2020中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練17 銳角三角函數(shù)（含解析）

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1、熱點(diǎn)17 銳角三角函數(shù) 【命題趨勢(shì)】 銳角三函數(shù)是中考數(shù)學(xué)中必考內(nèi)容之一，所占比例8—15分，題目數(shù)量2-3題。一般小題會(huì)有一個(gè)，一般為填空或計(jì)算，考查學(xué)生對(duì)幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值的記憶情況。大題一般也會(huì)有一題，主要是考查銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，往往會(huì)結(jié)合仰角和俯角，坡度等概念進(jìn)行設(shè)計(jì)問題，當(dāng)然在其他解答題中也可能會(huì)用到三角函數(shù)，比如在計(jì)算一些線段長(zhǎng)度，會(huì)與解直角三角形，或者與圓、四邊形結(jié)合而形成難度中等的解答題。 【滿分技巧】 一、 整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu) 二．重點(diǎn)知識(shí) 1.Rt△ABC中 (1)∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝ (2)∠A的鄰邊與斜邊

2、的比值是∠A的余弦，記作cosA＝ (3)∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝ (4)∠A的鄰邊與對(duì)邊的比值是∠A的余切，記作cota＝ 2.特殊值的三角函數(shù)： a sina cosa tana cota 30° 45° 1 1 60° 【限時(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：30分鐘） 一、 選擇題 1. (2019 湖北省宜昌市)如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖，

3、過C作CD⊥AB于D，則∠ADC＝90°， ∴AC＝＝5． ∴sin∠BAC＝＝ 故選：D． 2. (2019 湖南省湘西市)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D，連接BD，若cos∠BDC＝，則BC的長(zhǎng)是（　?。? A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【解析】∵∠C＝90°，cos∠BDC＝， 設(shè)CD＝5x，BD＝7x， ∴BC＝2x， ∵AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D， ∴AD＝BD＝7x， ∴AC＝12x， ∵AC＝12， ∴x＝1， ∴BC＝2； 故選：D． 3. (2019 湖南省長(zhǎng)沙市)如

4、圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+BD的最小值是（　?。? A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC， ∴∠ABE＝90°， ∵tanA＝=2，設(shè)AE＝a，BE＝2a， 則有：100＝a2+4a2， ∴a2＝20， ∴a＝2或﹣2（舍棄）， ∴BE＝2a＝4， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC， ∴CM＝BE＝4（等腰三角形兩腰上的高相等）） ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH＝＝＝， ∴DH＝B

5、D， ∴CD+BD＝CD+DH， ∴CD+DH≥CM， ∴CD+BD≥4， ∴CD+BD的最小值為4． 故選：B． 4. (2019 山東省泰安市)如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（　?。﹌m． A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30 【答案】B 【解析】根據(jù)題意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30， 過B作BE⊥AC于E， ∴∠AEB＝∠CEB＝90°， 在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝

6、30， ∴AE＝BE＝AB＝30km， 在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°， ∴CE＝BE＝10km， ∴AC＝AE+CE＝30+10， ∴A，C兩港之間的距離為（30+10）km， 故選：B． 5. (2019 陜西省)如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E。若DE=1，則BC的長(zhǎng)為 A.2+ B. C.2+ D.3 【答案】A 【解析】 過點(diǎn)D作DF⊥AC于F如圖所示，∵AD為∠BAC的平分線，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠

7、B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=， 故選A 6. (2019 天津市) 2sin60°的值等于（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】2sin60°＝2×＝， 故選：C． 7. (2019 浙江省杭州市)如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊（OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，則點(diǎn)A到OC的距離等于（　　） A．a(chǎn)sinx+bsinx B．a(chǎn)cosx+bcosx C．a(chǎn)sinx+bcosx D．a(chǎn)cosx+b

