九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 期末高效復(fù)習(xí) 專題4 相似三角形（含解析） 浙教版

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1、 專題4　相似三角形 題型一　比例線段、平行線分線段成比例定理 例 1　如圖1，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝12，那么CE的長等于____． 圖1 【解析】 ∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CE＝BE－BC＝12－＝. 【點(diǎn)悟】　利用平行線分線段成比例定理解題時(shí)，要注意找好對(duì)應(yīng)線段，通常用＝，＝等關(guān)系分段尋找． 變式跟進(jìn) 1．[2017·鎮(zhèn)江]如圖2，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BD′E′，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊BC上，已知BE′＝5，D′C＝4，則BC的長為__2＋__． 圖2 【解析】 ①由條件“

2、DE∥AC”可得△BDE∽△BAC，即有＝；②由題意可得BE＝BE′＝5，BD＝BD′＝BC－D′C＝BC－4，AB＝6.設(shè)BC＝x，由①，②可列方程：＝，解得x＝2＋(負(fù)值舍去)，故BC的長為2＋. 題型二　相似三角形的判定 例 2　[2017·祁陽期末]已知：如圖3，∠1＝∠2，AB·AC＝AD·AE. 圖3 求證：∠C＝∠E. 證明：在△ABE和△ADC中，∵AB·AC＝AD·AE， ∴＝，又∵∠1＝∠2， ∴△ABE∽△ADC， ∴∠C＝∠E. 【點(diǎn)悟】　判定三角形相似的幾條思路：(1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的預(yù)備定理；(2)條件中若有一對(duì)等角，可再找

3、一對(duì)等角(用判定3)或找夾邊成比例(用判定2)；(3)條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找夾角相等；(4)條件中若有一對(duì)直角，可考慮一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；(5)條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等，可找一對(duì)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例． 變式跟進(jìn) 2．[2017·隨州]在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE＝__或__時(shí)，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似． 【解析】 ∵∠A＝∠A，分兩種情況：①當(dāng)＝時(shí)，△ADE∽△ABC，即＝，∴AE＝；②當(dāng)＝時(shí)，△ADE∽△ACB，即＝，∴AE＝.綜上所述，當(dāng)AE＝或時(shí)，以A，D，E為頂點(diǎn)

4、的三角形與△ABC相似． 3．[2017·嘉興模擬]已知：如圖4，四邊形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，將∠PAQ繞著正方形的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它與正方形ABCD的兩個(gè)外角∠EBC和∠FDC的平分線分別交于點(diǎn)M和N，連結(jié)MN. 圖4 (1)求證：△ABM∽△NDA； (2)連結(jié)BD，當(dāng)∠BAM的度數(shù)為多少時(shí)，四邊形BMND為矩形，并加以證明． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°， ∵BM，DN分別是正方形的兩個(gè)外角平分線， ∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＝∠AND＝45°－∠DAN， ∴△

5、ABM∽△NDA； (2)當(dāng)∠BAM＝22.5°時(shí)，四邊形BMND為矩形． 證明：∵∠BAM＝22.5°，∠EBM＝45°， ∴∠AMB＝22.5°，∴∠BAM＝∠AMB， ∴AB＝BM，同理AD＝DN， ∵AB＝AD，∴BM＝DN， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠BDN＝∠DBM＝90°， ∴∠BDN＋∠DBM＝180°，∴BM∥DN， ∴四邊形BMND為平行四邊形， ∵∠BDN＝90°，∴四邊形BMND為矩形． 題型三　相似三角形的性質(zhì) 例 3　如圖5，把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊部分(即圖中的陰影部分

6、)的面積是△ABC的面積的一半，若AB＝，則此三角形移動(dòng)的距離AA′＝__－1__． 圖5 【解析】 設(shè)BC與A′C′交于點(diǎn)E，由平移的性質(zhì)知，AC∥A′C′，∴△BEA′∽△BCA，∴S△BEA′∶S△BCA＝A′B2∶AB2＝1∶2，∵AB＝，∴A′B＝1，∴AA′＝AB－A′B＝－1. 【點(diǎn)悟】　(1)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線的比等于相似比． 變式跟進(jìn) 4．[2017·自貢]如圖6，在△ABC中，MN∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，若AM＝1，MB＝2，BC＝3，則MN的長為__1__． 圖6

7、 【解析】 ∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝.∵AM＝1，MB＝2，BC＝3，∴＝，解得MN＝1. 5．如圖7，有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC＝8 cm，高AD＝12 cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G，H分別在AC，AB上，設(shè)HE的長為y cm，EF的長為x cm. (1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x取多少時(shí)，四邊形EFGH是正方形？ 圖7 解：(1)∵BC＝8 cm，高AD＝12 cm，HE的長為y cm，EF的長為x cm，四邊形EFGH是矩形， ∴AK＝AD－y＝12－y，HG＝EF＝x，HG∥BC， ∴△AHG∽△

