥AD(不需證明) (2)將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2,圖3所示位置時(shí),線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系,并選擇一個(gè)圖形證明你的結(jié)論. 【答案】(1)證明見解析;(2)圖2,圖3的結(jié)論都相同:OH=AD,OH⊥AD. 【解析】 試題解析:(1)證明:如圖1中
51、,∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,∴OC=OD,OA=OB,在△AOD與△BOC中,∵OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,∴△AOD≌△BOC(SAS),∴∠ADO=∠BCO,∠OAD=∠OBC,∵點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn),∴OH=HB,∴∠OBH=∠HOB=∠OAD,又∵∠OAD+∠ADO=90°,∴∠ADO+∠BOH=90°,∴OH⊥AD; (2)解:①結(jié)論:OH=AD,OH⊥AD,如圖2中,延長(zhǎng)OH到E,使得HE=OH,連接BE,易證△BEO≌△ODA,∴OE=AD,∴OH=OE=AD.由△BEO≌△ODA,知∠EOB=∠DAO,∴∠DAO+∠AO
52、H=∠EOB+∠AOH=90°,∴OH⊥AD. ②如圖3中,結(jié)論不變.延長(zhǎng)OH到E,使得HE=OH,連接BE,延長(zhǎng)EO交AD于G. 易證△BEO≌△ODA,∴OE=AD,∴OH=OE=AD. 由△BEO≌△ODA,知∠EOB=∠DAO,∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°,∴∠AGO=90°,∴OH⊥AD. 考點(diǎn):1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.等腰直角三角形;4.和差倍分;5.探究型;6.變式探究;7.壓軸題. 46.(2017山東省萊蕪市)已知△ABC與△DEC是兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形. (1)如圖①所示,連接AE,DB,試判斷線段AE和D
53、B的數(shù)量和位置關(guān)系,并說(shuō)明理由; (2)如圖②所示,連接DB,將線段DB繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到DF,連接AF,試判斷線段DE和AF的數(shù)量和位置關(guān)系,并說(shuō)明理由. 【答案】(1)AE=DB,AE⊥DB;(2)DE=AF,DE⊥AF. 【解析】 試題解析:(1)AE=DB,AE⊥DB.證明如下: ∵△ABC與△DEC是等腰直角三角形,∴AC=BC,EC=DC,在Rt△BCD和Rt△ACE中,∵AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,∴Rt△BCD≌Rt△ACE,∴AE=BD,∠AEC=∠BDC,∵∠BCD=90°,∴∠DHE=90°,∴AE⊥DB; (2)DE=AF,DE
54、⊥AF.證明如下: 設(shè)DE與AF交于N,由題意得,BE=AD,∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC,∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC,∴∠EBD=∠ADF,在△EBD和△ADF中,∵BE=AD,∠EBD=∠ADF,DE=DF,∴△EBD≌△ADF,∴DE=AF,∠E=∠FAD,∵∠E=45°,∠EDC=45°,∴∠FAD=45°,∴∠AND=90°,即DE⊥AF. 考點(diǎn):1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.等腰直角三角形;4.探究型;5.變式探究. 【2016年題組】 一、選擇題 1.(2016內(nèi)蒙古赤峰市)等腰三角形有一個(gè)角是90°,則
55、另兩個(gè)角分別是( ?。? A.30°,60° B.45°,45° C.45°,90° D.20°,70° 【答案】B. 【解析】 考點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì). 2.(2016四川省樂(lè)山市)如圖,C、D是以線段AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn),若CA=CD,且∠ACD=40°,則∠CAB=( ?。? A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】B. 【解析】 試題分析:∵∠ACD=40°,CA=CD,∴∠CAD=∠CDA=(180°﹣40°)=70°,∴∠ABC=∠ADC=70°,∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∴
56、∠CAB=90°﹣∠B=20°,故選B. 考點(diǎn):1.圓周角定理;2.等腰三角形的性質(zhì). 3.(2016四川省甘孜州)如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,則△AED的周長(zhǎng)為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C. 【解析】 考點(diǎn):1.等腰三角形的判定與性質(zhì);2.平行線的性質(zhì). 4.(2016四川省雅安市)如圖所示,底邊BC為,頂角A為120°的等腰△ABC中,DE垂直平分AB于D,則△ACE的周長(zhǎng)為( ?。? A. B. C.4 D. 【答案】A. 【解析】 試題分
57、析:過(guò)A作AF⊥BC于F,∵AB=AC,∠A=120°,∴∠B=∠C=30°,∴AB=AC=2,∵DE垂直平分AB,∴BE=AE,∴AE+CE=BC=,∴△ACE的周長(zhǎng)=AC+AE+CE=AC+BC=,故選A. 考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì);2.線段垂直平分線的性質(zhì). 5.(2016陜西?。┤鐖D,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位線,延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F,則線段DF的長(zhǎng)為( ?。? A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B. 【解析】 考點(diǎn):1.三角形中位線定理;2.等腰三角形的判定
58、與性質(zhì);3.勾股定理. 6.(2016貴州省六盤水市)如圖,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4…,若∠A=70°,則∠An的度數(shù)為( ?。? A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】 考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì);2.規(guī)律型. 7.(2016湖南省懷化市)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和8cm,則它的周長(zhǎng)為( ?。? A.16cm B.17cm C.20cm D.16cm或20cm 【答案】C. 【解析】 試題分析:等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和8cm,當(dāng)腰長(zhǎng)是4
59、cm時(shí),則三角形的三邊是4cm,4cm,8cm,4cm+4cm=8cm不滿足三角形的三邊關(guān)系; 當(dāng)腰長(zhǎng)是8cm時(shí),三角形的三邊是8cm,8cm,4cm,三角形的周長(zhǎng)是20cm. 故選C. 考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì);2.三角形三邊關(guān)系;3.分類討論. 8.(2016四川省內(nèi)江市)已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到三邊的距離之和為( ) A. B. C. D.不能確定 【答案】B. 【解析】 試題分析:如圖,∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,∴高線AH=3×=,S△ABC=BC?AH=AB?PD+BC?PE+AC?PF,∴×3A