8、sinx 【答案】D 【解析】作AE⊥OC于點(diǎn)E，作AF⊥OB于點(diǎn)F， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x， ∴∠EAB＝x， ∴∠FBA＝x， ∵AB＝a，AD＝b， ∴FO＝FB+BO＝a?cosx+b?sinx， 故選：D． 8. (2019 浙江省臺(tái)州市)如圖，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把紙片ABCD交叉疊放在紙片EFGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點(diǎn)D與點(diǎn)G重合．當(dāng)兩張紙片交叉所成的角α最小時(shí)，tanα等于（　?。? A． B． C． D． 【答案】D

9、【解析】如圖， ∵∠ADC＝∠HDF＝90° ∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90° ∴△CDM≌△HDN（ASA） ∴MD＝ND，且四邊形DNKM是平行四邊形 ∴四邊形DNKM是菱形 ∴KM＝DM ∵sinα＝sin∠DMC＝ ∴當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，兩張紙片交叉所成的角a最小， 設(shè)MD＝a＝BM，則CM＝8﹣a， ∵M(jìn)D2＝CD2+MC2， ∴a2＝4+（8﹣a）2， ∴a＝ ∴CM＝ ∴tanα＝tan∠DMC＝ 故選：D． 9. (2019 重慶市)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動(dòng)．如圖，在一個(gè)坡

10、度（或坡比）i＝1：的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD．測(cè)得古樹底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC＝26米，在距山腳點(diǎn)A水平距離6米的點(diǎn)E處，測(cè)得古樹頂端D的仰角∠AED＝48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹CD與直線AE垂直），則古樹CD的高度約為（　?。? （參考數(shù)據(jù)：sin48°≈，cos48°≈，tan48°≈） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】如圖，∵＝1：＝， ∴設(shè)CF＝5k，AF＝12k， ∴AC＝＝13k＝26， ∴k＝2， ∴AF＝10，CF＝24， ∵AE＝6， ∴EF＝6+24＝30， ∵∠DEF＝48°， ∴tan4

11、8°＝＝＝1.11， ∴DF＝， ∴CD＝﹣10＝， 答：古樹CD的高度約為米， 故選：C． 10. (2019 廣西防城港市)小菁同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中測(cè)量路燈的高度．如圖，已知她的目高為1.5米，她先站在處看路燈頂端的仰角為，再往前走3米站在處，看路燈頂端的仰角為，則路燈頂端到地面的距離約為（ ） （已知，，，，， A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米 【答案】C 【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)， 設(shè)， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故選：C． 二、填空題 11. (2019 甘肅省)在△ABC中∠C＝90°，

12、tanA＝，則cosB＝　 　． 【答案】 【解析】利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝， 設(shè)a＝x，b＝3x，則c＝2x， ∴cosB＝＝． 故答案為：． 12. (2019 湖南省張家界市)如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接PD，則tan∠APD＝　 ?。? 【答案】2 【解析】連接AF， ∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)， ∴CF＝BE，， 在△ABE和△BCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF

13、， 又∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， ∴∠BPE＝∠APF＝90°， ∵∠ADF＝90°， ∴∠ADF+∠APF＝180°， ∴A、P、F、D四點(diǎn)共圓， ∴∠AFD＝∠APD， ∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2， 故答案為：2． 13. (2019 江蘇省常州市)如圖，半徑為的⊙O與邊長(zhǎng)為8的等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切，連接OC，則tan∠OCB＝　 ?。? 【答案】 【解析】連接OB，作OD⊥BC于D， ∵⊙O與等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切， ∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，

14、∴tan∠OBC＝， ∴BD＝＝＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5， ∴tan∠OCB＝＝． 故答案為． 14. (2019 江蘇省淮安市)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中點(diǎn)，將△CBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP＝　 ?。? 【答案】 【解析】如圖，連接PB，交CH于E， 由折疊可得，CH垂直平分BP，BH＝PH， 又∵H為AB的中點(diǎn)， ∴AH＝BH， ∴AH＝PH＝BH， ∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB， 又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°， ∴∠APB＝90°，