8、ABC，∴＝，即＝， ∴y＝12－x； (2)由(1)可知，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝12－x， ∵四邊形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y(tǒng)， ∴x＝12－x，解得x＝. 答：當(dāng)x＝時(shí)，四邊形EFGH是正方形． 題型四　位似圖形及其畫法 例 4　如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中有△ABC，以點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，則它的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(　C　) 圖8 A.，， B．(8，6)，(6，2)，(2，4) C．(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8，－6)，(－6，－2)，(－2，－4) D．(8，－6)，(6，－2)，(2，－4)或(－8，6)，

9、(－6，2)，(－2，4) 【解析】 由坐標(biāo)系可知，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(4，3)，(3，1)，(1，2)，∵以點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，則它的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4×2，3×2)，(3×2，1×2)，(1×2，2×2)或(－4×2，－3×2)，(－3×2，－1×2)，(－1×2，－2×2)，即(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8，－6)，(－6，－2)，(－2，－4)． 【點(diǎn)悟】　如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形與原圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于k或－k. 變式跟進(jìn) 6．[2017·煙臺(tái)]如圖9，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格的邊長均為1.△

10、AOB與△A′OB′是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為3∶2，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上，則點(diǎn)B′ 的坐標(biāo)是 ． 圖9 【解析】 由題意，將點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)都乘以－，得點(diǎn)B′的坐標(biāo)．由B的坐標(biāo)(3，－2)，得B′的坐標(biāo). 7．如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)． (1)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1； (2)以M點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2∶1； (3)求出A2，B2，C2三點(diǎn)的坐標(biāo)． 圖10

11、 　　第7題答圖 解：(1)如答圖所示，△A1B1C1即為所求； (2)如答圖所示，△A2B2C2即為所求； (3)A2(3，6)；B2(5，2)；C2(11，4)． 題型五　相似三角形的綜合 例 5　[2017·泰安]如圖11，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，點(diǎn)P是AC延長線上一點(diǎn)，且PD⊥AD. (1)證明：∠BDC＝∠PDC； (2)若AC與BD相交于點(diǎn)E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的長． 圖11 　　例5答圖 解：(1)證明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°，

12、∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC， ∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°， ∴∠BDC＝∠PDC； (2)如答圖，過點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M， ∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM， ∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P， ∴△CPM∽△APD，∴＝， 設(shè)CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3， ∴PC＝x，∵AB＝AD＝AC＝1， ∴＝，解得x＝，∴AE＝1－＝. 變式跟進(jìn) 8．[2017·甘肅]如圖12，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段

13、DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q. (1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP＝AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE； (2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ，并求當(dāng)BP＝2，CQ＝9時(shí)BC的長． 圖12 解：(1)證明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC， ∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中點(diǎn)， ∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中， ∴△BPE≌△CQE(SAS)； (2)∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°， ∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，

14、 即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C， ∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°， ∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ， ∴＝，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE， ∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3，∴BC＝6. 過關(guān)訓(xùn)練 1．[2017·蘭州模擬]若△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝6 cm，A′B′＝3 cm，則△ABC與△A′B′C′的面積比為(　D　) A．1∶2 　B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 【解析】 ∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝6 cm，A′B′＝3 cm，∴其相似比＝＝＝，∴△ABC與△A′B′C′的面積比＝(AB∶A′B′)2＝4

15、∶1. 2．[2017·常熟期末]如圖1，△ABC中，D，E分別在AB，AC上，下列條件中不能判斷△ADE∽△ACB的是(　D　) A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C.＝ D.＝ 圖1 　　圖2 3．[2017·濰坊]如圖2，在△ABC中，AB≠AC，D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，AC＝3AD，AB＝3AE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件：__∠A＝∠BFD(答案不唯一，合理即可)__，可以使△FDB與△ADE相似．(只需寫出一個(gè)) 【解析】 ∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴＝＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED＝∠B.故要

16、使△FDB與△ADE相似，只需再添加一組對(duì)應(yīng)角相等，或夾角的兩邊成比例即可． 4．[2017·六盤水]如圖3，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，在BA的延長線上取一點(diǎn)E，連結(jié)OE交AD于點(diǎn)F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，則AF＝____． 圖3 　　第4題答圖 【解析】 如答圖，過O點(diǎn)作OM∥AD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∴OM是△ABD的中位線，∴AM＝BM＝AB＝，OM＝BC＝4，∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴＝，∴＝，∴AF＝. 5．如圖4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在BC，

