2020年中考數學一輪復習 基礎考點及題型 專題26 視圖與投影（含解析）

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1、專題26 視圖與投影 考點總結 【思維導圖】 【知識要點】 知識點一 投影 一般地，用光線照射物體，在某個平面 (地面、墻壁等) 上得到的影子叫做物體的投影。照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。 n 平行投影 概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影。 特征： 1.等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長. 2.等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度. 平行投影變化規(guī)律: 1.在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也

2、在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長. 2.在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.　即： . 利用上面的關系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等. 注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長. n 中心投影 概念：由同一點 (點光源) 發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。 特征： 1.等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長. 　　　　　　　　　　　　　 2等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，

3、影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短. 考查題型（求點光源的位置） 點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據其中兩個點，就可以求出第三個點的位置. 中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系： n 正投影 正投影的定義：如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影. 1.線段的正投影分為三種情況.如圖所

4、示. 　　　　　　　　　　　　　 ① 線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；、 ② 線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長； ③ 線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點. 2.平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示. 　　　　　　　　　　　　 ①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等； ②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似. ③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直

5、線或直線的一部分. 3.立體圖形的正投影. 　　物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等. 【典型例題】 1．（2019·四川中考模擬）下列四幅圖形中,表示兩棵樹在同一時刻陽光下的影子的圖形可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根據平行投影特點：在同一時刻，不同物體的影子同向，且不同物體的物高和影長成比例，依次分析各選項即得結果． A、影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子，故本選項正確； B、影子的方向不相同，故本選項錯誤； C、影子的方向不相同，故本選項錯誤

6、； D、相同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，故本選項錯誤． 故選A． 2．（2019·廣西中考模擬）如圖，晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到B處這一過程中，他在地上的影子（　?。? A．逐漸變短 B．先變短后變長 C．先變長后變短 D．逐漸變長 【答案】B 【詳解】 晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到B處這一過程中，他在地上的影子先變短，再變長． 故選B． 3．（2019·北京清華附中中考模擬）如果在同一時刻的陽光下，小莉的影子比小玉的影子長，那么在同一路燈下（ ） A．小莉的影子比小玉的影子長 B．小莉的影子比小玉的影子

7、短 C．小莉的影子與小玉的影子一樣長 D．無法判斷誰的影子長 【答案】D 【解析】 由一點所發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影,而中心投影的影子長短與距離光源的距離有關,由題意可得,小莉和小玉在同一路燈下由于位置不同,影長也不相同,故無法判斷誰的影子長,故選D. 4．（2019·河北中考模擬）一個長方形的正投影不可能是（ ） A．正方形 B．矩形 C．線段 D．點 【答案】D 【詳解】 解：在同一時刻，平行物體的投影仍舊平行．得到的應是平行四邊形或特殊的平行四邊形．故長方形的正投影不可能是點，故選：D． 5．（2019·湖北中考模擬）如圖，左面水杯的杯口與投影面平行，投

8、影線的方向如箭頭所示，它的正投影圖是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：根據題意：水杯的杯口與投影面平行，即與光線垂直，則它的正投影圖應是D．故選D． 6．（2018·廣東中考模擬）下面四幅圖是在同一天同一地點不同時刻太陽照射同一根旗桿的影像圖，其中表示太陽剛升起時的影像圖是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：太陽東升西落，在不同的時刻， 同一物體的影子的方向和大小不同，太陽從東方剛升起時，影子應在西方． 故選C． 考查題型一 中心投影的應用方法 1．（2018·河北中考模擬）如圖，夜晚路燈下有一排同樣高

9、的旗桿，離路燈越近，旗桿的影子( ) A．越長 B．越短 C．一樣長 D．隨時間變化而變化 【答案】B 【解析】 由圖易得AB＜CD，那么離路燈越近，它的影子越短， 故選B． 2．（2020·銀川外國語實驗學校初三期末）如圖，身高1.6米的小明站在距路燈底部O點10米的點A處，他的身高（線段AB）在路燈下的影子為線段AM，已知路燈燈桿OQ垂直于路面． （1）在OQ上畫出表示路燈燈泡位置的點P； （2）小明沿AO方向前進到點C，請畫出此時表示小明影子的線段CN； （3）若AM=2.5米，求路燈燈泡P到地面的距離． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8

