空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 PPT課件

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1、如圖，設(shè)如圖，設(shè)i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，且有公共是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，且有公共起點(diǎn)起點(diǎn)O。對(duì)于空間任意一個(gè)向量。對(duì)于空間任意一個(gè)向量p= ,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q為點(diǎn)為點(diǎn)P在在i,j所確定的平面上的所確定的平面上的正投影正投影，由平面基本定理可知，由平面基本定理可知，在在 ,k所確定的平面上，存在實(shí)數(shù)所確定的平面上，存在實(shí)數(shù)z，使得，使得而在而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前數(shù)對(duì)可知，存在有序之前數(shù)對(duì)(x,y)，使得使得. xi+yj從而從而 zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO一、空間向量基本定理：空間向量基本定理：op

2、 OQOPOQzk OQ OPOQ 第1頁/共20頁xyzkijQPO如果如果i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，對(duì)空是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，對(duì)空間任一個(gè)向量間任一個(gè)向量p，存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組使得，存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組使得p=xi+yj+zk.我們稱我們稱xi,yj,zk為向量為向量p在在i,j,k上的分向量。上的分向量。第2頁/共20頁都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c 叫做空間的一個(gè)叫做空間的一個(gè)基底基底,abc第3頁/共20頁c a b p 單位正交基底：單位正交基底：如果空間的一個(gè)基如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為為1，則這個(gè)基底叫做

3、，則這個(gè)基底叫做單位正交基底單位正交基底,常用常用 表示表示 正交基底：正交基底：空間的一個(gè)基底的空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直。三個(gè)基向量互相垂直。 , , i j k 二、空間直角坐標(biāo)系第4頁/共20頁二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 在空間選定一點(diǎn)在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交和一個(gè)單位正交基底基底 ,以點(diǎn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別為原點(diǎn)，分別 以以 的正方向建立三條數(shù)軸：的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸軸,這樣就建立了一個(gè)空間這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系Oxyz.kji, kji, 第5頁/共20頁三、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示三、空間向量的正交分解及其坐

4、標(biāo)表示xyzOijkP記作記作 =(x,y,z)p由空間向量基本定理，對(duì)于空由空間向量基本定理，對(duì)于空間任一間任一向量向量 存在唯一的有序存在唯一的有序?qū)崝?shù)組實(shí)數(shù)組(x,y, z)使使 pkzj yi xpPP第6頁/共20頁 1已知a，b，c是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是()A.2a，ab，a2bB2b，ba，b2aC .a,2b，bc Dc，ac，ac第7頁/共20頁CDBCBADA的的坐坐標(biāo)標(biāo)。，試試寫寫出出圖圖中中各各點(diǎn)點(diǎn)所所示示的的空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系的的中中點(diǎn)點(diǎn)，建建立立如如圖圖和和分分別別是是、的的立立方方體體是是棱棱長長為為已已知知DCBBFE2DCB

5、AABCD EFxyz練習(xí) 2第8頁/共20頁BANCOMQP例例2、如圖，、如圖，M，N分別是四面體分別是四面體OABC的邊的邊OA，BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，P，Q是是MN的三等分點(diǎn)。用向量的三等分點(diǎn)。用向量 表示表示 和和 。,OA OB OC OP OQ 12:23121()232111633OPOMMPOAMNOAONOAOAOBOC 解解112311111()()23236111366O QO MM QO AM NO AO NO AO AO BO CO AO BO C 第9頁/共20頁3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示第10頁/共20頁123123(,),( ,)aa a abb b b設(shè)

6、則;ab;ab;a; a b/;ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()abab ab abR1 1223300 a ba ba ba b一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算第11頁/共20頁2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1. 1.距離公式距離公式（1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對(duì)角線的長度。的對(duì)角線的長度。二、距離與夾角第12頁/共20頁cos,| | a ba bab1

7、 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2. 2.兩個(gè)向量夾角公式兩個(gè)向量夾角公式注意：注意：（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，同向；時(shí)，同向；（2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，反向；時(shí)，反向；（3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，。時(shí)，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當(dāng)思考：當(dāng) 及及 時(shí)，夾角在什么范圍內(nèi)？時(shí)，夾角在什么范圍內(nèi)？1cos,0 a b,10cos a b第13頁/共20頁| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空間直角坐標(biāo)系中，已知、在空間直

8、角坐標(biāo)系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（3）空間兩點(diǎn)間的距離公式第14頁/共20頁4.設(shè)則 ， AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ),(),(222111zyxBzyxAABAB第15頁/共20頁例1.設(shè) (1,5，1)， (2,3,5)(1)若( )( 3 )，求 ；(2)若( )( 3 )，求 .abakbabkkababk第16頁/共20頁第17頁/共20頁練習(xí)練習(xí)1: 1: 已知已知 垂直于正方形垂直于正方形 所在的平面所在的平面, , 分分別是別是 的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,并且并且 , ,求證求證: :PAABCD,M N,AB PCPA ADMNPDC平面證明證明:

9、分別以分別以 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系 則則 , ,i j k AxyzADBPCMNxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且平面可設(shè)(0,0,0), (0,1,0),( 1,1,0),( 1,0,0),ABCD(0,0,1)P11 1 1(0,0),(, )22 2 2MN 11(,0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11(,0,) ( 1,0, 1)022MN PDMNPD 11(,0,) (0,1,0)022MN DCMNDC PDDCDMNPDC又平面第18頁/共20頁F1E1C1B1A1D1DAB

10、CyzxO解：設(shè)正方體的棱長為解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則立空間直角坐標(biāo)系，則Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例2如圖如圖, 在正方體中，在正方體中，求與所成的角的余弦值，求與所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 第19頁/共20頁感謝您的觀看！第20頁/共20頁