17、AC上，且∠ADE＝45°. (1)求證：△ABD∽△DCE； (2)若AB＝2，BD＝1，求CE的長． 圖4 解：(1)證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， 又∵∠DEC＝∠ADE＋∠CAD＝45°＋∠CAD， 同理∠ADB＝∠C＋∠CAD＝45°＋∠CAD， ∴∠DEC＝∠ADB，又∵∠B＝∠C＝45°， ∴△ABD∽△DCE； (2)∵AB＝2，∴BC＝2， ∵△ABD∽△DCE，∴＝， ∴＝，∴CE＝. 6．如圖5，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，有下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②S△ABE＝4

18、S△ECF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　B　) 圖5 A．1個(gè) 　B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【解析】 先根據(jù)正方形的性質(zhì)與同角的余角相等，證得△BAE∽△CEF，則可證得②正確，①③錯(cuò)誤；利用有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似即可證得△ABE∽△AEF，④正確．故選B. 7．如圖6，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝5，DE⊥BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE，則△ABE的面積等于__78__． 圖6 　　第7題答圖 【解析】 如答圖，連結(jié)AE.在Rt△ABC中，∠BAC＝9

19、0°，DE⊥BC于點(diǎn)E，∴∠BAC＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，故CE＝12，∴BE＝25－12＝13，∴S△ABE＝S△ABC，∵S△ABC＝150，∴S△ABE＝×150＝78. 8．[2017·內(nèi)江]如圖7，四邊形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分線，且CM⊥AB，M為垂足，AM＝AB.若四邊形ABCD的面積為，則四邊形AMCD的面積是__1__． 圖7 　　第8題答圖 【解析】 如答圖，分別延長BA和CD交于點(diǎn)E.∵AM＝AB，∴AM＝BM.∵CM是∠BCD的平分線，CM⊥AB，∴EM＝BM.∴AM＝EM，∴AE＝

20、EM，∴AE＝BE.∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，∴＝，即＝，解得S△EAD＝，∴S△EBC＝＋＝，∴S四邊形AMCD＝S△EBC－S△EAD＝×－＝1. 9．[2017·門頭溝區(qū)期末]在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題讓學(xué)生探究： 已知：如圖8，在△ABC中，點(diǎn)D 是BA邊延長線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F 在BC上，且＝，連結(jié)DF交AC于點(diǎn)E. 圖8 (1)當(dāng)點(diǎn)E恰為DF的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出的值； (2)當(dāng)＝a(a＞0)時(shí)，請(qǐng)求出的值(用含a的代數(shù)式表示)． 思考片刻后，同學(xué)們紛紛表達(dá)自己的想法： 甲：過點(diǎn)F作FG∥AB交AC于點(diǎn)G，構(gòu)造相似三角形解決問題； 乙：過點(diǎn)F作FG∥

21、AC交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造相似三角形解決問題； 丙：過點(diǎn)D作DG∥BC交CA延長線于點(diǎn)G，構(gòu)造相似三角形解決問題； 老師說：“這三位同學(xué)的想法都可以”． 請(qǐng)參考上面某一種想法，完成第(1)問的求解過程，并直接寫出第(2)問的值． 解：(1)甲同學(xué)的想法：如答圖①，過點(diǎn)F作FG∥AB交AC于點(diǎn)G. ∴∠GFE＝∠ADE，∠FGE＝∠DAE， ∴△AED∽△GEF，∴＝. ∵E為DF的中點(diǎn)，∴ED＝EF，∴AD＝GF. ∵FG∥AB，∴△CGF∽△CAB， ∴＝，∵＝，∴＝. ∴＝＝＝. 第9題答圖① 　　第9題答圖② 乙同學(xué)的想法：如答圖②，過點(diǎn)F作F

22、G∥AC交AB于點(diǎn)G，則＝. ∵E為DF的中點(diǎn)， ∴ED＝EF，∴AD＝AG， ∵FG∥AC，∴＝. ∵＝，∴＝.∴＝＝＝. 丙同學(xué)的想法：如答圖③，過點(diǎn)D作DG∥BC交CA延長線于點(diǎn)G. ∵∠C＝∠G，∠CFE＝∠GDE， ∴△GDE∽△CFE，∴＝， ∵E為DF的中點(diǎn)，∴ED＝EF.∴DG＝FC. ∵DG∥BC，∴∠C＝∠G，∠B＝∠ADG， ∴△ADG∽△ABC，∴＝. ∵＝，∴＝，∴＝＝＝； 第9題答圖③ 　　第9題答圖④ (2)如答圖④，過點(diǎn)D作DG∥BC交CA延長線于G. ∴∠C＝∠G，∠CFE＝∠GDE，∴△GDE∽△CFE， ∴＝.∵＝a，∴ED＝aEF，∴DG＝aFC. ∵DG∥BC，∴∠C＝∠G，∠B＝∠ADG， ∴△ADG∽△ABC.∴＝.∵＝， ∴＝，即BC＝3CF.∴＝＝＝. 13