浙江省2018年中考數學總復習 第三章 函數及其圖象 第16講 函數的應用講解篇

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1、 第16講　函數的應用 1．函數與方程、不等式的應用 考試內容 考試 要求 方法 借助函數的圖象和性質(數形結合)，形象直觀地解決有關不等式的解(或最大(小)值)、方程的解等問題． c 常見類型 求方程的解，求不等式的解，代數式大小比較等． 2.函數的最值的應用 考試內容 考試 要求 方法 ①讀懂題意，借助問題中的等量關系、公式等列式；②確定函數解析式及自變量的取值范圍；③確定函數的最值，解決實際問題． c 常見類型 一次函數最值，二次函數最值，反比例函數最值等. 注意點 在求函數最值時，要注意實際問題中自變量的取值的限制對最值的影響． 3.

2、拋物線型的函數的應用 考試內容 考試要求 方法 ①建立平面直角坐標系；②利用待定系數法確定拋物線的解析式；③利用二次函數的性質解決實際問題． c 常見類型 橋梁，隧道，體育運動等． 注意點 當題目中沒有給出坐標系時，坐標系選取的不同，所得解析式也不同． 4．多個函數的組合的應用 考試內容 考試 要求 方法 ①建立變量與變量之間的函數關系(函數解析式或函數圖象)，如：一次函數與一次函數解析式或圖象，一次函數與二次函數解析式或圖象，一次函數與反比例函數解析式或圖象，其他復合而成的函數解析式或圖象；②借助函數解析式或圖象以及函數性質解決問題． c 常見類型 一次函

3、數與一次函數的組合，一次函數與二次函數的組合，一次函數與反比例函數的組合等． 5.靈活選用適當的函數模型的應用 考試內容 考試 要求 方法 ①由題目條件在坐標系中描出點的坐標；②根據點的坐標判斷函數類型；③由待定系數法確定函數解析式；④將其他各點或對應值代入所求解析式，檢驗函數類型確定是否正確；⑤利用所求函數的性質解決問題． c 常見類型 生活、生產、科技等為背景的問題． 注意點 建立函數模型解決實際問題時，題目中沒有明確函數類型時，要對求出的函數解析式進行驗證，防止出現錯解． 考試內容 考試 要求 基本 思想 1.數形結合，借助函數的圖象和性質，形象直觀

4、地解決有關方程、不等式、比較大小、最大(小)值等問題． c 2.建模思想，把生活、生產、科技等方面的問題通過建立函數模型求解．如函數與三角形、四邊形、圓等幾何知識結合時，往往涉及最大面積，最小距離等問題，解決的過程中需要建立函數關系，運用函數的性質求解． 1．(2017·紹興模擬)一臺印刷機每年可印刷的書本數量y(萬冊)與它的使用時間x(年)成反比例關系，當x＝2時，y＝20.則y與x的函數圖象大致是(　　) 2．(2015·金華)圖2是圖1中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標系，橋的拱形可近似看成拋物線y＝－(x－8

5、0)2＋16，橋拱與橋墩AC的交點C恰好在水面，有AC⊥x軸，若OA＝10米，則橋面離水面的高度AC為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．16米 B.米 C．16米 D.米 【問題】人的視覺機能受運動速度的影響很大，行駛中的司機在駕駛室內觀察前方物體時是動態(tài)的，車速增加，視野變窄，當車速為50km/h時，視野為80度．如果視野f(度)是車速v(km/h)的反比例函數． (1)求f、v之間的關系式，并計算當車速為100km/h時視野的度數． (2)當視野的度數

6、不低于50度時，車速應控制在什么范圍內． (3)通過以上兩題解答，請你思考如何建立合適的函數模型，以及利用函數關系式解題時，如何理解已知數的意義． 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理函數的實際問題，要認真分析，構建函數模型，從而根據函數性質解答問題；實際問題中函數解析式的求法：設x為自變量，y為x的函數，在求解析式時，一般與列方程解應用題一樣先列出關于x、y的二元方程，再用含x的代數式表示y，最后還要寫出自變量x的取值范圍． 類型一　方程(組)、不等式中的函數應用 　(2017·安徽模擬)給出下列命題及函數y＝x，y＝x2和y＝. ①如果>a>a2，那么0＜a＜1； ②如果

