（安徽專版）2018年秋九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 小專題（三）與圓的切線有關(guān)的性質(zhì)與判定習(xí)題 （新版）滬科版

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1、 小專題（三）　與圓的切線有關(guān)的性質(zhì)與判定 證明圓的切線常用的兩種方法：（1）已知直線與圓的交點(diǎn)，則該點(diǎn)即為切點(diǎn)，可連接切點(diǎn)與圓心，證明與已知直線垂直，簡(jiǎn)記為：連半徑，證垂直．（2）未知直線與圓的交點(diǎn)，即切點(diǎn)未知，則可以過(guò)圓心作與已知直線垂直的線段，證明垂線段等于圓的半徑，簡(jiǎn)記為：作垂直，證半徑． 1．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB＝4，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在⊙O上，連接CD，且CD＝OA，OC＝2.求證：CD是⊙O的切線． 證明：連接OD. 由題意，CD＝OD＝OA＝AB＝2，OC＝2， ∴OD2＋CD2＝22＋22＝（2）2＝OC2. ∴△OCD為直角三角

2、形，∠ODC＝90°. ∴OD⊥CD. 又∵OD是⊙O的半徑， ∴CD是⊙O的切線． 2．如圖，大圓⊙O的半徑為8 cm，弦AB＝8 cm，以點(diǎn)O為圓心，4 cm為半徑作小圓．求證：直線AB與小圓相切． 證明：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C. 在△AOB中，AO＝BO， ∴AC＝AB＝×8＝ 4（cm）． ∴OC＝＝＝4（cm）． 又∵小圓的半徑為4 cm， ∴OC的長(zhǎng)等于小圓的半徑． ∴直線AB與小圓相切． 3．如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，∠PBA＝∠C. （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）若O

3、P∥BC，且OP＝8，∠C＝60°，求⊙O的半徑． 解：（1）證明：連接OB. ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC＝90°， 即∠OBC＋∠OBA＝90°. ∵OC＝OB， ∴∠C＝∠OBC. ∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°， 即∠OBP＝90°. ∴OB⊥PB. ∵OB為⊙O的半徑， ∴PB是⊙O的切線． （2）∵∠C＝60°，OC＝OB， ∴△OBC為等邊三角形，即∠OBC＝60°. ∵OP∥BC，∴∠POB＝∠OBC＝60°. ∵∠OBP＝90°，∴∠P＝30°.∴OB＝OP＝4. 4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，B

4、D平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD交AB于點(diǎn)E，經(jīng)過(guò)B，D，E三點(diǎn)作⊙O. （1）求證：AC與⊙O相切于D點(diǎn)； （2）若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半徑． 解：（1）證明：連接OD. ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD. 又∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠DBC. ∴∠ODB＝∠DBC. ∴OD∥BC. 而∠C＝90°，∴OD⊥AD. ∵OD是⊙O的半徑， ∴AC與⊙O相切于D點(diǎn)． （2）設(shè)⊙O半徑為r. ∵OD⊥AD， ∴在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2. 又∵AD＝15，AE＝9， ∴（r＋9）2＝152＋r2.解得r＝8， 即⊙O的

5、半徑為8. 5．（2018·安順）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O為BC的中點(diǎn)，AC與半圓O相切于點(diǎn)D. （1）求證：AB是半圓O所在圓的切線； （2）若cos∠ABC＝，AB＝12，求半圓O所在圓的半徑． 解：（1）證明： 過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OD，OA. ∵AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)， ∴∠CAO＝∠BAO. ∵AC與半圓O相切于點(diǎn)D， ∴OD⊥AC. ∵OE⊥AB， ∴OD＝OE. ∴OE為半圓O的半徑． ∴AB是半圓O所在的圓的切線． （2）∵AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC. ∵cos∠ABC＝，AB＝12， ∴OB＝AB·

6、cos∠ABC＝12×＝8. 由勾股定理，得AO＝＝4. ∵S△AOB＝AB·OE＝OB·AO， ∴OE＝＝. ∴半圓O所在圓的半徑是. 6．如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA＝∠CBD. （1）求證：CD是⊙O的切線； （2）若BC＝6，tan∠CDA＝，求CD的長(zhǎng)． 解：（1）證明：連接OD. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠BDO. ∵∠CDA＝∠CBD， ∴∠CDA＝∠ODB. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°， 即∠ADO＋∠ODB＝90°. ∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°. ∴OD⊥C

7、D. ∵OD為⊙O的半徑， ∴CD是⊙O的切線． （2）∵∠CDA＝∠ABD，∴tan∠CDA＝tan∠ABD＝. 在Rt△ABD中， tan∠ABD＝＝， ∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD. ∴△CAD∽△CDB. ∴＝＝.∴CD＝×6＝4. 7．（2017·銅仁）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接BD，DE. （1）若＝，求sinC； （2）求證：DE是⊙O的切線． 解：（1）∵AB為直徑， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. ∴∠ABD＋∠BAD＝90°. ∵∠ABC＝90°， ∴∠C＋∠BAC＝90°. ∴∠C＝∠ABD. ∵＝， ∴sin∠ABD＝. ∴sinC＝. （2）證明：連接OD. ∵E為BC的中點(diǎn)，∠BDC＝90°， ∴DE＝BE＝CE. ∴∠EDB＝∠EBD. ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD. ∴∠EDO＝∠EDB＋∠ODB＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABC＝90°. ∴OD⊥DE. ∵OD是⊙O的半徑， ∴DE是⊙O的切線． 6