2020中考數(shù)學(xué)熱點專練11 三角形(含解析)

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1、熱點11 三角形 【命題趨勢】 首先說明——三角形是中考必考內(nèi)容,而且也是熱點內(nèi)容,無論是小題還是大題.因為三角形包括的內(nèi)容很多,例如三角形的基本知識(內(nèi)角和定理推論、三邊關(guān)系)、三角形的三線(角平分線、中線、高線)五心(內(nèi)心,外心,重心,垂心,旁心),特殊的三角形(等腰三角形,直角三角形,等腰直角三角形,等邊三角形)的性質(zhì)及判定方法,全等三角形的性質(zhì)與判定,相似三角形的性質(zhì)與判定,最后在此要特別強調(diào)的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函數(shù)的相關(guān)知識是重中之重,它是我們計算線段長度的最重要的工具,所以這是考查的重點中的重點。 【滿分技巧】 一、利用思維導(dǎo)圖的方式整理有關(guān)三角形的相關(guān)內(nèi)

2、容 有關(guān)三角形的內(nèi)容非常多,利用思維導(dǎo)圖的方式可以很好地整理和歸納本部分內(nèi)容,讓這部分知識在我們的大腦中能形成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò),這可以讓我們在做題時可以快速地在大腦中搜索這部分知識. 二、總結(jié)與三角形有關(guān)的基本模型 (1)有關(guān)三角形全等模型 (2)有關(guān)三角形相似的模型:A字型,反A字型,8字型,反8字型,母子型,一線三等角型,一線三直角型, . 【限時檢測】(建議用時:30分鐘) 一、選擇題 1.如圖,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=,AB=6cm.動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動,動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度

3、移動.若P,Q兩點分別從A,B兩點同時出發(fā),在運動過程中,△PBQ的最大面積是( ?。? A.18cm2 B.12cm2 C.9cm2 D.3cm2 【答案】C 【解析】∵tan∠C=,AB=6cm, ∴=, ∴BC=8, 由題意得:AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t, 設(shè)△PBQ的面積為S, 則S=×BP×BQ=×2t×(6﹣t), S=﹣t2+6t=﹣(t2﹣6t+9﹣9)=﹣(t﹣3)2+9, P:0≤t≤6,Q:0≤t≤4, ∴當t=3時,S有最大值為9, 即當t=3時,△PBQ的最大面積為9cm2; 故選C. 2.如圖,D,E分別

4、是△ABC的邊AB,AC上的中點,如果△ADE的周長是6,則△ABC的周長是( ) A.6 B.12 C.18 D.24 【答案】B 【解析】因為DE//BC,所以△ADE∽△ABC,k=,所以△ABC的周長為12 3.如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點E,則下列結(jié)論一定正確的是( ?。? A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE 【答案】C 【解析】 ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交

5、腰AC于點E, ∴BE=BC, ∴∠ACB=∠BEC, ∴∠BEC=∠ABC=∠ACB, ∴∠A=∠EBC, 故選C. 4.我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形,得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積為( ?。? A.20 B.24 C. D. 【答案】B 【解析】 設(shè)小正方形的邊長為x, ∵a=3,b=4, ∴AB=3+4=7, 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, 即(3+x)2+(x+4)2=72, 整

6、理得,x2+7x﹣12=0, 解得x=或x=(舍去), ∴該矩形的面積=(+3)(+4)=24, 故選:B. 5.如圖,在△ABC中,點D、E分別是AB、AC的中點,若△ADE的面積為4,則△ABC的面積為( ?。? A.8 B.12 C.14 D.16 【答案】D 【解析】 ∵在△ABC中,點D、E分別是AB、AC的中點, ∴DE∥BC,DE=BC, ∴△ADE∽△ABC, ∵=, ∴=, ∵△ADE的面積為4, ∴△ABC的面積為:16, 故選:D. 6.如圖,點B、F、C、E在一條直線上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定△ABC≌△

7、DEF的是( ?。? A.∠A=∠D B.AC=DF C.AB=ED D.BF=EC 【答案】A 【解析】 選項A、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF,故本選項正確; 選項B、添加AC=DF可用AAS進行判定,故本選項錯誤; 選項C、添加AB=DE可用AAS進行判定,故本選項錯誤; 選項D、添加BF=EC可得出BC=EF,然后可用ASA進行判定,故本選項錯誤. 故選:A. 7.已知M、N是線段AB上的兩點,AM=MN=2,NB=1,以點A為圓心,AN長為半徑畫弧;再以點B為圓心,BM長為半徑畫弧,兩弧交于點C,連接AC,BC,則△ABC一定是(  ) A.銳角三

