高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時集訓(xùn)：71 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 Word版含解析

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1、 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．(2019·陜西省第三次聯(lián)考)同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣均正面向上的次數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是(　　) A．1　 B．2 C．　 D． A　[∵一次同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，恰好出現(xiàn)2枚正面向上的概率為×＝， ∴X～B，∴EX＝4×＝1.故選A.] 2．(2019·廣西桂林市、崇左市二模)在某項測試中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，則P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.2 B　[由正態(tài)

2、分布的圖像和性質(zhì)得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故選B.] 3．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ －1 0 1 2 P x y 若Eξ＝，則Dξ＝(　　) A．1 B． C． D．2 B　[∵Eξ＝，∴由隨機(jī)變量ξ的分布列知， ∴則Dξ＝2×＋2×＋2×＋2×＝.] 4．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為ξ，則Eξ＝(　　) A．3 B． C. D．4 B　[ξ的可能取值為2,3,4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，則Eξ＝2×＋3×＋4×＝，故選B.] 5

3、．甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我們就有理由認(rèn)為生產(chǎn)中可能出現(xiàn)了異常情況．現(xiàn)從甲、乙兩廠各抽取10件零件檢測，尺寸如莖葉圖所示： 則以下判斷正確的是(　　) A．甲、乙兩廠生產(chǎn)都出現(xiàn)異常 B．甲、乙兩廠生產(chǎn)都正常 C．甲廠生產(chǎn)正常，乙廠出現(xiàn)異常 D．甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常，乙廠正常 D　[由甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)，即區(qū)間(4.7,5.3)，根據(jù)莖葉圖可知，甲廠生產(chǎn)的零件有1件尺寸超出上述區(qū)間，乙廠生產(chǎn)的零件尺寸均在上述區(qū)間，所以甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常

4、、乙廠生產(chǎn)正常．故選D.] 二、填空題 6．設(shè)X為隨機(jī)變量，X～B，若隨機(jī)變量X的均值EX＝2，則P(X＝2)等于________． 　[由X～B，EX＝2，得 np＝n＝2，∴n＝6， 則P(X＝2)＝C24＝.] 7．(2019·?？谀M)某超市經(jīng)營的某種包裝優(yōu)質(zhì)東北大米的質(zhì)量X(單位：kg)服從正態(tài)分布N(25,0.22)，任意選取一袋這種大米，質(zhì)量在24.8～25.4 kg的概率為________．(附：若Z～N(μ，σ2)，則P(|Z－μ|＜σ)＝0.682 6，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.954 4，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.997 4) 0．818 5　[∵X～N

5、(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2. ∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.] 8．2019年高考前第二次適應(yīng)性訓(xùn)練結(jié)束后，某校對全市的英語成績進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)英語成績的頻率分布直方圖形狀與正態(tài)分布N(95,82)的密度曲線非常擬合．據(jù)此估計：在全市隨機(jī)抽取的4名高三同學(xué)中，恰有2名同學(xué)的英語成績超過95分的概率是________． 　[由題意可知每名學(xué)生的英語成績ξ～N(95,82)， ∴P(ξ＞95)＝， 故所求概率P＝C4＝.] 三、解答題 9．某種水果按照果徑

6、大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果．某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下： 等級 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果 個數(shù) 10 30 40 20 (1)若將頻率作為概率，從這100個水果中有放回地隨機(jī)抽取4個，求恰好有2個水果是禮品果的概率；(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示) (2)用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考， 方案1：不分類賣出，單價為20元/kg . 方案2：分類賣出，分類后的水果售價如下： 等級 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果 售價(元/kg) 16 18 22 24 從采購

7、商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？ (3)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機(jī)抽取3個，X表示抽取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX. [解]　(1)設(shè)從100個水果中隨機(jī)抽取一個，抽到禮品果的事件為A，則P(A)＝＝，現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個，設(shè)抽到禮品果的個數(shù)為X，則X～B(4，)，所以恰好抽到2個禮品果的概率為P(X＝2)＝C()2()2＝. (2)設(shè)方案2的單價為ξ，則單價的期望值為 Eξ＝16×＋18×＋22×＋24× ＝＝20.6， 因為Eξ>20，所以從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第一種方案． (3)用分層抽樣的方法從100個