10、米 【解析】 如圖： 如圖： ， ∽， ，即， 解得． 即路燈燈泡P到地面的距離是8米．?? 3．（2019·泰興市洋思中學初三期中）如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米． （1）求路燈A的高度； （2）當王華再向前走2米，到達F處時，他的影長是多少？ 【答案】（1）路燈A有6米高（2）王華的影子長米． 【解析】 試題分析：22. 解：（1）由題可知AB//MC//NE， ∴，而MC=NE ∴ ∵CD=1米，EF=2米，BF=BD+4，∴BD

11、=4米，∴AB==6米 所以路燈A有6米高 （2） 依題意，設影長為x，則解得米 答：王華的影子長米． 考查題型二 利用平行投影確定影子的長度 1．（2019·吉林中考模擬）如圖，身高1.6米的小麗在陽光下的影長為2米，在同一時刻，一棵大樹的影長為8米，則這棵樹的高度為_____米． 【答案】6.4 【詳解】 解：由題可知：, 解得：樹高=6.4米. 2．（2018·四川中考模擬）如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB＝5米，某一時刻AB在陽光下的投影BC＝3米，在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6米，則DE的長為_____． 【答案】

12、10cm 【詳解】 解：如圖， 在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m， ∵△ABC∽△DEF，AB=5m，BC=3m，EF=6m ∴ = ∴ = ∴DE=10（m） 故答案為10m． 3．（2015·甘肅中考真題）如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD，它們都與地面垂直，為了測得電線桿的高度，一個小組的同學進行了如下測量：某一時刻，在太陽光照射下，旗桿落在圍墻上的影子EF的長度為2米，落在地面上的影子BF的長為10米，而電線桿落在圍墻上的影子GH的長度為3米，落在地面上的影子DH的長為5米，依據

13、這些數據，該小組的同學計算出了電線桿的高度． (1)該小組的同學在這里利用的是　 　投影的有關知識進行計算的； (2)試計算出電線桿的高度，并寫出計算的過程． 【答案】(1) 平行；(2)電線桿的高度為7米． 【詳解】 （1）平行； （2）連接AM、CG，過點E作EN⊥AB于點N，過點G作GM⊥CD于點M， 則BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5 所以AN=10-2=8， 由平行投影可知：即 解得CD=7 所以電線桿的高度為7m． 考查題型三 利用相似問題解決投影問題 1．（2019·長沙市長郡雙語實驗中學中考模擬）如圖，路燈距離地

14、面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點O）20米的A處，則小明的影子AM長為　 　米． 【答案】5。 【解析】 根據題意，易得△MBA∽△MCO， 根據相似三角形的性質可知，即，解得AM=5。 ∴小明的影長為5米。 2．（2015·河南中考模擬）墻壁CD上D處有一盞燈(如圖)，小明站在A處測得他的影長與身長相等，都為1.6m，他向墻壁走1m到B處時發(fā)現(xiàn)影子剛好落在A點，則燈泡與地面的距離CD＝____． 【答案】m 【詳解】 如圖： 根據題意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m， ∵BG∥AF∥CD， ∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，

15、 ∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD， 設BC=xm，CD=ym，則CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m， ∴, 解得：x=, y=, ∴CD=m. ∴燈泡與地面的距離為米， 故答案為m. 3．（2018·貴州中考模擬）如圖是圓桌正上方的燈泡O發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖．已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面1m，若燈泡O距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為_____m2． 【答案】0.81π 【解析】 如圖設C，D分別是桌面和其地面影子的圓心，CB∥AD， ∴△OBC∽△OAD ∴而OD=3，CD=1， ∴OC=

16、OD-CD=3-1=2，BC=×1.2=0.6， ∴ ∴AD=0.9 ， S=π×0.92=0.81πm2，這樣地面上陰影部分的面積為0.81πm2． 知識點二 三視圖 三視圖的概念： 視圖概念：從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖. 正面、水平面和側面概念：用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側面. 三視圖概念：一個物體在三個投影面內同時進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左

