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1、
第22講 圓的基本性質(zhì)
1.圓的有關(guān)概念
考試內(nèi)容
考試
要求
圓的定義
定義1:在一個平面內(nèi),一條線段繞著它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點所形成的圖形叫做圓.
b
定義2:圓是到定點的距離 定長的所有點組成的圖形.
弦
連結(jié)圓上任意兩點的 叫做弦.
直徑
直徑是經(jīng)過圓心的 ,是圓內(nèi)最 的弦.
弧
圓上任意兩點間的部分叫做弧,弧有____________________之分,能夠完全重合的弧叫做____________________.
2、a
等圓
能夠重合的兩個圓叫做等圓.
同心圓
圓心相同的圓叫做同心圓.
2.圓的對稱性
考試內(nèi)容
考試
要求
圓的對稱性
圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條經(jīng)過 的直線.
c
圓是中心對稱圖形,對稱中心為____________________.
圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧或兩條弦中有一組量 ,那么它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等.
3.圓周角
考試內(nèi)容
考試
要求
圓周角的定義
頂點在圓上,并且 都和圓相交的角叫做圓周角.
b
圓周角定理
一
3、條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 .
c
推論1
同弧或等弧所對的圓周角 .
推論2
半圓(或直徑)所對的圓周角是 ;90°的圓周角所對的弦是 .
推論3
圓內(nèi)接四邊形的對角 .
4.點與圓的位置關(guān)系
考試內(nèi)容
考試
要求
位置關(guān)系
點在圓內(nèi)
點在圓上
點在圓外
b
數(shù)量(d與r)的大小關(guān)系(設(shè)圓的半徑為r,點到圓心的距離為d)
_________________
______
4、___________
_____________
考試內(nèi)容
考試
要求
基本
思想
分類討論思想:在很多沒有給定圖形的題目中,常常不能根據(jù)題目的條件把圖形確定下來,因此會導致解的不唯一性.對于這種多解題必須要分類討論,分類時要注意標準一致,不重不漏.如:圓周角所對的弦是唯一的,但是弦所對的圓周角不是唯一的.
c
基本
方法
輔助線:
有關(guān)直徑的問題,如圖,常作直徑所對的圓周角.
1. (2016·紹興)如圖,BD是⊙O的直徑,點A、C在⊙O上,=,∠AOB=60°,則∠BDC的度數(shù)是( )
A.60° B.45
5、° C.35° D.30°
2. (2015·寧波)如圖,⊙O為△ABC的外接圓,∠A=72°,則∠BCO的度數(shù)為( )
A.15° B.18° C.20° D.28°
3.(2017·紹興)如圖,一塊含45°角的直角三角板,它的一個銳角頂點A在⊙O上,邊AB,AC分別與⊙O交于點D,E,則∠DOE的度數(shù)為____________________.
第3題圖 第4題圖
4.(2017·湖州)如圖,已知在△ABC中,AB=AC
6、.以AB為直徑作半圓O,交BC于點D.若∠BAC=40°,則的度數(shù)是____________________度.
【問題】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,CE是直徑.
(1)觀察圖形,你能得到哪些信息?
(2)若∠ADC=130°,則∠B=______,∠AOC=______,的度數(shù)為____;
(3) 若AC=6,AO=5,則AE=________.
【歸納】通過開放式問題,歸納、疏理圓的有關(guān)性質(zhì),弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論,圓周角定理,圓的內(nèi)接四邊形等.
類型一 圓的有關(guān)概念
下列語句中,正確的是__________________.
①半
7、圓是弧;②長度相等的弧是等弧;③相等的圓心角所對的弧相等;④圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是對稱軸;⑤經(jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條直徑;⑥三個點確定一個圓;⑦直徑是圓中最長的弦;⑧一個點到圓的最小距離為6cm,最大距離為9cm,則該圓的半徑是1.5cm或7.5cm;⑨⊙A的半徑為6,圓心A(3,5),則坐標原點O在⊙A內(nèi).
【解后感悟】圓中相關(guān)概念經(jīng)常會出現(xiàn)錯誤,需要辨析,如在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等.