15、 ∴∠APB＝∠HEB＝90°， ∴AP∥HE， ∴∠BAP＝∠BHE， 又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝， ∴tan∠HAP＝， 故答案為：． 15. (2019 江蘇省蘇州市)如圖，一塊含有角的直角三角板，外框的一條直角邊長(zhǎng)為，三角板的外框線和與其平行的內(nèi)框線之間的距離均為，則圖中陰影部分的面積為_______（結(jié)果保留根號(hào)） 【答案】14+16 【解析】如右圖：過頂點(diǎn)A作AB⊥大直角三角形底邊 由題意： ∴ = ∴ = 16. (2019 山東省臨沂市)計(jì)算：×﹣tan45°＝　 　． 【答案】 【解析】×﹣t

16、an45°＝﹣1＝﹣1， 故答案為：﹣1 17. (2019 山東省濰坊市)如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝（x＜0）的圖象上，則tan∠BAO的值為　 ?。? 【答案】 【解析】過A作AC⊥x軸，過B作BD⊥x軸于D， 則∠BDO＝∠ACO＝90°， ∵頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝（x＜0）的圖象上， ∴S△BDO＝，S△AOC＝， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∴△BDO∽△OCA， ∴＝（）2＝＝5， ∴＝， ∴ta

17、n∠BAO＝＝， 故答案為：． 18. (2019 四川省自貢市)如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cos（α+β）＝　 ?。? 【答案】 【解析】給圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，連接DE，如圖所示． 在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC， ∴∠α＝30°． 同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α． 又∵∠AEC＝60°， ∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°． 設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則AE＝2a，DE＝2×sin60°?a＝a， ∴AD＝＝a， ∴cos（α+β）＝＝． 故答案為：． 19. (2019

18、浙江省杭州市)在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，則cosC＝　 　． 【答案】或 【解析】若∠B＝90°，設(shè)AB＝x，則AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝； 若∠A＝90°，設(shè)AB＝x，則AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝； 綜上所述，cosC的值為或． 故答案為或． 20. (2019 廣西百色市)四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，矩形按箭頭方向變形成平行四邊形，當(dāng)變形后圖形面積是原圖形面積的一半時(shí)，則　?。? 【答案】30° 【解析】， 平行四邊形的底邊AD邊上的高等于AD的一半， ． 故答案為：30° 三、解答題 21. (2019 天

19、津市)如圖，海面上一艘船由西向東航行，在A處測(cè)得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為31°，再向東繼續(xù)航行30m到達(dá)B處，測(cè)得該燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為45°，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算這座燈塔的高度CD（結(jié)果取整數(shù)）． 參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60． 【解析】在Rt△CAD中，tan∠CAD＝， 則AD＝≈CD， 在Rt△CBD中，∠CBD＝45°， ∴BD＝CD， ∵AD＝AB+BD， ∴CD＝CD+30， 解得，CD＝45， 答：這座燈塔的高度CD約為45m． 22. (2019 山東省威海市)如圖是把一個(gè)裝有貨物的長(zhǎng)方

20、體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨廂的示意圖．已知汽車貨廂高度BG＝2米，貨廂底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面與地面的夾角∠BAH＝α，木箱的長(zhǎng)（FC）為2米，高（EF）和寬都是1.6米．通過計(jì)算判斷：當(dāng)sinα＝，木箱底部頂點(diǎn)C與坡面底部點(diǎn)A重合時(shí)，木箱上部頂點(diǎn)E會(huì)不會(huì)觸碰到汽車貨廂頂部． 【解析】∵BH＝0.6米，sinα＝ ∴AB＝＝1米， ∴AH＝0.8米， ∵AF＝FC＝2米， ∴BF＝1米， 作FJ⊥BG于點(diǎn)J，作EK⊥FJ于點(diǎn)K， ∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH， ∴△EFK≌△FBJ≌△ABH， ∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH， ∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2， ∴木箱上部頂點(diǎn)E不會(huì)觸碰到汽車貨廂頂部． 22