高等數(shù)學：第二章 第3節(jié) 高階導數(shù)

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1、1一、高階導數(shù)的定義二、 高階導數(shù)求法舉例三、小結第三節(jié) 高階導數(shù)2問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tss 設)()(tstv則瞬時速度為的變化率，所以對時間是速度因為加速度tva定義定義0( )( ),()( )( )lim,( )( ).xf xfxxfxxfxfxxfxf xx 如如果果的的導導函函數(shù)數(shù)在在點點 處處可可導導 即即存存在在 則則稱稱為為在在點點 處處的的二二階階導導數(shù)數(shù)( )( )a tv t一、高階導數(shù)的定義( )s t3記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導數(shù)階導數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)

2、稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 記作記作二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)高階導數(shù).)(;)(,稱為一階導數(shù)稱為一階導數(shù)稱為零階導數(shù)稱為零階導數(shù)相應地相應地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),記作記作.,),(44)4()4(dxydyxf4例例1 1).0(),0(,arctan)(ffxxf 求解解,11)(2xxf)11()(2 xxf22)1 (2xx)1 (2(

3、)(22 xxxf322)1 () 13(2xx022)1 (2)0( xxxf0322)1 () 13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù). .二、 高階導數(shù)求法舉例所以所以5例例2 2.),()(nyRxy求求設設 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 問題：問題：一個一個5次多項式的次多項式的6階導數(shù)是什么？階導數(shù)是什么？6例例3 3.),1ln

4、()(nyxy求求設設 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n n階導數(shù)時階導數(shù)時, ,求出求出1-31-3或或4 4階后階后, ,不要急于合并不要急于合并, ,分析結果的規(guī)律性分析結果的規(guī)律性, ,寫出寫出n n階導數(shù)。階導數(shù)。7例例4 4.,sin)(nyxy求求設設 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得問題

5、：xy3sin的n階導數(shù)？答案)23sin(3)(nxynn8例例5 5.),(sin)(naxybabxey求為常數(shù)設解解bxbebxaeyaxaxcossin)cossin(bxbbxaeax)arctan()sin(22abbxbaeax)cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222bxbabaeax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab)cos()sin(22bxbbxabaeax92. 高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則:則則階導數(shù)階導數(shù)具有具有和和設函數(shù)設函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(

6、nnCuCu ( )( )(1)(2)()( )( )()( )0(1)(3) ()2!(1)(1)!nnnnn kknnkn kknkn nu vuvnuvuvn nnkuvuvkC uv萊布尼茲公式萊布尼茲公式10例例6 6.,)20(22yexyx求求設設 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設設,22xveux )20(y22202xex)9520(22220 xxex2)20(2)(xex)()(202)19(2xex)()(! 2) 120(202)18(2 xex0 xex222021922! 21920218xe113.3.間接法間接法: :常用高階導數(shù)公式常用高階導數(shù)公式

7、)()(ln)6(nx)()(sin) 3(nkx)()(cos)4(nkx)0()() 1 ()(aanx)()(2nxe）（ 利用已知的高階導數(shù)公式利用已知的高階導數(shù)公式, , 通過四則運算通過四則運算, , 變量代換等方法變量代換等方法, , 求出求出n n階導數(shù)階導數(shù). .)()1(7nax）（ aanxlnxe)2sin(nkxkn)2cos(nkxknnnxn)!1() 1(11)(!) 1(nnaxn12例例7 7.,cossin)(66nyxxy求求設設 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx222

8、22cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ( )34cos(4).82nnyxn 所以13xxy11) 1 (xy1211)()1 (!) 1(2nnnxny例例8. 如何求下列函數(shù)的如何求下列函數(shù)的 n n 階導數(shù)階導數(shù)142312xxy1121) 1)(2(1xxxxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(2)15高階導數(shù)的定義及物理意義高階導數(shù)的定義及物理意義;高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導數(shù)的求法階導數(shù)的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法.三、小結161、設,3)(2

9、3xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)0)0(f0)0( f0)0( f練習題練習題1717解解: 設)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二階可導. y yxxfxcos)(sin2)(sin2xfx2)(sin xf2x)(sin xf xcos)cos)(sin() )(s

10、in2(2xxfxxfx)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin )(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx 2、18181)( !nxfn3. (填空題) (1) 設,cos)23()(1622xnxxxf則)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:各項均含因子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意階可導, 且2n時)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf則當 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf