浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第40講 實驗與動態(tài)型問題講解篇
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1、 第40講 實驗與動態(tài)型問題 內(nèi)容 特性 動態(tài)型問題是指以三角形、四邊形、圓等幾何圖形或函數(shù)圖象為載體,設(shè)計動態(tài)變化,并對變化過程中伴隨著的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行實驗、觀察、猜想和歸納,進(jìn)行推理的一類問題,這類問題信息量大,靈活多變,出現(xiàn)的結(jié)果往往有多種情況.涉及到平行線、相似三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù),方程、不等式及函數(shù)的知識,以及幾何變換,數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)與方程,特殊與一般的思想. 解題 策略 解決此類問題需要運用運動和變化的觀點,把握運動和變化的全過程,動中取靜,靜中求動,抓住運動中的某一瞬間,抓住變化過程中的特殊情形
2、,確定運動變化過程中的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系,從而建立方程、不等式、函數(shù)、幾何模型,找到解決問題的途徑. 基本 思想 解題時利用方程與函數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想,恰當(dāng)?shù)厥褂梅治鼍C合法,挖掘題目的隱含條件,將復(fù)雜問題分解為基本問題,逐個擊破,進(jìn)一步得到新的結(jié)論. 類型一 由點運動產(chǎn)生的問題 (2017·麗水)如圖1,在△ABC中,∠A=30°,點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線A-C-B運動,點Q從點A出發(fā)以a(cm/s)的速度沿AB運動,P,Q兩點同時出發(fā),當(dāng)某一點運動到點B時,兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為x(s),△APQ的面積為y(c
3、m2),y關(guān)于x的函數(shù)圖象由C1,C2兩段組成,如圖2所示. (1)求a的值; (2)求圖2中圖象C2段的函數(shù)表達(dá)式; (3)當(dāng)點P運動到線段BC上某一段時△APQ的面積大于當(dāng)點P在線段AC上任意一點時△APQ的面積,求x的取值范圍. 【解后感悟】解題的關(guān)鍵是從運動圖與描述圖中獲取信息,根據(jù)圖象確定x的運動時間與面積的關(guān)系,同時關(guān)注圖象不同情況的討論.這類問題往往探究點在運動變化過程中的變化規(guī)律,如等量關(guān)系、圖形的特殊位置、圖形間的特殊關(guān)系等,且體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想. 1. (2016·白銀)如圖,△ABC是等腰直角三角
4、形,∠A=90°,BC=4,點P是△ABC邊上一動點,沿B→A→C的路徑移動,過點P作PD⊥BC于點D,設(shè)BD=x,△BDP的面積為y,則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是( ) 2.(1)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A在拋物線y=x2-2x+2上運動,過點A作AC⊥x軸于點C,以AC為對角線作矩形ABCD,連結(jié)BD,則對角線BD的最小值為 . (2) (2016·舟山)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點A,B分別在x軸,y軸上,點A的坐標(biāo)為(-1,0),∠ABO=30°,線段PQ的端點P從點O出發(fā),沿△OBA的邊按O→B→A→O運動一周,同時另一端點Q隨之在x軸的非
5、負(fù)半軸上運動,如果PQ=,那么當(dāng)點P運動一周時,點Q運動的總路程為 . 類型二 由線運動產(chǎn)生的問題 (2015·無錫)如圖,C為∠AOB的邊OA上一點,OC=6,N為邊OB上異于點O的一動點,P是線段CN上一點,過點P分別作PQ∥OA交OB于點Q,PM∥OB交OA于點M. (1)若∠AOB=60°,OM=4,OQ=1,求證:CN⊥OB; (2)當(dāng)點N在邊OB上運動時,四邊形OMPQ始終保持為菱形. ①問:-的值是否發(fā)生變化?如果變化,求出其取值范圍;如果不變,請說明理由; ②設(shè)菱形OMPQ的面積為S1,△NOC的面積為S2,求的取值范圍. 【解后感悟】
6、解答這類問題時要用運動與變化的觀點去觀察和研究圖形,把握直線或曲線變化的全過程,本題中PQ∥OA,PM∥OB,涉及相似三角形的判定與性質(zhì),抓住等量關(guān)系,特別注意一些不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系. 3. (1)(2016·長春市南關(guān)區(qū)模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的邊BC在x軸的正半軸上,點B在點C的左側(cè),直線y=kx經(jīng)過點A(3,3)和點P,且OP=6.將直線y=kx沿y軸向下平移得到直線y=kx+b,若點P落在矩形ABCD的內(nèi)部,則b的取值范圍是( ) A.0
7、0)與此正方形的邊有交點,則a的取值范圍是 . (3) (2016·新昌模擬)已知Rt△ABC的頂點坐標(biāo)為A(1,2),B(2,2),C(2,1),若拋物線y=ax2與該直角三角形無公共點,則a的取值范圍是 . (4) (2016·海陵模擬)如圖,等腰直角三角形的斜邊長AB=8,一直線l繞頂點B任意旋轉(zhuǎn),過A向l作垂線,垂足為H,則線段CH長的取值范圍是 . 類型三 由圖形運
8、動產(chǎn)生的問題 (2016·金華)由6根鋼管首尾順次鉸接而成六邊形鋼架ABCDEF,相鄰兩鋼管可以轉(zhuǎn)動.已知各鋼管的長度為AB=DE=1米,BC=CD=EF=FA=2米.(鉸接點長度忽略不計) (1)轉(zhuǎn)動鋼管得到三角形鋼架,如圖1,則點A,E之間的距離是 米; (2)轉(zhuǎn)動鋼管得到如圖2所示的六邊形鋼架,有∠A=∠B=∠C=∠D=120°,現(xiàn)用三根鋼條連接頂點使該鋼架不能活動,則所用三根鋼條總長度的最小值是 米. 【解后感悟】由圖形變化產(chǎn)生的問題包括由點引起的圖形變化,圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)等;圖形在變化過程中,抓住不變的圖形和量;以三角形、四邊形和圓的變化
9、為常見的一種題型.本題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形以及平行四邊形. 4. (2016·金華)如圖,Rt△ABC紙片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點D在邊BC上,以AD為折痕折疊△ABD得到△AB′D,AB′與邊BC交于點E.若△DEB′為直角三角形,則BD的長是 . 5.(2016·寧波)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(5,0),菱形OABC的頂點B,C都在第一象限,tan∠AOC=,將菱形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<∠α<∠AOC)得到菱形FADE(點O的對應(yīng)點為點F),EF與OC交于點G,連結(jié)AG. (1)求點B的坐標(biāo); (2)
10、當(dāng)OG=4時,求AG的長; (3)求證:GA平分∠OGE; (4)連結(jié)BD并延長交x軸于點P,當(dāng)點P的坐標(biāo)為(12,0)時,求點G的坐標(biāo). 【動點實驗題】 用如圖1,2所示的兩個直角三角形(部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出),完成以下兩個探究問題: 探究一:將以上兩個三角形如圖3拼接(BC和ED重合),在BC邊上有一動點P. (1)當(dāng)點P運動到∠CFB的角平分線上時,連結(jié)AP,求線段AP的長; (2)當(dāng)點P在運動的過程中出現(xiàn)PA=FC時,求∠PAB的度數(shù). 探究二:如圖4,將△DEF的頂點D放在△ABC的BC邊上的中點處,并以點D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF,使△DEF的兩
11、直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點,連結(jié)MN.在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中,△AMN的周長是否存在有最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,請說明理由. 【方法與對策】本題是幾何綜合題,運用了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函數(shù)最值等知識點.第(3)問,由發(fā)現(xiàn)并證明△AMD≌△CND取得解題的突破點,再利用勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.這種題型要注意問題的前后關(guān)系,要利用前面方法來指導(dǎo)后面的問題,要利用特殊到一般的思想,這是中考常見題型. 【沒有畫圖和動態(tài)分析,致使問題分析不全】 如圖,已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,4
12、),B(4,1),C(1,1),若雙曲線y=(x>0)與△ABC有公共點,則k的取值范圍是________. 第40講 實驗與動態(tài)型問題 【例題精析】 例1 (1)如圖1,作PD⊥AB于D,∵∠A=30°,∴PD=AP=x,∴y=AQ·PD=ax2,由圖象可知,當(dāng)x=1時,y=,∴×a×12=,解得a=1; (2)如圖2,作PD⊥AB于D,由圖象可知,PB=5×2-2x=10-2x,PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB,∴y=×AQ×PD=x×(10-2x)·sinB,∵當(dāng)x=4時,y=,