8、角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【解析】如圖所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°, 故選:B. 8.下列長度的3根小木棒不能搭成三角形的是(  ) A.2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,3cm C.3cm,4cm,5cm D.4cm,5cm,6cm 【答案】B 【解析】 A、2+3>4,能構(gòu)成三角形,不合題意; B、1+2=3,不能構(gòu)成三角形,符合題意; C、4+3>5,能構(gòu)成三角形,不合題意; D、4+5>6,能構(gòu)成

9、三角形,不合題意. 故選:B. 9.已知n是正整數(shù),若一個三角形的3邊長分別是n+2、n+8、3n,則滿足條件的n的值有( ?。? A.4個 B.5個 C.6個 D.7個 【答案】D 【解析】①若n+2<n+8≤3n,則 , 解得,即4≤n<10, ∴正整數(shù)n有6個:4,5,6,7,8,9; ②若n+2<3n≤n+8,則 , 解得,即2<n≤4, ∴正整數(shù)n有2個:3和4; 綜上所述,滿足條件的n的值有7個, 故選:D. 10.如圖,在中,,以點為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交、于點,,再分別以點、為圓心,大于為半徑畫弧,兩弧交于點,作射線交邊于點,若,,則的面積是

10、   A.1 B. C.2 D. 【答案】C 【解析】 由作法得平分, 點到的距離等于的長,即點到的距離為1, 所以的面積. 故選:. 11.滿足下列條件時,△ABC不是直角三角形的為(  ) A.AB=,BC=4,AC=5 B.AB:BC:AC=3:4:5 C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.|cosA﹣|+(tanB﹣)2=0 【答案】C 【解析】A、∵,∴△ABC是直角三角形,錯誤; B、∵(3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2,∴△ABC是直角三角形,錯誤; C、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∴∠C=,∴△ABC不是直角三角形,

11、正確; D、∵|cosA﹣|+(tanB﹣)2=0,∴,∴∠A=60°,∠B=30°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,錯誤; 故選:C. 12.如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線交AB于點D,交BC于點E,若BC=6,AC=5,則△ACE的周長為( ) A.8 B.11 C.16 D.17 【答案】B 【解析】因為DE垂直平分AB,所以BE=AE, 所以BC=BE+CE=AE+CE=6 又AC=5 所以△ACE的周長為5+6=11 故選B 13.勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國古算

12、書《周髀算經(jīng)》中早有記載.如圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形,再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出(  ) A.直角三角形的面積 B.最大正方形的面積 C.較小兩個正方形重疊部分的面積 D.最大正方形與直角三角形的面積和 【答案】C 【解析】 設(shè)直角三角形的斜邊長為c,較長直角邊為b,較短直角邊為a, 由勾股定理得,c2=a2+b2, 陰影部分的面積=c2﹣b2﹣a(c﹣b)=a2﹣ac+ab=a(a+b﹣c), 較小兩個正方形重疊部分的長=a﹣(c﹣b),寬=a, 則較小兩個正方形重疊部分底

13、面積=a(a+b﹣c), ∴知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出較小兩個正方形重疊部分的面積, 故選:C. 14.如圖,在中,,,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可知的度數(shù)為   A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由作法得, , 平分,, , . 故選:. 15.如圖,點D在BC的延長線上,DE⊥AB于點E,交AC于點F.若∠A=35°,∠D=15°,則∠ACB的度數(shù)為( ?。? A.65° B.70° C.75° D.85° 【答案】B 【解析】∵DE⊥AB,∠A=35° ∴∠AFE=∠CFD=55°, ∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=7

14、0°. 故選:B. 二、填空題 16.腰長為5,高為4的等腰三角形的底邊長為 ?。? 【答案】6或或 【解析】①如圖1 當,, 則, 底邊長為6; ②如圖2. 當,時, 則, , , 此時底邊長為; ③如圖 當,時, 則, , , 此時底邊長為. 故答案為:6或或. 17.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,DE為△ABC的中位線,延長BC至F,使CF=BC,連接FE并延長交AB于點M.若BC=a,則△FMB的周長為  ?。? 【答案】 【解析】 在Rt△ABC中,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∴AB=2a,AC=a

