2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 數(shù)列 8.4 數(shù)列的求和練習(xí) 理 北師大版

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1、 8.4 數(shù)列的求和 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　分組轉(zhuǎn)化法或并項(xiàng)法求和? 1.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(2n-1),那么該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為 (　　) A.-200 B.-100 C.200 D.100 2.數(shù)列{1+2n-1}的前n項(xiàng)和為 (　　) A.2n B.2n-1+1 C.n-1+2n D.n+2+2n 3.函數(shù)f(n)=且an=f(n)+f(n+1),那么a1+a2+a3+…+a100等于 (　　) A.0 B.100 C.-100 D.10 200 4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2sin,那

2、么a1+a2+a3+…+a2 021等于 (　　) A.- B. C. D.- 5.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足-6=an+1an.假設(shè)a1=2,那么數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=________.? 【解析】1.選D.由題意知S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100. 2.選C.由題意得an=1+2n-1, 所以Sn=n+=n+2n-1. 3.選B.由題意,得a1+a2+a3+…+a100 =12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012 =-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(

3、99+100)+(101+100) =-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101) =-50×101+50×103=100. 4.選A.an=n2sin, 所以a1+a2+a3+…+a2 021 =-12+22-32+42-…-2 0192+2 0202-2 0212 =(22-12)+(42-32)+…+(2 0202-2 0192)-2 0212 =(1+2+3+4+…+2 019+2 020)-2 0212 =-2 0212=. 5.因?yàn)?6=an+1an, 因此(an+1-3an)(an+1+2an)=0. 又因?yàn)閍n>0,所以an+1=3an.

4、 又a1=2,所以{an}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列. 所以Sn==3n-1. 答案:3n-1 將T3變?yōu)?在數(shù)列{an}中a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,那么S60的值為 (　　) A.990 B.1 000 C.1 100 D.99 【解析】選A.n為奇數(shù)時(shí),an+2-an=0,an=2;n為偶數(shù)時(shí),an+2-an=2,an=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990. 1.分組法求和的常見類型 (1)假設(shè)an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用分組法求{an}的前n項(xiàng)和. (2)通項(xiàng)

5、公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比或等差數(shù)列,可采用分組法求和. 2.并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,那么稱之為并項(xiàng)求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解. 例如Sn=1002-992+982-972+…+22-12 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 【秒殺絕招】 排除法解T2,把n=1代入排除D選項(xiàng),把n=2代入排除A、B選項(xiàng). 考點(diǎn)二　錯(cuò)位相減法? 【典例】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. (

6、2)令cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 【解題導(dǎo)思】 序號(hào) 題目拆解 (1) ①{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n 知Sn求an ②{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1 求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式 (2) ①cn= 把a(bǔ)n,bn代入cn=中,得cn的表達(dá)式 ②求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn 求得cn=3(n+1)·2n+1,根據(jù)Tn的特征利用乘公比錯(cuò)位相減法求和 【解析】(1)由題意知,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=6n+5,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=11,滿足上式,所以an=6n+5.設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由 即 可解得所以bn=3n+1.

7、(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1. 又Tn=c1+c2+…+cn, 得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1], 2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2], 兩式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+-(n+1)×] =3× =-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2. 【答題模板微課】 本例題(2)的模板化過程: 建模板: “由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.〞…………寫通項(xiàng) “故Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],〞 …………寫前n項(xiàng)和 “2Tn=3×[2×23+3×24

8、+…+(n+1)×2n+2],〞 …………乘公比 “兩式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]= 3× =-3n·2n+2,〞 …………錯(cuò)位相減 “所以Tn=3n·2n+2.〞 …………整理出結(jié)果 套模板: an=2n-1,bn=2n+1,cn=an·bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 【解析】由題知cn=an·bn=(2n+1)2n-1, …………寫通項(xiàng) 故Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n-1, …………寫前n項(xiàng)和 2Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n, …………乘公比 上述

9、兩式相減得,-Tn=3+22+23+…+2n-(2n+1)× …………錯(cuò)位相減 =3+-(2n+1)×2n=(1-2n)×2n-1, 得Tn=(2n-1)×2n+1. …………整理出結(jié)果 所以數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為(2n-1)×2n+1. 利用錯(cuò)位相減法的一般類型及思路 (1)適用的數(shù)列類型:{anbn},其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q≠1的等比數(shù)列. (2)思路:設(shè)Sn=a1b1+a2b2+…+anbn(*), 那么qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1(**), (*)-(**)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b

