《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何 9.5 空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算練習(xí) 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何 9.5 空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算練習(xí) 理 北師大版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
9.5 空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算
核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析
考點(diǎn)一 空間向量的線性運(yùn)算?
1.在空間四邊形ABCD中,假設(shè)=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),點(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),那么的坐標(biāo)為 ( )
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)
2.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,0,2),B(1,-3,1),點(diǎn)M在y軸上,且M到A與到B的距離相等,那么M的坐標(biāo)是________________.?
3.如下列圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點(diǎn).用,,表示,那
2、么=________________.?
4.G為正四面體ABCD外接球的球心,那么=x+y+z,x,y,z分別是
( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【解析】1.選B.因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),
所以=-,=(+),
=(+).
所以=(+)-(+)=(+)
=[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]
=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).
2.設(shè)M(0,y,0),那么=(1,-y,2),=(1,-3-y,1),由題意知||=||,
所以12+y2+22=12+(-3-y)2+12,解得y=-
3、1,故M(0,-1,0).
答案:(0,-1,0)
3.因?yàn)?=(+),所以=+=(+)+=++.
答案:++
4.選A.取BC的中點(diǎn)M,△BCD的中心為O,那么=,=+,=+,
=++,即x=y=z=.
用向量表示某一向量的方法
(1)用向量來(lái)表示未知向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的假設(shè)干向量之和,等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,我們可把這個(gè)法那么稱為向量加法的多邊形法那么.
(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法那么,向量加法的平行四邊形法那么在空間中仍然成立.
考點(diǎn)二 共線
4、向量定理、共面向量定理及其應(yīng)用?
【典例】1.a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),假設(shè)向量a,b,c共面,那么實(shí)數(shù)λ等于 ( )
A. B. C. D.
2.如圖,M,N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,且G為AM上一點(diǎn),且GM∶GA=1∶3.
求證:B,G,N三點(diǎn)共線.
【解題導(dǎo)思】
序號(hào)
聯(lián)想解題
1
因?yàn)閍,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程組可求參數(shù)值.
2
要證B,G,N三點(diǎn)共線,只要證=λ即可,想到選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄糠謩e表示和.
【解析】1.選D.因?yàn)橄蛄縜,b,c共面,所以由共面
5、向量根本定理,存在惟一有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得xa+yb=c,
所以,解方程組得λ=.
2.設(shè)=a,=b,=c,
那么=+=+ =-a+(a+b+c)=-a +b +c,
=+=+(+)=-a+b+c=.所以∥,即B,G,N三點(diǎn)共線.
證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較
三點(diǎn)(P,A,B)共線
空間四點(diǎn)(M,P,A,B)共面
=λ且同過點(diǎn)P
=x+y
對(duì)空間任一點(diǎn)O,=+t
對(duì)空間任一點(diǎn)O,=+
x+y
1.e1,e2是平面內(nèi)不共線兩向量,=e1-ke2,=2e1+e2,=3e1-e2,假設(shè)A,B,D三點(diǎn)共線,那么k的值是 ( )
A.2 B.-3
6、 C.-2 D.3
【解析】選A.=-=e1-2e2,又A,B,D三點(diǎn)共線,設(shè)=λ,所以,所以k=2.
2.如圖,平行六面體ABCD-A'B'C'D',E,F,G,H分別是棱A'D',D'C',C'C和AB的中點(diǎn),求證E,F,G,H四點(diǎn)共面.
【證明】取=a,=b,=c,
那么=++
=+2+
=b-a+2a+( ++ )
=b+a+(b-a-c-a)=b-c,
所以與b,c共面.即E,F,G,H四點(diǎn)共面.
考點(diǎn)三 空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用?
命
題
精
解
讀
1.考什么:(1)考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算、利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)度、夾角大小以及證明垂直問
7、題.(2)考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.怎么考:常見命題方向:證明線線垂直,求空間角.
3.新趨勢(shì):以柱、錐、臺(tái)體為載體,利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算解決求值問題.
學(xué)
霸
好
方
法
1.(1)利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑 :一是根據(jù)數(shù)量積的定義,利用模與夾角直接計(jì)算;二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.
(2)利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問題.
①a≠0,b≠0,a⊥b?a·b=0;
②|a|=;
③cos=.
2.交匯問題:與立體幾何知識(shí)聯(lián)系,考查證明垂直,求空間角等問題.
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
【典例】1.在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E是BC的
8、中點(diǎn),那么·=
( )
A.0 B. C.- D.-
2.向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且ka+b與2a-b互相垂直,那么k=___________.【解析】1.選D.·=·=
==-.
2.由題意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+
2k-2×2=5k-7=0,解得k=.
答案:
數(shù)量積的應(yīng)用
【典例】空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以,為邊的平行四邊形的面積.
(2)假設(shè)|a|=,且a分別與,垂直,求向量a的坐標(biāo).
【
9、解析】(1)由題意可得:=(-2,-1,3),
=(1,-3,2),所以cos<,>=
===,所以sin<,>=,
所以以,為邊的平行四邊形的面積為
S=2×||·||·sin<,>=14×=7.
(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得
解得或
所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(-1,-1,-1).
1.向量a=(1,0,-1),那么以下向量中與a成60°夾角的是 ( )
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
【解析】選B.經(jīng)檢驗(yàn),選項(xiàng)B中向量(1,-1,0)與向量a=(1,0,-1)的夾角的余
10、弦值為,即它們的夾角為60°.
2.如下列圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面為平行四邊形,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為60°.
(1)求AC1的長(zhǎng).
(2)求證:AC1⊥BD.
(3)求BD1與AC夾角的余弦值.
【解析】(1)記=a,=b,=c,
那么|a|=|b|=|c|=1,===60°,
所以a·b=b·c=c·a=.
||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×=6,
所以||=,即AC1的長(zhǎng)為.
(2)因?yàn)?a+b+c,=b-a,
所以·=(a+b+
11、c)·(b-a)
=a·b+b2+b·c-a2-a·b-a·c
=b·c-a·c
=|b|·|c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0.
所以⊥,
所以AC1⊥BD.
(3)=b+c-a,=a+b,
所以||=,||=,
·=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1.
所以cos <,>==.
所以AC與BD1夾角的余弦值為.
如圖,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,那么·= ____________.?
【解析】由題干圖可得:
·=(+)·=·+·=0+·=(+)·=·||2=.
答案:
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2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何 9.5 空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算練習(xí) 理 北師大版
