2021版高考數(shù)學一輪復習 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.3 隨機事件的概率練習 理 北師大版

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1、 12.3 隨機事件的概率 核心考點·精準研析 考點一　互斥事件、對立事件的判斷? 1.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數(shù),那么以下各對事件是互斥而不是對立事件的是 (　　) A.恰有1個是奇數(shù)和全是奇數(shù) B.恰有1個是偶數(shù)和至少有1個是偶數(shù) C.至少有1個是奇數(shù)和全是奇數(shù) D.至少有1個是偶數(shù)和全是奇數(shù) 2.100件產(chǎn)品中有5件次品,從這100件產(chǎn)品中任意取出3件,設E表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品〞,F表示事件“3件產(chǎn)品全是次品〞,G表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件是次品〞,那么以下結論正確的選項是 (　　) A.F與G互斥 B.E與G互斥但不對立 C.E

2、,F,G任意兩個事件均互斥 D.E與G對立 3.在以下六個事件中,隨機事件的個數(shù)為 (　　) ①如果a,b都是實數(shù),那么a+b=b+a; ②從分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡?得到4號簽; ③沒有水分,種子發(fā)芽; ④某 總機在60秒內(nèi)接到至少10次呼叫; ⑤在標準大氣壓下,水的溫度到達50 ℃時沸騰; ⑥同性電荷,相互排斥. A.2　 B.3　 C.4　 D.5 4.在5張 卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,假設事件“2張全是移動卡〞的概率是,那么概率是的事件是 (　　) A.至多有一張移動卡

3、B.恰有一張移動卡 C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡 【解析】1.選A.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數(shù),共有三種情況:A={兩個奇數(shù)},B={一個奇數(shù)一個偶數(shù)},C={兩個偶數(shù)},且A,B,C兩兩互斥,所以A:是互斥事件,但不是對立事件;B:不互斥;C:不互斥;D:是互斥事件,也是對立事件. 2.選D.由題意得事件E與事件F不可能同時發(fā)生,是互斥事件;事件E與事件G不可能同時發(fā)生,是互斥事件;當事件F發(fā)生時,事件G一定發(fā)生,所以事件F與事件G不是互斥事件,故A、C錯.事件E與事件G中必有一個發(fā)生,所以事件E與事件G對立,所以B錯誤,D正確. 3.選A.①⑥是

4、必然事件;③⑤是不可能事件;②④是隨機事件. 4.選A.至多有一張移動卡包含“一張移動卡,一張聯(lián)通卡〞“兩張全是聯(lián)通卡〞兩個事件,它是“2張全是移動卡〞的對立事件. 定 義 法 判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件,假設有且僅有一個發(fā)生,那么這兩事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件 集 合 法 ①假設A,B滿足A∩B=,那么A,B是互斥事件 ②假設A,B滿足,那么A,B是對立事件 考點二　隨機事件的頻率與概率? 【典例】某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)

5、,如表所示.這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. 一次購物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件及以上 顧客數(shù)/人 x 30 25 y 10 結算時間/ (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 (1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結算時間的平均值. (2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率) 【解題導思】 序號 聯(lián)想解題 (1)由“超過8件〞占55%聯(lián)想到 “不超過8件〞 占45%. (2)拆分為三個事件的和事件 【解析】(1)由得25+y+10=

6、55,x+30=45, 所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為=1.9分鐘. (2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘〞,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘〞“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘〞“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘〞,將頻率視為概率得 P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==. 因為A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件, 所以P(A

7、)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為. 1.求復雜互斥事件概率的2種方法 (1)直接法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和. (2)間接法:先求該事件的對立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.當題目涉及“至多〞“至少〞型問題時,多考慮間接法. 2.求解以統(tǒng)計圖表為背景的隨機事件的頻率或概率問題的關鍵點 求解該類問題的關鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表,計算出所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù). 某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量Y(單位:萬千瓦時)與該河上游

8、在六月份的降雨量X(單位:毫米)有關. 據(jù)統(tǒng)計,當X=70時,Y=460;X每增加10,Y增加5.近20年X的值為 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160, 220,140,160. (1)完成如下的頻率分布表: 近20年六月份降雨量頻率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 (2)假定今年6月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過53

9、0(萬千瓦時)的概率. 【解析】(1)在所給數(shù)據(jù)中,降雨量為110毫米的有3個,為160毫米的有7個,為200毫米的有3個,故近20年六月份降雨量頻率分布表為 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 (2)由可得Y=+425, 故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時〞)=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210) =P(X=70)+P(X=110)+P(X=220) =++=. 考點三　互斥事件、對立事件的概率計算? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查隨機事件的頻率與概率的

10、關系 (2)考查互斥事件、對立事件的概念與概率計算問題 2.怎么考:重點考查互斥事件、對立事件的概率計算,多數(shù)是以選擇題、填空題或解答題的一個小題的形式考查 3.新趨勢:結合新背景,考查互斥事件、對立事件的概率計算,或者與統(tǒng)計知識交匯考查隨機事件的概率計算 學 霸 好 方 法 1.互斥事件、對立事件的概率問題的解決步驟: (1)明確區(qū)分互斥事件、對立事件. (2)應用概率加法公式,或概率的一般加法公式求概率. 2.交匯問題: 解決與統(tǒng)計知識交匯考查隨機事件的概率計算問題時,先用統(tǒng)計知識求頻數(shù),頻率,再求概率. 互斥事件的概率 【典例】(2021·天津模擬)經(jīng)統(tǒng)計,