10、3+…+bn)-anbn+1,就轉(zhuǎn)化成了根據(jù)公式可求的和. 【易錯(cuò)提醒】在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),假設(shè)等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.同時(shí)要注意等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是多少. 等比數(shù)列{an}中,a1+a2=8,a2+a3=24,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)假設(shè)bn=an·log3(Sn+1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 那么q===3. 故a1+a2=a1+3a1=8,解得a1=2. 所以an=a1qn-1=2×3n-1. (2)由(1)知Sn=3n-1,

11、所以bn=an·log3(Sn+1)=2×3n-1×log33n=2n×3n-1, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=2×30+4×31+6×32+…+2(n-1)×3n-2+2n×3n-1,① 3Tn=2×31+4×32+6×33+…+2(n-1)×3n-1+2n×3n,② ①-②得-2Tn=2×30+2×31+2×32+2×33+…+2×3n-1-2n×3n=3n(1-2n)-1. 所以Tn=. 考點(diǎn)三　裂項(xiàng)相消法求和? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)裂項(xiàng)相消求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消求前n項(xiàng)和.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng) 2.怎么考:裂項(xiàng)相消法常

12、以解答題的形式出現(xiàn),考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、構(gòu)造數(shù)列以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等問題. 3.新趨勢(shì):裂項(xiàng)相消法求和作為考查等差、等比數(shù)列知識(shí)的綜合題型,因其考查數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等較多成為高考命題的熱點(diǎn). 學(xué) 霸 好 方 法 1.裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)和解題關(guān)鍵 裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的通項(xiàng)分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終到達(dá)求和的目的,其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng). (1)裂項(xiàng)原那么:一般是前邊裂幾項(xiàng),后邊就裂幾項(xiàng),直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止. (2)消項(xiàng)規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng). 2.交匯問題 數(shù)列與方程

13、交匯求項(xiàng)數(shù)、與不等式交匯證明恒成立問題 裂項(xiàng)相消直接求和 【典例】(2021·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,那么=__________. 【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,所以 解得 所以an=n,Sn=, 那么==2, 那么=2 =2=. 答案: 通項(xiàng)公式an具有怎樣的特征可用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和? 提示:如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為分式,假設(shè)分式的分母為兩個(gè)因式的積,且這兩個(gè)因式的差為定值時(shí),可利用裂項(xiàng)相消法求和. 與裂項(xiàng)相消求和有關(guān)的綜合問題 【典例】函數(shù)y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)的圖像所過定點(diǎn)的橫、

14、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{an}的第二項(xiàng)與第三項(xiàng),假設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,那么T10= (　　) A. B. C.1 D. 【解析】選B.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖像過定點(diǎn)(1,0),所以函數(shù)y=loga(x-1)+3的圖像過定點(diǎn)(2,3), 那么a2=2,a3=3,故an=n, 所以bn===-, 所以T10=1-+-+…+-=1-=. 使用裂項(xiàng)法求和時(shí),要特別注意哪些問題? 提示:利用裂項(xiàng)相消法求和的本卷須知 (1)使用裂項(xiàng)法求和時(shí),要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保存了哪些項(xiàng),切不可漏寫未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn),實(shí)質(zhì)上造成正

15、負(fù)相消是此法的根源與目的. (2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如:假設(shè){an}是等差數(shù)列,那么=,=. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=9,a2為整數(shù),且Sn≤S5,那么數(shù)列的前9項(xiàng)和為________.? 【解析】由Sn≤S5得即 得-≤d≤-,又a2為整數(shù), 所以d=-2,an=a1+(n-1)d=11-2n, =,所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn= =, 所以T9=-×=-. 答案:- 1.假設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=22n+1,令bn=(-1)n-1,那么數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=________

16、.? 【解析】由log2an=2n+1知, bn=(-1)n-1=(-1)n-1, 所以bn=(-1)n-1, 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)Tn=-+…+-=-, 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), Tn=-+…-+=+, 所以Tn=-(-1)n. 答案:-(-1)n 2.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足n(n+1)+ (n2+n-1)Sn-1=0(n∈N*),那么S1+S2+…+S2 021=________. ? 【解析】因?yàn)閚(n+1)+(n2+n-1)Sn-1=0(n∈N*),所以(Sn+1)[n(n+1)Sn-1]=0. 所以n(n+1)Sn-1=0,所以Sn==-. 所以S1+S2+…+S2 021=++…+=1-=. 答案: 可修改 歡迎下載 精品 Word