7、a2>a>，那么a＞1； ③如果>a2>a，那么－1＜a＜0； ④如果a2>>a時，那么a＜－1. 則(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．正確的命題是①④　 B．錯誤的命題是②③④ C．正確的命題是①②　 D．錯誤的命題只有③ 【解后感悟】本題是二次函數與不等式組的關系，實際上利用函數圖象來比較代數式的大小，求出兩交點的坐標，并準確識圖． 1．(1)(2017·蘭州)下表是一組二次函數y＝x2＋3x－5的自變量x與函數值y的對應值： x 1 1.1 1.

8、2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2＋3x－5＝0的一個近似根是(　　) A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 (2) 如圖，直線y＝k1x＋b與雙曲線y＝交于A、B兩點，其橫坐標分別為1和5，則不等式k1x＜＋b的解集是　　　　　　　　?。? 類型二　幾何圖形中的函數應用 　(2017·蕭山模擬)在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心，旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分

9、別交于點A、B. (1)求證：MA＝MB； (2)連結AB，探究：在旋轉三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在．請說明理由． 【解后感悟】該題的第(2)題是最小值問題，主要去構建一個函數模型，然后利用性質求最小值．在構造函數模型時注意兩個方面：一是揭示基本圖形，尋找基本的數量關系，二是確立哪個量作為自變量來構建函數． 2． (2015·濰坊)如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側面積的最大值是(　　) A.cm2

10、 B.cm2 C.cm2 D.cm2 類型三　一次函數的應用 　(2015·杭州)方成同學看到一則材料，甲開汽車，乙騎自行車從M地出發(fā)沿一條公路勻速前往N地，設乙行駛的時間為t(h)，甲乙兩人之間的距離為y(km)，y與t的函數關系如圖1所示，方成思考后發(fā)現了圖1的部分正確信息，乙先出發(fā)1h，甲出發(fā)0.5小時與乙相遇，…，請你幫助方成同學解決以下問題： (1)分別求出線段BC，CD所在直線的函數表達式； (2)當20＜y＜30時，求t的取值范圍； (3)分別求出甲、乙行駛的路程S甲、S乙與時間t的函數表達式，并在圖2所給的直角坐

11、標系中分別畫出它們的圖象； (4)丙騎摩托車與乙同時出發(fā)，從N地沿同一條公路勻速前往M地，若丙經過h與乙相遇，問丙出發(fā)后多少時間與甲相遇？ 　　　　　　　　 【解后感悟】此題是一次函數的實際應用，注意理解題意，結合圖象，根據實際選擇合理的方法解答． 3．(2017·臺州模擬)某服裝廠現有A種布料70米，B種布料52米，現計劃用這兩種布料生產M、N兩種型號的時裝共80套．已知做一套M型號的時裝需用A種布料1.1米，B種布料0.4米，可獲利50元；做一套N型號的時裝需用A種布料0.6米，B種布料0.9米，可獲利潤45元．當M型號的時裝為多少套時，能使該廠所獲

12、利潤最大(　　) A．40 B．44 C．66 D．80 4． (2015·舟山模擬)一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始的3分內只進水不出水，在隨后的9分內既進水又出水，每分的進水量和出水量都是常數．容器內的水量y(單位：升)與時間x(單位：分)之間的關系如圖所示．當容器內的水量大于5升時，時間x的取值范圍為____________________． 類型四　反比例函數的應用 　(2015·南平模擬)小明家飲水機中原有水的溫度為20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱[此過程中水溫y(℃)與開機時間

13、x(分)滿足一次函數關系]，當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降[此過程中水溫y(℃)與開機時間x(分)成反比例關系]，當水溫降至20℃時，飲水機又自動開始加熱…，重復上述程序(如圖所示)，根據圖中提供的信息，解答下列問題： (1)當0≤x≤8時，求水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數關系式； (2)求圖中t的值； (3)若小明在通電開機后即外出散步，請你預測小明散步45分鐘回到家時，飲水機內的溫度約為多少℃？ 【解后感悟】此題是一次函數以及反比例函數的應用，根據題意得出正確的函數解析式是解題關鍵． 5． 某人對地面的壓強與他和