11、在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應概率如表: 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 那么該營業(yè)窗口上午9點鐘時,至少有1人排隊的概率是. 【解析】由表格可得至少有1人排隊的概率P=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9. 答案:0.9 對立事件的概率 【典例】某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù): 日銷售量(件) 0 1 2 3 頻數(shù) 1 6 8 5 試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設某天開始營業(yè)時有該商品3件,當天營業(yè)結束后檢

12、查存貨,假設發(fā)現(xiàn)存貨少于2件,那么當天進貨補充至3件,否那么不進貨,將頻率視為概率. (1)設每銷售一件該商品獲利1 000元,某天銷售該商品獲利情況如表,完成下表,并求試銷期間日平均獲利錢數(shù); 日獲利(元) 0 1 000 2 000 3 000 頻率 (2)求第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)為3件的概率.【解析】(1)日獲利分別為0元,1 000元,2 000元,3 000元的頻率分別為,,,;試銷期間日平均獲利數(shù)為0×+1 000×+2 000×+3 000×=1 850元. (2)由題意事件“第一天的銷售量為1件〞是對立事件,所以P(“第二天開始營業(yè)時該商

13、品的件數(shù)為3件〞)=1-P(“第一天的銷售量為1件〞)=1-=. 互斥事件、對立事件的概率計算問題與統(tǒng)計等交匯 【典例】A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調(diào)查,調(diào)查結果如下: 所用時間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 選擇L1 的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2 的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率; (2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率; (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕

14、往火車站,為了盡可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應如何選擇各自的路徑. 【解析】(1)由共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人, 所以用頻率估計相應的概率為0.44. (2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人, 故由調(diào)查結果得頻率為: 所用時間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內(nèi)趕到火車站; B1,B

15、2分別表示乙選擇L1和L2時,在50分鐘內(nèi)趕到火車站. 由(2)知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1)>P(A2),所以甲應選擇L1, P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, P(B2)>P(B1),所以乙應選擇L2. 1.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果.?周髀算經(jīng)??九章算術??海島算經(jīng)??孫子算經(jīng)??緝古算經(jīng)?等10部專著,有著十分豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期.某中學擬從這10部專著中選擇

16、2部作為“數(shù)學文化〞校本課程學習內(nèi)容,那么所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.設所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著為事件A,那么所選2部專著中沒有一部是魏晉南北朝時期專著為事件, 所以P()==,因此P(A)=1-P()=1-=. 2.(2021·景德鎮(zhèn)模擬)空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)是衡量空氣質(zhì)量好壞的標準,下表是我國南方某市氣象環(huán)保部門從去年的每天空氣質(zhì)量檢測數(shù)據(jù)中,隨機抽取的40天的統(tǒng)計結果: 空氣質(zhì)量指數(shù) (AQI) 國家環(huán)保標準 頻數(shù)(天) 頻率 [0,50] 一級(優(yōu)) 4

17、 (50,100] 二級(良) 20 (100,150] 三級(輕度污染) 8 (150,200] 四級(中度污染) 4 (200,300] 五級(重度污染) 3 (300,+∞) 六級(嚴重污染) 1 (1)假設以這40天的統(tǒng)計數(shù)據(jù)來估計,一年中(365天)該市有多少天的空氣質(zhì)量到達優(yōu)良? (2)假設將頻率視為概率,某中學擬在今年五月份某連續(xù)的三天召開運動會,以上表的數(shù)據(jù)為依據(jù),問: ①這三天空氣質(zhì)量都達標(空氣質(zhì)量屬一、二、三級內(nèi))的概率; ②這三天恰好有一天空氣質(zhì)量不達標(指四、五、六級)的概率. 【解析】設pi(i=1、2

18、、3、4、5、6)表示空氣質(zhì)量到達第i級的概率,那么p1=0.1,p2=0.5,p3=0.2,p4=0.1,p5=,p6=. (1)依題意得365×(p1+p2)=365×0.6=219(天). (2)①p1+p2+p3=0.8,p==0.83=0.512. ②p4+p5+p6=++=0.2, P=0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.8×0.8×0.2=3×0.2×0.82=0.384. 1.根據(jù)以往30年的統(tǒng)計數(shù)據(jù),中秋節(jié)晚上甲地陰天的頻率為0.4,乙地陰天的頻率為0.3,甲乙兩地都陰天的頻率為0.18,那么用頻率估計概率,今年中秋節(jié)晚上甲乙兩地都能賞月(即都不

19、陰天)的概率為 (　　) A.0.88 B.0.52 C.0.42 D.0.48 【解析】選D.設事件A=“甲地陰天〞,事件B=“乙地陰天〞,所以P=0.4,P=0.3,P=0.18,那么甲乙兩地至少有一地陰天的概率為P=P+P-P=0.52,所以兩地都能賞月的概率為1-P=0.48. 2.事件A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為,且P(A)=2P(B),那么P()= 　　.? 【解析】因為事件A,B都不發(fā)生的概率為, 所以P=1-=,又因為事件A,B互斥, 所以P=P+P=, 因為P(A)=2P(B),所以P(A)=,所以P()=1-=. 答案: 3.某人在一次射擊中,命中9環(huán)的概率為0.28,命中8環(huán)的概率為0.19,不夠8環(huán)的概率為0.29,那么這人在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率為　　.? 【解析】因為命中的情形可以分為:命中10環(huán),9環(huán),8環(huán),不夠8環(huán),可以看成4個兩兩互斥的事件,它們的概率之和為1,所以命中9環(huán)或10環(huán)的概率為1-0.19-0.29=0.52. 答案:0.52 - 9 -