15、. ∵DE是中位線, ∴CE=a. 在Rt△FEC中,利用勾股定理求出FE=a, ∴∠FEC=30°. ∴∠A=∠AEM=30°, ∴EM=AM. △FMB周長=BF+FE+EM+BM=BF+FE+AM+MB=BF+FE+AB=. 故答案為. 18.如圖,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D為AB的中點,DC⊥BC,則△ABC的面積是   . 【答案】8 【解析】∵DC⊥BC, ∴∠BCD=90°, ∵∠ACB=120°, ∴∠ACD=30°, 延長CD到H使DH=CD, ∵D為AB的中點, ∴AD=BD, 在△ADH與△BCD中,, ∴

16、△ADH≌△BCD(SAS), ∴AH=BC=4,∠H=∠BCD=90°, ∵∠ACH=30°, ∴CH=AH=4, ∴CD=2, ∴△ABC的面積=2S△BCD=2××4×2=8, 故答案為:8. 19.如圖,已知直線,含角的三角板的直角頂點在上,角的頂點在上,如果邊與的交點是的中點,那么  度. 【答案】120 【解析】是斜邊的中點, , , , , , . 故答案為120. 20.等腰三角形的兩邊長分別為6cm,13cm,其周長為   cm. 由題意知,應(yīng)分兩種情況: 【答案】32 【解析】(1)當腰長為6cm時,三角形三邊

17、長為6,6,13,6+6<13,不能構(gòu)成三角形; (2)當腰長為13cm時,三角形三邊長為6,13,13,周長=2×13+6=32cm. 故答案為32. 三、證明題 21.已知:如圖,△ABC是任意一個三角形,求證:∠A+∠B+∠C=180°. 【證明】:過點A作EF∥BC, ∵EF∥BC, ∴∠1=∠B,∠2=∠C, ∵∠1+∠2+∠BAC=180°, ∴∠BAC+∠B+∠C=180°, 即∠A+∠B+∠C=180°. 22.如圖,在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c. (1)若a=6,b=8,c=12,請直接寫出∠A與∠B的和與∠C的大小關(guān)系;

18、 (2)求證:△ABC的內(nèi)角和等于180°; (3)若=,求證:△ABC是直角三角形. 【解】:(1)∵在△ABC中,a=6,b=8,c=12, ∴∠A+∠B<∠C; (2)如圖,過點A作MN∥BC, ∵MN∥BC, ∴∠MAB=∠B,∠NAC=∠C(兩直線平行,同位角相等), ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°(平角的定義), ∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代換), 即:三角形三個內(nèi)角的和等于180°; (3)∵=, ∴ac=(a+b+c)(a﹣b+c)=[(a2+2ac+c2)﹣b2], ∴2ac=a2+2ac+c2﹣b2, ∴a2+c2=b2,

19、 ∴△ABC是直角三角形. 23.已知,在如圖所示的“風(fēng)箏”圖案中,,,.求證:. 【證明】: ,且, 24.如圖,等腰直角三角板如圖放置.直角頂點C在直線m上,分別過點A、B作AE⊥直線m于點E,BD⊥直線m于點D. ①求證:EC=BD; ②若設(shè)△AEC三邊分別為a、b、c,利用此圖證明勾股定理. ①【證明】:∵∠ACB=90°, ∴∠ACE+∠BCD=90°. ∵∠ACE+∠CAE=90°, ∴∠CAE=∠BCD. 在△AEC與△BCD中, ∴△CAE≌△BCD(AAS). ∴EC=BD; ②解:由①知:BD=CE=a CD=AE=b

20、∴S梯形AEDB=(a+b)(a+b) =a2+ab+b2. 又∵S梯形AEDB=S△AEC+S△BCD+S△ABC =ab+ab+c2 =ab+c2. ∴a2+ab+b2=ab+c2. 整理,得a2+b2=c2. 25.如圖,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,延長BA到點D,使AD=AB,點E,F(xiàn)分別是邊BC,AC的中點.求證:DF=BE. 【證明】:∵∠BAC=90°, ∴∠DAF=90°, ∵點E,F(xiàn)分別是邊BC,AC的中點, ∴AF=FC,BE=EC,F(xiàn)E是△ABC的中位線, ∴FE=AB,F(xiàn)E∥AB, ∴∠EFC=∠BAC=90°, ∴∠DAF=∠EF