17、視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖. 三視圖之間的關系 1.位置關系：三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 2.大小關系：三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示. 畫幾何體三視圖的基本方法： 畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下： 1.確定主視圖的位置，畫出主視圖； 2.在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”； 3.在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平

18、齊”，與俯視圖“寬相等”. 注意：幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應畫成虛線. 由三視圖想象幾何體的形狀 　　由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側面，然后綜合起來考慮整體圖形. 利用三視圖計算幾何體面積 利用三視圖先想象出實物形狀，再進一步畫出展開圖，然后計算面積。 考查題型四 確定幾何體的三視圖 1．（2019·浙江中考模擬）如圖所示的工件的主視圖是( ) A． B． C． D． 【答案】B。 【解析】從物體正面看，看到的是一個橫放的矩形，且一條斜線將其分成一個直角梯形和一個直

19、角三角形。故選B。 2．（2019·天津中考模擬）如圖是一個空心圓柱體，其俯視圖是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 該空心圓柱體的俯視圖是： 故選D． 3．（2017·陜西中考模擬）如圖是一個零件的示意圖，它的俯視圖是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在俯視圖中． 解：由三視圖可得， 故選C． 4．（2019·遼寧中考模擬）如圖，一個圓柱體在正方體上沿虛線從左向右平移，平移過程中不變的是（　　） A．主視圖 B．左視圖 C．俯視圖 D．主視

20、圖和俯視圖 【答案】B 【解析】 主視圖是從正面觀察得到的圖形，左視圖是從左側面觀察得到的圖形，俯視圖是從上面觀察得到的圖形，結合圖形即可作出判斷． 解：根據圖形，可得：平移過程中不變的是的左視圖，變化的是主視圖和俯視圖． 故選B． 5．（2019·福建中考真題）如圖是由一個長方體和一個球組成的幾何體，它的主視圖是( ). A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】 解：幾何體的主視圖為： ， 故選：C． 考查題型五 由三視圖還原幾何體的方法 1．（2017·湖北中考模擬）主視圖、左視圖、俯視圖分別為下列三個圖形的物體是（ ） A． B．

21、 C． D． 【答案】A 【解析】解析：通過給出的主視圖，只有A選項符合條件. 故選A. 2．（2019·湖南中考模擬）一個幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則這個幾何體可能是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 詳解：A選項的主視圖為矩形和三角形的結合，俯視圖為圓，故錯誤；B、主視圖和俯視圖都是正方形，故錯誤；C、主視圖為兩個矩形，俯視圖為三角形，故正確；D、主視圖和俯視圖都是三角形，故錯誤；則本題選C． 3．（2014·北京中考模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體是（ ） A．圓錐 B．圓柱 C．球 D．三棱柱 【答案】A

22、【解析】 由于俯視圖為圓形可得為球、圓柱、圓錐．主視圖和左視圖為三角形可得此幾何體為圓錐．故選A． 4．（2018·天津市扶輪中學中考模擬）如圖，是由幾個相同的小正方體組成的一個幾何體的三視圖，這個幾何體可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【詳解】觀察俯視圖可知幾何體的底面是由2×2=4個小正方體構成，選項B不符合，觀察主視圖可知幾何體有兩列，左邊一列只有一層，右邊一列有三層，選項D不符合，觀察左視圖，可知幾何體有兩列，左邊一列有3層，右邊一列有2層，選項C不符合，故只有選項A符合，故選A. 考察題型六 由三視圖確定小正方體的個數的方法 1．（2016

23、·黑龍江中考模擬）如圖是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】 試題分析：由主視圖與左視圖可以在俯視圖上標注數字為： 主視圖有三列，每列的方塊數分別是：2，1，1； 左視圖有兩列，每列的方塊數分別是：1，2； 俯視圖有三列，每列的方塊數分別是：2，1，2； 因此總個數為1+2+1+1+1=6個， 故選B． 2．（2017·湖北中考模擬）如圖是由幾個相同的小立方塊搭成的幾何體的三視圖，則這幾個幾何體的小立方塊的個數是（ ） A．4個 B．5個 C．