1.(1)A、B是半徑為5cm的⊙O上兩個不同的點,則弦AB的取值范圍是( )
A.AB>0 B.0
8、.0
9、E=∠F時,求證:∠ADC=∠ABC;
(2)若∠E=∠F=42°時,求∠A的度數(shù);
(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β.請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大?。?
【解后感悟】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的對角互補;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù),在應(yīng)用此性質(zhì)時,要注意與圓周角定理結(jié)合起來.在應(yīng)用時要注意是對角,而不是鄰角互補.
2.(1)(2015·杭州)圓內(nèi)接四邊形ABCD中,已知∠A=70°,則∠C=( )
A.20° B.30° C.70° D.110°
(2) 如圖,
10、四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則∠ADC的大小為( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
(3)(2015·南京)如圖,在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中,∠CAD=35°,則∠B+∠E=____________________.
類型三 圓心角與圓周角的關(guān)系
(1)如圖,AB為⊙O的直徑,諸角p,q,r,s之間的關(guān)系①p=2q;②q=r;③p+s=180°中,正確的是( )
A.只有①和② B.只有①和③ C.只有②和③
11、D.①,②和③
(2)(2015·臺州)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點E在對角線AC上,EC=BC=DC.
①若∠CBD=39°,求∠BAD的度數(shù);
②求證:∠1=∠2.
【解后感悟】解題利用圖形聯(lián)想,揭示數(shù)量關(guān)系,如等腰三角形、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等知識;圓周角定理及其推論建立了圓心角、弦、弧、圓周角之間的關(guān)系,最終實現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)的轉(zhuǎn)化;當圖中出現(xiàn)同弧或等弧時,常??紤]到弧所對的圓周角或圓心角,“一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半”,通過弧把角聯(lián)系起來.注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
3. (1)(2017·衢州模擬)如
12、圖,已知⊙O是△ABD的外接圓,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,則∠BCD等于____________________.
(2)(2017·巴中模擬)如圖,?ABCD的頂點A、B、D在⊙O上,頂點C在⊙O的直徑BE上,連結(jié)AE,∠E=36°,則∠ADC的度數(shù)是____________________.
(3) (2017·濰坊模擬)如圖,半徑為5的⊙A中,弦BC,ED所對的圓心角分別是∠BAC,∠EAD.已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,則弦BC的弦心距等于____________________.
類型四 圓的綜合運用
(2017·臺州)如
13、圖,已知等腰直角三角形ABC,點P是斜邊BC上一點(不與B,C重合),PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑.
(1)求證:△APE是等腰直角三角形;
(2)若⊙O的直徑為2,求PC2+PB2的值.
【解后感悟】解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線,構(gòu)造特殊四邊形解決問題,注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.
4.(2017·麗水)如圖,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,切線DE交AC于點E.
(1)求證:∠A=∠ADE;
(2)若AD=16,DE=10,求BC的長.
【探索研究題】
(2017·杭州)如圖,已知△A
14、BC內(nèi)接于⊙O,點C在劣弧AB上(不與點A,B重合),點D為弦BC的中點,DE⊥BC,DE與AC的延長線交于點E,射線AO與射線EB交于點F,與⊙O交于點G,設(shè)∠GAB=α,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ,
(1)點點同學通過畫圖和測量得到以下近似數(shù)據(jù):
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想:β關(guān)于α的函數(shù)表達式,γ關(guān)于α的函數(shù)表達式,并給出證明;
(2)若γ=135°,CD=3,△ABE的面積為△ABC的面積的4倍,求⊙O半徑的長.
15、
【方法與對策】本題涉及圓周角定理,勾股定理,解方程,垂直平分線的性質(zhì)等知識,這樣要聯(lián)想,并及時調(diào)整圖形,揭示數(shù)量關(guān)系特征,從而解決問題,這是中考命題的熱點.
【忽視圓周角頂點可能在優(yōu)弧上,也可能在劣弧上】
一條弦的長度等于它所在的圓的半徑,那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)是________.