60、H=×3PD+×3PE+×3PF,∴PD+PE+PF=AH=,即點(diǎn)P到三角形三邊距離之和為.故選B. 考點(diǎn):1.等邊三角形的性質(zhì);2.定值問(wèn)題. 9.(2016山東省臨沂市)如圖,將等邊△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△EDC,連接AD,BD.則下列結(jié)論: ①AC=AD;②BD⊥AC;③四邊形ACED是菱形. 其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D. 【解析】 考點(diǎn):1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);2.等邊三角形的性質(zhì);3.菱形的判定. 10.(2016廣西梧州市)三張背面完全相同的數(shù)字牌,它們的正面分別印有數(shù)字“1”、“2”、
61、“3”,將它們背面朝上,洗勻后隨機(jī)抽取一張,記錄牌上的數(shù)字并把牌放回,再重復(fù)這樣的步驟兩次,得到三個(gè)數(shù)字a、b、c,則以a、b、c為邊長(zhǎng)正好構(gòu)成等邊三角形的概率是( ?。? A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 考點(diǎn):1.列表法與樹狀圖法;2.等邊三角形的判定. 11.(2016廣西百色市)如圖,正△ABC的邊長(zhǎng)為2,過(guò)點(diǎn)B的直線l⊥AB,且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱,D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn),則AD+CD的最小值是( ?。? A.4 B. C. D. 【答案】A. 【解析】 試題分析:作點(diǎn)A關(guān)
62、于直線BC′的對(duì)稱點(diǎn)A1,連接A1C交直線BC與點(diǎn)D,如圖所示. 由圖象可知當(dāng)點(diǎn)D在C′B的延長(zhǎng)線上時(shí),AD+CD最小,而點(diǎn)D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn),∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)AD+CD值最小,此時(shí)AD+CD=AB+CB=2+2=4.故選A. 考點(diǎn):1.軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題;2.等邊三角形的性質(zhì);3.最值問(wèn)題. 12.(2016四川省南充市)如圖,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,點(diǎn)D,E分別是直角邊BC,AC的中點(diǎn),則DE的長(zhǎng)為( ) A.1 B.2 C. D.1+ 【答案】A. 【解析】 考點(diǎn):1.三角形中位線定理;2.含30度角的直角三角形.
63、 13.(2016四川省達(dá)州市)如圖,在5×5的正方形網(wǎng)格中,從在格點(diǎn)上的點(diǎn)A,B,C,D中任取三點(diǎn),所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為( ?。? A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】 考點(diǎn):勾股定理的應(yīng)用. 14.(2016四川省達(dá)州市)如圖,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于點(diǎn)F,D為AB的中點(diǎn),連接DF延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E.若AB=10,BC=16,則線段EF的長(zhǎng)為( ?。? A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B. 【解析】 試題分析:∵AF⊥BF,∴∠AFB=90°,∵AB
64、=10,D為AB中點(diǎn),∴DF=AB=AD=BD=5,∴∠ABF=∠BFD,又∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,∴∠CBF=∠DFB,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,即,解得:DE=8,∴EF=DE﹣DF=3,故選B. 考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.平行線的判定;3.直角三角形斜邊上的中線. 15.(2016山東省東營(yíng)市)在△ABC中,AB=10,AC=,BC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于( ) A.10 B.8 C.6或10 D.8或10 【答案】C. 【解析】 試題分析:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,如圖1所示,AB=10
65、,AC=,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理得:BD==8,CD==2,此時(shí)BC=BD+CD=8+2=10; 如圖2所示,AB=10,AC=,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理得:BD==8,CD==2,此時(shí)BC=BD﹣CD=8﹣2=6,則BC的長(zhǎng)為6或10.故選C. 考點(diǎn):1.勾股定理;2.分類討論. 二、填空題 16.(2016內(nèi)蒙古赤峰市)如圖,正方形ABCD的面積為3cm2,E為BC邊上一點(diǎn),∠BAE=30°,F(xiàn)為AE的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作直線分別與AB,DC相交于點(diǎn)M,N.若MN=AE,則AM的長(zhǎng)等于 cm.
66、【答案】或. 【解析】 考點(diǎn):1.正方形的性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.勾股定理;4.分類討論. 17.(2016天津市)如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,A,E為格點(diǎn),B,F(xiàn)為小正方形邊的中點(diǎn),C為AE,BF的延長(zhǎng)線的交點(diǎn). (1)AE的長(zhǎng)等于________; (2)若點(diǎn)P在線段AC上,點(diǎn)Q在線段BC上,且滿足AP = PQ = QB,請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無(wú)刻度的直尺,畫出線段PQ,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P,Q的位置是如何找到的(不要求證明)________. 【答案】(1);(2)答案見解析. 【解析】 試題分析:(1)AE==; 考點(diǎn):1.勾股定理;2.作圖題. 18.(2016四川省甘孜州)直角三角形斜邊長(zhǎng)是5,一直角邊的長(zhǎng)是3,則此直角三角形的面積為 . 【答案】6. 【解析】 考點(diǎn):勾股定理. 19.(2016山東省煙臺(tái)市)如圖,O為數(shù)軸原點(diǎn),A,B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)﹣3,3,作腰長(zhǎng)為4的等腰△ABC,連接OC,以O(shè)為圓心,CO長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為 . 【答案】. 【解析
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