13、∴×4×(10-2×4)·sinB=,解得,sinB=,∴y=x×(10-2x)×=-x2+x;(3)x2=-x2+x,解得,x1=0,x2=2,由圖象可知,當(dāng)x=2時,y=x2有最大值,最大值是×22=2,-x2+x=2,解得,x1=3,x2=2,∴當(dāng)2<x<3時,點P運動到線段BC上某一段時△APQ的面積大于當(dāng)點P在線段AC上任意一點時△APQ的面積. 例2 (1)過P作PE⊥OA于E,∵PQ∥OA,PM∥OB,∴四邊形OMPQ為平行四邊形.∴PM=OQ=1,∠PME=∠AOB=60°,∴PE=PM·sin60°=,ME=,∴CE=OC-OM-ME=,∴tan∠PCE==,∴∠PCE
14、=30°,∴∠CPM=90°,又∵PM∥OB,∴∠CNO=∠CPM=90°,即CN⊥OB. (2)①-的值不發(fā)生變化.理由如下:設(shè)OM=x,ON=y(tǒng).∵四邊形OMPQ為菱形,∴OQ=QP=OM=x,NQ=y(tǒng)-x.∵PQ∥OA,∴∠NQP=∠O.又∵∠QNP=∠ONC,∴△NQP∽△NOC,∴=,即=,∴6y-6x=xy.兩邊都除以6xy,得-=,即-=. ②過P作PE⊥OA于E,過N作NF⊥OA于F,則S1=OM·PE,S2=OC·NF,∴=.∵PM∥OB,∴∠PMC=∠O.又∵∠PCM=∠NCO,∴△CPM∽△CNO.∴==.∴==-(x-3)2+.∵0<x<6,由這個二次函數(shù)的圖
15、象可知,0<≤. 例3 (1)如圖1中,∵FB=DF,F(xiàn)A=FE,∴∠FAE=∠FEA,∠B=∠D,∴∠FAE=∠B,∴AE∥BD,∴=,∴=,∴AE=,故答案為. (2)如圖2中,作BN⊥FA于N,延長AB、DC交于點M,連結(jié)BD、AD、BF、CF.在Rt△BFN中,∵∠BNF=90°,BN=,F(xiàn)N=AN+AF=+2=,∴BF==,同理得到AC=DF=,∵∠ABC=∠BCD=120°,∴∠MBC=∠MCB=60°,∴∠M=60°,∴CM=BC=BM,∵∠M+∠MAF=180°,∴AF∥DM,∵AF=CM,∴四邊形AMCF是平行四邊形,∴CF=AM=3,∵∠BCM=∠CBD+∠C
16、DB=60°,∠CBD=∠CDB,∴∠CBD=∠CDB=30°,∵∠M=60°,∴∠MBD=90°,∴BD==2,BE==,∵<3<2<,∴用三根鋼條連接頂點使該鋼架不能活動,∴連結(jié)AC、BF、DF即可,∴所用三根鋼條總長度的最小值為3,故答案為3.
【變式拓展】
1. B
2. (1)1 (2)4
3.(1)C (2)2≤a≤3 (3)a<0或a>2或0
17、直角△BAH中,AB=5,∴BH=AB=4,AH=AB=3,∴OH=OA+AH=5+3=8,∴點B的坐標(biāo)為(8,4); (2)如圖1,過點A作AM⊥OC于點M,在直角△AOM中,∵tan∠AOC=,OA=5,∴AM=OA=4,OM=OA=3,∵OG=4,∴GM=OG-OM=4-3=1,∴AG===; (3)如圖1,過點A作AN⊥EF于點N,∵在△AOM與△AFN中,∴△AOM≌△AFN(AAS),∴AM=AN,∴GA平分∠OGE. (4)如圖2,過點G作GQ⊥x軸于點Q,由旋轉(zhuǎn)可知:∠OAF=∠BAD=α.∵AB=AD,∴∠ABP=,∵∠AOT=∠F,∠OTA=∠GTF,∴∠OGF=∠O 18、AF=α,∴∠OGA=∠EGA=,∴∠OGA=∠ABP,又∵∠GOA=∠BAP,∴△GOA∽△BAP,∴=,∴GQ=×4=.∵tan∠AOC=,∴OQ=×=,∴G.
【熱點題型】
【分析與解】探究一:(1)依題意畫出圖形,如圖1所示:由題意,得∠CFB=60°,F(xiàn)P為角平分線,則∠CFP=30°.∴CF=BC·tan30°=3×=.∴CP=CF·tan∠CFP=×=1.過點A作AG⊥BC于點G,則AG=BC=,∴PG=CG-CP=-1=.在Rt△APG中,由勾股定理得:AP===. (2)由(1)可知,F(xiàn)C=,如圖2所示,以點A為圓心,以FC=長為半徑畫弧,與BC交于點P1、P 19、2,則AP1=AP2=.過點A作AG⊥BC于點G,則AG=BC=,在Rt△AGP1中,cos∠P1AG===,∴∠P1AG=30°.∴∠P1AB=45°-30°=15°.同理求得,∠P2AG=30°,∠P2AB=45°+30°=75°.∴∠PAB的度數(shù)為15°或75°. 探究二:△AMN的周長存在最小值.如圖3所示,連結(jié)AD,∵△ABC為等腰直角三角形,點D為斜邊BC的中點,∴AD=CD,∠C=∠MAD=45°.∵∠EDF=90°,∠ADC=90°,∠MDA=∠NDC.∵在△AMD與△CND中,∴△AMD≌△CND(ASA).∴AM=CN.設(shè)AM=x,則CN=x,AN=AC-CN=BC-CN=-x,在Rt△AMN中,由勾股定理得:MN====,∴△AMN的周長為:AM+AN+MN=+.當(dāng)x=時,有最小值,最小值為+=.∴△AMN周長的最小值為.
【錯誤警示】
如圖2,若雙曲線與△ABC有公共點,則雙曲線向下最多到點C,向上最多到與直線AB只有一個交點,當(dāng)過點C時,解得k=1;當(dāng)雙曲線與直線AB只有一個交點時,設(shè)直線AB解析式為y=ax+b,∵A(1,4),B(4,1),∴解得∴直線AB的解析式為y=-x+5,∴∴x2-5x+k=0,則該方程有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ=0,即(-5)2-4k=0,解得k=,∴k的取值范圍為:1≤k≤.
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