2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題11 相似形（含解析）

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1、專(zhuān)題11 相似形 必考點(diǎn)1 比例線段 1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a：b＝m：n（或） 2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。 說(shuō)明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。 3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如 4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。 5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。 6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。

2、 7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:b=b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。 8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。 9、比例的基本性質(zhì)：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命題也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d 10、比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說(shuō)明：兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。 11、合比性質(zhì)：如果，那么

3、 12．等比性質(zhì)：如果，（），那么 說(shuō)明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采用設(shè)已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡(jiǎn)單不易出錯(cuò)。 13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長(zhǎng)的線段是原線段與較小的線段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割。 說(shuō)明：把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段AB上截取這條線段的倍得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。 【典例1】（2019·四川中考真題）若，且，則的值是（　?。? A．4 B．2 C．20 D．14 【答案】A 【解析】 解：由a：b＝3：4知， 所以． 所以由得到：， 解得． 所以． 所以．

4、故選：A． 【點(diǎn)睛】 考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若，則． 【舉一反三】 1．（2019·安徽初三月考）若，則的值為（　?。? A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵， ∴==， 故選D 2．（2019·河南初三期末）已知（a≠0，b≠0），下列變形錯(cuò)誤的是（　?。? A． B．2a=3b C． D．3a=2b 【答案】B 【解析】 解：由得，3a=2b， A、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確； B、由等式性質(zhì)可得2a=3b，錯(cuò)誤； C、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確； D、由等式性質(zhì)可得：3a=2b，正確； 故選B． 【點(diǎn)睛

5、】 本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積． 3．（2019·河南初三期中）已知，則的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵，∴設(shè)出b=5k，得出a=13k，把a(bǔ)，b的值代入，得， ．故選D． 必考點(diǎn)2 平行線分線段成比例 1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。 2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 說(shuō)明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問(wèn)定理的特殊情況。 3．平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊

6、的直線截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 4、三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。 【典例2】（2019·青海中考真題）如圖，，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，則DF的長(zhǎng)為（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：， ，即， ， ， 故選：． 【點(diǎn)睛】 本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型． 【舉一反三】 1．（2019·四川中考真題）如圖，在中，，，，

7、，則的長(zhǎng)為（　?。? A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】 ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故選：C． 【點(diǎn)睛】 此題考查平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵在于求出AE 2．（2019·廣西中考真題）如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，，若，則等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】 解：∵， ∴ ， ∴， 即， 解得：， 故選B． 【點(diǎn)睛】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵 3.（2019·四川中考真題）如圖，在中，D在AC邊上，，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，

8、則（ ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 【答案】B 【解析】 解：如圖，過(guò)O作，交AC于G， ∵O是BD的中點(diǎn)， ∴G是DC的中點(diǎn)． 又， 設(shè)，又， ， 故選：B． 【點(diǎn)睛】 考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識(shí)，難度較大，注意熟練運(yùn)用中位線定理和三角形面積公式． 必考點(diǎn)3 相似三角形 1、相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。 說(shuō)明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和

9、對(duì)應(yīng)邊。 2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。 3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 說(shuō)明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書(shū)把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。 4、三角形相似的判定定理： （1）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似。可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 （2）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊

10、對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。 （3）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 （4）直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。 說(shuō)明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來(lái)判定兩個(gè)三角形的相似。 第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 第二

11、：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。 第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形．相似。 5、相似三角形的性質(zhì)： （1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 （2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。 說(shuō)明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。 （3）相似三

12、角形面積的比等于相似比的平方。 說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。 【典例3】（2019·山東中考真題）如圖，在中，，，為邊上的一點(diǎn)，且．若的面積為，則的面積為（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【詳解】 ∵，， ∴， ∴，即， 解得，的面積為， ∴的面積為：， 故選：C． 【點(diǎn)睛】 本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì). 【舉一反三】 1．（2019·四川中考真題）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似

13、的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：因?yàn)橹杏幸粋€(gè)角是135°，選項(xiàng)中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等， 故選：B． 【點(diǎn)睛】 本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． 2．（2019·四川中考真題）如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使，連結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則＝（ ） A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 【答案】D 【解析】 解：設(shè)， ∵， ∴， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴，， ∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)， ∴， ∵，

14、∴， ∴， 故選：D． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，表示出CF是解本題的關(guān)鍵． 3．（2019·海南中考真題）如圖，在中，，，．點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交BC于點(diǎn)Q，D為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)BD平分時(shí)，AP的長(zhǎng)度為（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：，，， ， ， ，又， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ， 故選B． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 1．（2019·

15、內(nèi)蒙古中考真題）如圖，分別是邊上的點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 解：∵， ∴， ∴，即， 解得， ， 故選：C． 【點(diǎn)睛】 本題考查分線段成比例定理，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵 2．（2019·太原市志達(dá)中學(xué)校初三月考）若，則的值為（ ） A．2 B． C． D．9 【答案】C 【解析】 設(shè)， 則a=2k，b=3k，c=4k， ∴原式， 故選：C. 【點(diǎn)睛】 本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡(jiǎn)便． 3．（2019·廣西中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，，，若，，則線段