8、水果中抽取10個，則其中精品果4個，非精品果6個，現(xiàn)從中抽取3個，則精品果的數(shù)量X服從超幾何分布，所有可能的取值為0,1,2,3， 則P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 10．某市高中某學(xué)科競賽中，某區(qū)4 000名考生的競賽成績的頻率分布直方圖如圖所示． (1)求這4 000名考生的平均成績(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)； (2)認(rèn)為考生競賽成績Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取考生的平均成績和考生成

9、績的方差s2，那么該區(qū)4 000名考生成績超過84.81分(含84.81分)的人數(shù)大約為多少？ (3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市參賽考生成績的情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機(jī)抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為ξ，求P(ξ≤3)．(精確到0.001) 附：①s2＝204.75，≈14.31； ②Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4； ③0.841 34≈0.501. [解]　(1)由題意知： 中間值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2

10、 0.3 0.15 0.1 ∴＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)， ∴這4 000名考生的平均成績?yōu)?0.5分． (2)由題知Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5， σ2＝204.75，σ≈14.31， ∴Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，即N(70.5,14.312)． 而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.682 6， ∴P(Z≥84.81)＝＝0.158 7. ∴競賽成績超過84.81分的人數(shù)大約為0.158 7×4 000＝634.8≈634. (3)全市參

11、賽考生成績不超過84.81分的概率為1－0.158 7＝0.841 3. 而ξ～B(4,0.841 3)， ∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×0.841 34≈1－0.501＝0.499. 1．(2019·西安質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點的概率為 (　　) A. B． C. D． B　[由題意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點，故對于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所

12、以P(ξ＝1)＝.] 2．(2019·浙江高考)設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是 X 0 a 1 P 則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時，(　　) A．DX增大 B．DX減小 C．DX先增大后減小 D．DX先減小后增大 D　[法一：由分布列得EX＝，則 DX＝2×＋2×＋2×＝2＋，則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時，DX先減小后增大．故選D. 法二：則DX＝EX2－EX＝0＋＋－， ＝＝2＋， 則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時，DX先減小后增大．故選D.] 3．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每名學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為

13、止．設(shè)某學(xué)生每次發(fā)球成功的概率為p(0＜p＜1)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望EX＞1.75，則p的取值范圍是(　　) A. B． C. D． C　[由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p， P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則EX＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜.由p∈(0,1)，可得p∈.] 4．(2018·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否

14、對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0. (2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． ①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX； ②以檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ [解]　(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為

15、f(p)＝Cp2(1－p)18.因此 f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)． 令f′(p)＝0，得p＝0.1.當(dāng)p∈(0,0.1)時，f′(p)＞0； 當(dāng)p∈(0.1,1)時，f′(p)＜0. 所以f(p)的最大值點為p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y， 即X＝40＋25Y. 所以EX＝E(40＋25Y) ＝40＋25EY＝490. ②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費(fèi)為400元． 由

16、于EX＞400， 故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗． 1．某籃球隊對隊員進(jìn)行考核，規(guī)則是：①每人進(jìn)3個輪次的投籃；②每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過．已知隊員甲投籃1次投中的概率為，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是(　　) A．3 B． C．2 D． B　[在一輪投籃中，甲通過的概率為p＝，通不過的概率為. 由題意可知，甲3個輪次通過的次數(shù)X的取值分別為0,1,2,3， 則P(X＝0)＝3＝； P(X＝1)＝C××2＝； P(X＝2)＝C×2×＝； P(X＝3)＝. ∴隨機(jī)變量X的分布列為： X 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝，或由二項分布的期望公式可得EX＝.] 2．在一次隨機(jī)試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)為ξ，則數(shù)學(xué)期望Eξ＝________，方差Dξ的最大值為________． p　　[記事件A發(fā)生的次數(shù)ξ可能的值為0,1. ξ 0 1 P 1－p p 數(shù)學(xué)期望Eξ＝0×(1－p)＋1×p＝p， 方差Dξ＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤. 故數(shù)學(xué)期望Eξ＝p，方差Dξ的最大值為.]