14、地面接觸面積的函數關系如圖所示．若某一沼澤地地面能承受的壓強不超過300N/m2，那么此人必須站立在面積____的木板上才不至于下陷．(木板的重量忽略不計)(　　) A．至少2m2 B．至多2m2 C．大于2m2 D．小于2m2 類型五　二次函數的應用 　(2017·鎮(zhèn)江模擬)某企業(yè)生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等，如圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1(單位：元)、銷售價y2(單位：元)與產量x(單位：kg)之間的函數關系． (1)請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義； (2)求線段AB所表示的

15、y1與x之間的函數表達式； (3)當該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 【解后感悟】本題是二次函數在實際生活中的應用，主要是利用二次函數的增減性求最值問題，難點在于讀懂題目信息，列出相關的函數關系式． 6．(2017·麗水模擬)河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數的關系式為y＝－x2，當水面離橋拱頂的高度DO是4m時，這時水面寬度AB為(　　) A．－20m B．10m C．20m D．－10m 【實際應用題】 (2

16、015·舟山)某企業(yè)接到一批粽子生產任務，按要求在15天內完成，約定這批粽子的出廠價為每只6元．為按時完成任務，該企業(yè)招收了新工人，設新工人李明第x天生產的粽子數量為y只，y與x滿足如下關系式：y＝ (1)李明第幾天生產的粽子數量為420只？ (2)如圖，設第x天每只粽子的成本是p元，p與x之間的關系可用圖中的函數圖象來刻畫．若李明第x天創(chuàng)造的利潤為W元，求W與x之間的函數表達式，并求出第幾天的利潤最大？最大值是多少元(利潤＝出廠價－成本)? (3)設(2)小題中第m天利潤達到最大值，若要使第(m＋1)天的利潤比第m天的利潤至少多48元，則第(m＋1)天每只粽子至少應提價幾元？ 　

17、　　　 　　　　 【方法與對策】本題是二次函數在實際生活中的應用，難點在于讀懂題目信息，把實際問題構建成一個函數模型，解答時需要同學們仔細分析所示情景分類討論，利用二次函數的增減性求最值問題，利用一次函數的增減性求最值．該題型是中考選擇題中的壓軸題，出現較多，學習過程中要重視． 【建立坐標系時忽視符號】 如圖1，某灌溉設備的噴頭B高出地面1.25 m，噴出的拋物線形水流與噴頭底部A的距離為1 m處達到距地面最大高度2.25 m，試在恰當的直角坐標系中求出與該拋物線水流對應的二次函數關系式． 學生小龍在解答圖1所示的問題時，具體解答如下： ①以水流的最高點為原點，過原

18、點的水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系； ②設拋物線水流對應的二次函數關系式為y＝ax2； ③根據題意可得B點與x軸的距離為1 m，故B點的坐標為(－1，1)； ④代入y＝ax2得－1＝a·1，所以a＝－1； ⑤所以拋物線水流對應的二次函數關系式為y＝－x2. 數學老師看了小龍的解題過程后說：“小龍的解答是錯誤的．” (1)請指出小龍的解題從第________步開始出現錯誤，錯誤的原因是什么？ (2)請你寫出完整的正確解答過程． 參考答案 第16講　函數的應用 【考題體驗】 1．C　2.B 【知識引擎】 【解

19、析】(1)f、v之間的關系式f＝.當v＝100時，f＝＝40.答：當車速為100km/h時，視野的度數為40度．　(2)根據圖象或函數增減性，f隨v增大而減小，∴f＝≥50，v≤80，∴車速不超過80km/h.　(3)揭示問題中的數量關系，通過兩個變量列方程，從而建立函數模型；對于問題中的數量，要尋找與變量之間的關系，以便解題． 【例題精析】 例1　易求x＝1時，三個函數的函數值都是1，所以，交點坐標為(1，1)．根據對稱性，y＝x和y＝在第三象限的交點坐標為(－1，－1)．①如果>a>a2，那么0＜a＜1正確；②如果a2>a>，那么a＞1或－1＜a＜0，故本小題錯誤；③如果>a2>a，那