16、的長(zhǎng)為（　?。? A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】 解：設(shè)，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 設(shè)，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故選C. 【點(diǎn)睛】 本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型. 4．（2019·廣西中考真題）如圖，，，EF與AC交于點(diǎn)G，則是相似三角形共有（ ） A．3對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì) 【答案】C 圖中三角形有：，，，， ∵， ∴ 共有6個(gè)組合分別為：∴，，，，， 故選：C． 【點(diǎn)睛】 此題主

17、要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理. 5．（2019·黑龍江中考真題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則下列式子一定正確的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：∵在中， ∴易證四邊形為平行四邊形 ∴易證 ∴，A項(xiàng)錯(cuò)誤 ，B項(xiàng)錯(cuò)誤 ，C項(xiàng)錯(cuò)誤 ，D項(xiàng)正確 故選：D． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用兩者性質(zhì)確定線段比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 6．（2019·湖北中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，8），B（10，2）

18、，若以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來(lái)的后得到線段CD，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（　?。? A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5） 【答案】C 【解析】 ∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來(lái)的后得到線段CD， ∴端點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)锳點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的一半， 又∵A（6，8）， ∴端點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）． 故選C． 點(diǎn)睛：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩圖形的位似比得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵． 7．（2019·遼寧中考真題）如圖，點(diǎn)P（8，6）在△ABC的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限

19、內(nèi)將△ABC縮小到原來(lái)的，得到△A′B′C′，點(diǎn)P在A′C′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的的坐標(biāo)為（　?。? A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4） 【答案】A 【解析】 ∵點(diǎn)P（8，6）在△ABC的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來(lái)的，得到△A′B′C′， ∴點(diǎn)P在A′C′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的的坐標(biāo)為：（4，3）． 故選：A． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關(guān)鍵． 8．（2019·西藏中考真題）如圖，在中，分別為邊上的中點(diǎn)，則與的面積之比是（?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由題意可知

20、：是的中位線， ， ， ， 故選：A． 【點(diǎn)睛】 本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型． 9．（2019·河南初三期中）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E．若AB=10，BC=16，則線段EF的長(zhǎng)為（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°， ∵AB=10，D為AB中點(diǎn)， ∴DF=AB=AD=BD=5， ∴∠ABF=∠BFD， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CBF=∠D

21、FB， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， 即， 解得：DE=8， ∴EF=DE-DF=3， 故選B． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用其判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 10．（2019·江蘇中考模擬）如圖，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)___． 【答案】5 【解析】 解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， ∴． ∵AB=6，BD=4， ∴， ∴BC=9， ∴CD=BC-BD=9-4=5． 【點(diǎn)睛】 本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記判定方法準(zhǔn)

22、確找到相似三角形對(duì)應(yīng)邊是本題的解題關(guān)鍵.． 11．（2019·廣西中考真題）如圖，以點(diǎn)為位似中心，將放大后得到，，則____． 【答案】． 【解析】 解：∵以點(diǎn)為位似中心，將放大后得到，， ∴． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了位似變換，正確得出對(duì)應(yīng)邊的比值是解題關(guān)鍵． 12．（2016·江蘇中考真題）如圖，△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，則△ADE與△ABC的面積之比為_(kāi)_____． 【答案】1：9． 【解析】 由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=

23、（AD：AB）2=1：9. 考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì). 13．（2019·遼寧中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，以點(diǎn)為位似中心，相們比為，把縮小，得到，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____． 【答案】或 【解析】 解：以點(diǎn)為位似中心，相似比為，把縮小，點(diǎn)的坐標(biāo)是 則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即或， 故答案為：或． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是位似圖形，熟練掌握位似變換是解題的關(guān)鍵. 14．（2019·內(nèi)蒙古中考真題）已知三個(gè)邊長(zhǎng)分別為2，3，5的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____． 【答案】． 【解析】 解：如圖， 對(duì)角線所分得的三個(gè)三角形相似，

24、根據(jù)相似的性質(zhì)可知， 解得， 即陰影梯形的上底就是（）． 再根據(jù)相似的性質(zhì)可知， 解得：， 所以梯形的下底就是， 所以陰影梯形的面積是． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例． 15．（2019·四川初三）已知，且，則的值為_(kāi)_________． 【答案】12 【解析】 ∵， ∴設(shè)a=6x，b=5x，c=4x， ∵a+b-2c=6， ∴6x+5x-8x=6， 解得：x=2， 故a=12． 故答案為12． 點(diǎn)睛：此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵． 16．（2019·四川中考模擬）如圖，已知AB∥

25、CD，若，則=_____． 【答案】 【解析】 ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， 故答案為． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 17．（2019·青海中考真題）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的端時(shí)，杠桿繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的端必須向上翹起，已知杠桿的動(dòng)力臂與阻力臂之比為，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端向下壓_____. 【答案】． 【解析】 解：如圖；都與水平線垂直，即； 易知：； ， 杠桿的動(dòng)力臂與阻力臂之比為 ，即； 當(dāng)時(shí)，； 故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端點(diǎn)向下壓． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】 本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確的構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．