24、6個 D．7個 【答案】B 【詳解】 由題意可得該幾何體共有兩行三列，底層應該有3＋1＝4個小正方體，第二層應該有1個小正方體，共有5個小正方體. 故選B. 3．（2013·黑龍江中考真題）由一些大小相同的小正方形搭成的幾何體的左視圖和俯視圖，如圖所示，則搭成該幾何體的小正方形的個數最少是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】 由題中所給出的左視圖知物體共兩層，每一層都是兩個小正方體；從俯視圖可以可以看出最底層的個數 所以圖中的小正方體最少2+4=6。故選C。 5．（2018·甘肅中考模擬）一個幾何體是由若干個棱長為3cm

25、的小正方體搭成的，從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示： （1）在“從上面看”的圖中標出各個位置上小正方體的個數； （2）求該幾何體的體積． 【答案】（1）見解析；（2）270cm3 【詳解】 （1）如圖所示： （2）該幾何體的體積為33×（2+3+2+1+1+1）=27×10=270（cm3）． 考查題型七 根據三視圖求幾何體的體積或表面積的方法 1．（2019·山東中考模擬）如圖，是某幾何體的三視圖及相關數據，則該幾何體的側面積是（　?。? A．10π B．15π C．20π D．30π 【答案】B 【解析】 由三視圖可知此幾何體為圓錐，∴圓

26、錐的底面半徑為3，母線長為5， ∵圓錐的底面周長等于圓錐的側面展開扇形的弧長， ∴圓錐的底面周長=圓錐的側面展開扇形的弧長=2πr=2π×3=6π， ∴圓錐的側面積=lr=×6π×5=15π，故選B 2．（2019·安徽中考模擬）如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所示數據求得這個幾何體的側面積是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】 解：先由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是2÷2=1，高是3． 所以該幾何體的側面積為2π×1×3=6π． 故選：B． 3．（2019·黑龍江中考真題）—個“糧倉”的三視圖如圖所示（單位：m），則它的體積是（ ）

27、 A．21πm3 B．30πm3 C．45πm3 D．63πm3 【答案】C 【詳解】 解：觀察發(fā)現(xiàn)該幾何體為圓錐和圓柱的結合體， 其體積為：32π×4+×32π×3=45πm3， 故選：C． 4．（2014·河北中考模擬）某工廠要加工一批茶葉罐，設計者給出了茶葉罐的三視圖，如圖，請你按照三視圖確定制作每個密封罐所需鋼板的面積．（單位：毫米） 【答案】． 【解析】 由三視圖可知茶葉罐的形狀為圓柱體，并且茶葉罐的底面直徑2R為100毫米，高H為150毫米，∵每個密封罐所需鋼板的面積即為該圓柱體的表面積， ∴S表面積===(毫米2)，故制作每個密封罐所需鋼板的面積為毫

28、米2． 5．（2019·黑龍江中考模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示. (1)寫出這個幾何體的名稱. (2)求這個幾何體側面展開圖的周長和面積. 【答案】(1) 圓錐；（2）20+12π，60π. 【詳解】 (1)由三視圖可知，主視圖以及左視圖都是三角形，俯視圖為圓形， ∴該幾何體為圓錐 (2)由三視圖數據知圓錐的底面圓的直徑為12，半徑為6，高為8， 則母線長為. 所以側面展開圖的周長為2π·6+20=20+12π 面積為(2π×6)×10=60π 6．（2019·湖北中考模擬）如圖所示的是某個幾何體從三種不同方向所看到的圖形． （1）說出這個幾何體的名稱； （2）根據圖中有關數據，求這個幾何體的表面積． 【答案】（1）三棱柱；（2）192 【詳解】 解：（1）根據三視圖可得：這個立體圖形是三棱柱； （2）表面積為：×3×4×2+15×3+15×4+15×5＝192． 21