20、么a值不存在，故本小題錯誤；④如果a2>>a時，那么a＜－1正確．綜上所述，正確的命題是①④.故選A.　 例2　(1)證明：連結OM.∵Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ的中點，∴PQ＝4，OM＝PM＝PQ＝2，∠POM＝∠BOM＝∠P＝45°.∵∠PMA＋∠AMO＝∠OMB＋∠AMO，∴∠PMA＝∠OMB.∴△PMA≌△OMB(ASA)．∴MA＝MB.　(2)△AOB的周長存在最小值．理由如下：∵△PMA≌△OMB，∴PA＝OB.∴OA＋OB＝OA＋PA＝OP＝4.設OA＝x，AB＝y，則y2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8≥8.∴當x＝2時y2有最小值8

21、，從而y的最小值為2.∴△AOB的周長存在最小值，其最小值是4＋2.　 例3 (1)直線BC的函數表達式為：y＝40t－60；直線CD的函數表達式為：y＝－20t＋80；　(2)OA的函數表達式為：y＝20t(0≤t≤1)，∴點A的縱坐標為20，當20

22、橫坐標為，∴丙出發(fā)小時與甲相遇．　 例4　(1)當0≤x≤8時，設水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數關系為：y＝kx＋b，依據題意，得解得：故此函數解析式為：y＝10x＋20；(2)在水溫下降過程中，設水溫y(℃)與開機時間x(分)的函數關系式為：y＝，依據題意，得：100＝，即m＝800，故y＝，當y＝20時，20＝，解得：t＝40；(3)∵45－40＝5≤8，∴當x＝5時，y＝10×5＋20＝70，答：小明散步45分鐘回到家時，飲水機內的溫度約為70℃.　 例5　(1)點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產量為130kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為42元；(2)設線段AB

23、所表示的y1與x之間的函數關系式為y＝k1x＋b1，∵y＝k1x＋b1的圖象過點(0，60)與(90，42)，∴∴解得：∴這個一次函數的表達式為：y＝－0.2x＋60(0≤x≤90)；(3)設y2與x之間的函數關系式為y＝kx＋b，∵經過點(0，120)與(130，42)，∴解得：∴這個一次函數的表達式為y＝－0.6x＋120(0≤x≤130)，設產量為xkg時，獲得的利潤為W元，當0≤x≤90時，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2250，∴當x＝75時，W的值最大，最大值為2250；當90≤x≤130時，W＝x[(－0.6x＋120)－42]＝

24、－0.6(x－65)2＋2535，∴當x＝90時，W＝－0.6(90－65)2＋2535＝2160，由－0.6＜0知，當x＞65時，W隨x的增大而減小，∴90≤x≤130時，W≤2160，因此當該產品產量為75kg時，獲得的利潤最大，最大值為2250元． 【變式拓展】 1．(1)C　(2)－5＜x＜－1或x＞0　2.C　3.B　4.1

25、價，然后整理即可得到W與x的關系式，再根據一次函數的增減性和二次函數的增減性解答：由圖象得，當0≤x≤9時，p＝4.1；當9≤x≤15時，設p＝kx＋b，把點(9，4.1)，(15，4.7)代入得，解得∴p＝0.1x＋3.2，①0≤x≤5時，W＝(6－4.1)×54x＝102.6x，當x＝5時，W最大＝513(元)；②5

26、＝12時，W有最大值，最大值為768.　(3)根據(2)得出m＋1＝13，根據利潤等于出廠價減去成本價得出提價a與利潤W的關系式，再根據題意列出不等式求解即可：設第13天提價a元，由題意得，W13＝(6＋a－p)(30x＋120)＝510(a＋1.5)，∴510(a＋1.5)－768≥48，解得a≥0.1.答：第13天每只粽子至少應提價0.1元． 【錯誤警示】 (1)③　原因：B點的坐標寫錯了，應是(－1，－1)．　(2)以水流的最高點為原點，過原點的水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系．設拋物線水流對應的二次函數關系式為y＝ax2，根據題意可得B點與x軸的距離為1 m，故B點的坐標為(－1，－1)，代入y＝ax2得－1＝a·1，所以a＝－1，所以拋物線水流對應的二次函數關系式為y＝－x2. 13