21、C, ∵AD=AB, ∴AD=FE, 在△ADF和△FEC中,, ∴△ADF≌△FEC(SAS), ∴DF=EC, ∴DF=BE. 四、作圖題 26.如圖,已知等腰頂角. (1)在上作一點,使(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不必寫作法和證明,最后用黑色墨水筆加墨); (2)求證:是等腰三角形. (1)解:如圖,點為所作; (2)證明:, , , , , , 是等腰三角形. 五、應(yīng)用題 27.如圖,小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處,測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37°,旗桿底部B點的俯角為45°,升旗時,國旗上端懸掛在距地面2.25米處,若國旗隨國歌

22、聲冉冉升起,并在國歌播放45秒結(jié)束時到達旗桿頂端,則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75) 解:在Rt△BCD中,BD=9米,∠BCD=45°,則BD=CD=9米. 在Rt△ACD中,CD=9米,∠ACD=37°,則AD=CD?tan37°≈9×0.75=6.75(米). 所以,AB=AD+BD=15.75米, 整個過程中旗子上升高度是:15.75﹣2.25=13.5(米), 因為耗時45s, 所以上升速度v==0.3(米/秒). 答:國旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升. 28.在△ABC中,AB=

23、15,BC=14,AC=13,求△ABC的面積. 根據(jù)勾股定理,利用AD作為“橋梁”,建立方程模型求出x 作AD⊥BC于D,設(shè)BD = x,用含x的代數(shù)式表示CD 利用勾股定理求出AD的長,再計算三角形面積 某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流,給出了下面的解題思路,請你按照他們的解題思路完成解答過程. 【解】:如圖,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13, 設(shè),∴. 由勾股定理得:, , ∴,

24、解之得:. ∴. ∴. 六.探究題 29.如圖①,△ABC與△CDE是等腰直角三角形,直角邊AC、CD在同一條直線上,點M、N分別是斜邊AB、DE的中點,點P為AD的中點,連接AE、BD. (1)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,請直接寫出結(jié)論; (2)現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),得到圖②,AE與MP、BD分別交于點G、H.請判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由; (3)若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如圖③,寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.  【解析】(1)PM

25、=PN,PM⊥PN,理由如下: ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形, ∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°. 在△ACE和△BCD中,, ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD,∠EAC=∠CBD, ∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點,點P為AD的中點, ∴PM=BD,PN=AE, ∴PM=PM, ∵∠NPD=∠EAC,∠MPN=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°, ∴∠MPA+∠NPC=90°, ∴∠MPN=90°, 即PM⊥PN; (2)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形, ∴AC=BC,EC=CD, ∠ACB=∠ECD=90°

26、. ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE. ∴∠ACE=∠BCD. ∴△ACE≌△BCD. ∴AE=BD,∠CAE=∠CBD. 又∵∠AOC=∠BOE, ∠CAE=∠CBD, ∴∠BHO=∠ACO=90°. ∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點, ∴PM=BD,PM∥BD; PN=AE,PN∥AE. ∴PM=PN. ∴∠MGE+∠BHA=180°. ∴∠MGE=90°. ∴∠MPN=90°. ∴PM⊥PN. (3)PM=kPN ∵△ACB和△ECD是

27、直角三角形, ∴∠ACB=∠ECD=90°. ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE. ∴∠ACE=∠BCD. ∵BC=kAC,CD=kCE,∴=k. ∴△BCD∽△ACE. ∴BD=kAE. ∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點, ∴PM=BD,PN=AE. ∴PM=kPN. 30.已知:如圖,∠ABC,射線BC上一點D. 求作:等腰△PBD,使線段BD為等腰△PBD的底邊,點P在∠ABC內(nèi)部,且點P到∠ABC兩邊的距離相等. 【解析】:∵點P在∠ABC的平分線上, ∴點P到∠ABC兩邊的距離相等(角平分線上的點到角的兩邊距離相等), ∵點P在線段BD的垂直平分線上, ∴PB=PD(線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等), 如圖所示: 25

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