參考答案
第22講 圓的基本性質(zhì)
【考點概要】
1.等于 線段 弦 長 優(yōu)弧、半圓、劣弧 等弧
2.圓心 圓心 相等 3.兩邊 一半 相等 直角 直徑 互補 4.d<r d=r d>r
【考題體驗】
1.D 2.B 3.90
16、° 4.140
【知識引擎】
【解析】(1)由圓心角、圓周角定理,圓的內(nèi)接四邊形可知:∠B=∠E=∠AOC, ∠B+∠D=180°, ∠CAE=90°等; (2)50°,100°,80°; (3)8.
【例題精析】
例1?、佗堍撷啖帷?
例2 (1)∠E=∠F,∵∠DCE=∠BCF,∴∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,∴∠ADC=∠ABC; (2)由(1)知∠ADC=∠ABC,∵∠EDC=∠ABC,∴∠EDC=∠ADC,∴∠ADC=90°,∴∠A=90°-42°=48°; (3)連結(jié)EF,如圖,∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形,∴∠ECD=∠A,∵∠ECD=∠1+∠
17、2,∴∠A=∠1+∠2,∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°,∴2∠A+α+β=180°,∴∠A=90°-. 例3 (1)A;(2)①∵BC=CD,∴=.∴∠BAC=∠CAD=∠CBD.∵∠CBD=39°,∴∠BAC=∠CAD=39°.∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°.②∵EC=BC,∴∠CBE=∠CEB,∵∠CBE=∠1+∠CBD,∠CEB=∠2+∠BAC,又∵∠BAC=∠CBD,∴∠1=∠2.
例4 (1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠C=∠ABC=45°,∴∠AEP=∠ABP=45°,∵PE是直徑,∴∠PAE=90°,∴∠APE=∠AEP=45°,∴AP=AE,∴
18、△PAE是等腰直角三角形. (2)作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,則四邊形PMAN是矩形,∴PM=AN,∵△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,∴PC=PM,PB=PN,∴PC2+PB2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4.(也可以證明△ACP≌△ABE,△PBE是直角三角形)
【變式拓展】
1. (1)D (2)C (3)3
19、0°,∵OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠ADE=∠A. (2)連結(jié)CD.∵∠ADE=∠A,∴AE=DE,∵BC是⊙O的直徑,∠ACB=90°,∴EC是⊙O的切線,∴ED=EC,∴AE=EC,∵DE=10,∴AC=2DE=20,在Rt△ADC中,DC==12,設(shè)BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202,∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9,∴BC==15.
【熱點題型】
【分析與解】(1)猜想:β=α+90°,γ=-α+180°,連結(jié)OB,∴由圓周角定理可知:2∠BCA=360°-∠BOA,∵OB=OA,∴∠O
20、BA=∠OAB=α,∴∠BOA=180°-2α,∴2β=360°-(180°-2α),∴β=α+90°,∵D是BC的中點,DE⊥BC,∴OE是線段BC的垂直平分線,∴BE=CE,∠BED=∠CED,∠EDC=90°,∵∠BCA=∠EDC+∠CED,∴β=90°+∠CED,∴∠CED=α,∴∠CED=∠OBA=α,∴O、A、E、B四點共圓,∴∠EBO+∠EAG=180°,∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°,∴γ+α=180°;
(2)當γ=135°時,此時圖形如圖所示,∴α=45°,β=135°,∴∠BOA=90°,∠BCE=45°,由(1)可知:O、A、E、B四點共圓,∴∠BEC=90°,∵△ABE的面積為△ABC的面積的4倍,∴=4,∴=3,設(shè)CE=3x,AC=x,由(1)可知:BC=2CD=6,∵∠BCE=45°,∴CE=BE=3x,∴由勾股定理可知:(3x)2+(3x)2=62,x=,∴BE=CE=3,AC=,∴AE=AC+CE=4,在Rt△ABE中,由勾股定理可知:AB2=(3)2+(4)2,∴AB=5,∵∠BAO=45°,∴∠AOB=90°,在Rt△AOB中,設(shè)半徑為r,由勾股定理可知:AB2=2r2,∴r=5,∴⊙O半徑的長為5.
【錯誤警示】30°或150°
12