2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.1 直線(xiàn)的傾斜角與斜率、直線(xiàn)的方程練習(xí) 理 北師大版

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1、 10.1 直線(xiàn)的傾斜角與斜率、直線(xiàn)的方程 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　直線(xiàn)的傾斜角與斜率? 1.直線(xiàn)x+y+1=0的傾斜角是 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.(2021·石家莊模擬)直線(xiàn)x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是 (　　) A. B. C.∪　 D.∪ 3.如下圖,直線(xiàn)l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,那么 (　　) A.k1

2、____.? 【解析】1.選D.由直線(xiàn)的方程得直線(xiàn)的斜率為k=-,設(shè)傾斜角為α,那么tan α=-,又0≤α<π,所以α=. 2.選B.由直線(xiàn)方程可得該直線(xiàn)的斜率為-,又-1≤-<0,所以?xún)A斜角的取值范圍是. 3.選C.由圖可知k1<0,k2>k3>0,所以k2>k3>k1,應(yīng)選C. 4.因?yàn)閗AC==1,kAB==a-3. 由于A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),所以a-3=1,即a=4. 答案:4 1.傾斜角α與斜率k的關(guān)系: (1)當(dāng)α∈時(shí),k∈[0,+∞),且傾斜角越大,斜率越大. (2)當(dāng)α=時(shí),斜率k不存在. (3)當(dāng)α∈時(shí),k∈(-∞,0),且傾斜角越大,斜率越大. 2

3、.斜率的兩種求法: (1)定義法:假設(shè)直線(xiàn)的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tan α求斜率. (2)公式法:假設(shè)直線(xiàn)上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. 【秒殺絕招】 　第2題可以用檢驗(yàn)答案的方法求解,假設(shè)傾斜角α=,那么斜率k=-=1不成立,故A、C、D都不對(duì),所以選B. 考點(diǎn)二　求直線(xiàn)的方程? 【典例】1.求過(guò)點(diǎn)A(1,3),傾斜角是直線(xiàn)y=-x的傾斜角的的直線(xiàn)方程. 2.經(jīng)過(guò)圓C:(x+5)2+(y-2)2=1的圓心,且在x軸上截距等于在y軸上截距的2倍的直線(xiàn)方程. 3.求過(guò)A(2,1),B(m,3)兩點(diǎn)的直線(xiàn)l

4、的方程. 【解題導(dǎo)思】 序號(hào) 聯(lián)想解題 1 看到點(diǎn)與斜率想到直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式 2 看到截距想到直線(xiàn)方程的截距式 3 看到字母想到對(duì)斜率是否存在的討論 【解析】1.因?yàn)閥=-x的斜率為k=-,其傾斜角為120°,所以所求直線(xiàn)的傾斜角為60°,其斜率為, 所以直線(xiàn)方程為y-3=(x-1), 即直線(xiàn)方程為x-y+3-=0. 2.因?yàn)閳AC的圓心為(-5,2), 當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求直線(xiàn)方程為+=1,將(-5,2)代入所設(shè)方程,解得a=-, 所以直線(xiàn)方程為x+2y+1=0; 當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx, 那么-5k=2,解得k=-, 所以直線(xiàn)方程為y=

5、-x,即2x+5y=0. 故所求直線(xiàn)方程為2x+5y=0或x+2y+1=0. 3.①當(dāng)m=2時(shí),直線(xiàn)l的方程為x=2; ②當(dāng)m≠2時(shí),直線(xiàn)l的方程為=, 即2x-(m-2)y+m-6=0. 因?yàn)閙=2時(shí),代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即為x=2, 所以直線(xiàn)l的方程為2x-(m-2)y+m-6=0. 1.在求直線(xiàn)方程時(shí),應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?并注意各種形式的適用條件. 2.對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用:假設(shè)采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況;假設(shè)采用截距式,應(yīng)判斷截距是否為零. 3.截距是數(shù),不是距離.它是直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo),在x軸上的截

6、距是直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),在y軸上的截距是直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).截距可正、可負(fù)、可為0,因此在解與截距有關(guān)的問(wèn)題時(shí),一定要注意“截距為0〞的情況,以防漏解. (2021·邯鄲模擬)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1),且傾斜角比直線(xiàn)y=-x-1的傾斜角小的直線(xiàn)方程是 (　　) A.x=2　 B.y=1　 C.x=1　 D.y=2 【解析】選A.因?yàn)橹本€(xiàn)y=-x-1的斜率為-1,那么傾斜角為.由,所求直線(xiàn)的傾斜角為-=,斜率不存在,所以過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線(xiàn)方程為x=2. 考點(diǎn)三　直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)與直線(xiàn)方程有關(guān)的最值問(wèn)題.(2)數(shù)形結(jié)合思想.(3

7、)根本不等式.(4)函數(shù)的單調(diào)性. 2.怎么考:以選擇題或填空題形式出現(xiàn) 3.新趨勢(shì):數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的應(yīng)用 學(xué) 霸 好 方 法 1.求解與直線(xiàn)方程有關(guān)的最值問(wèn)題 根本不等式或函數(shù)法求最值. 2.含有參數(shù)的直線(xiàn)方程可看作直線(xiàn)系方程,別離參數(shù)法求出定點(diǎn). 3.交匯問(wèn)題: (1)三角形和四邊形的面積.(2)根本不等式.(3)函數(shù)的單調(diào)性. 與不等式相結(jié)合的最值問(wèn)題 【典例】當(dāng)k>0時(shí),兩直線(xiàn)kx-y=0,2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形面積的最大值為_(kāi)_______.? 【解析】直線(xiàn)2x+ky-2=0與x軸交于點(diǎn)(1,0).由解得y=, 所以?xún)芍本€(xiàn)kx-y=0,2

8、x+ky-2=0與x軸圍成的三角形的面積為×1×=, 又k+≥2=2, 當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)取等號(hào), 故三角形面積的最大值為. 答案: 如何用直線(xiàn)方程求出三角形的邊長(zhǎng)? 提示:根據(jù)直線(xiàn)方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求得三角形的邊長(zhǎng). 與函數(shù)結(jié)合的最值問(wèn)題 【典例】直線(xiàn)x+2y=2分別與x軸、y軸相交于A,B兩點(diǎn),假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在線(xiàn)段AB上,那么ab的最大值為_(kāi)_______. 【解析】由題得A(2,0),B(0,1),由動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在線(xiàn)段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,從而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2+.由于0≤b≤1,故當(dāng)b=時(shí),ab取

9、得最大值. 答案: 如何找到a,b的關(guān)系進(jìn)行消元? 提示:P(a,b)在直線(xiàn)x+2y=2上,將a,b代入直線(xiàn)方程,得到a與b的關(guān)系. 由直線(xiàn)方程求參數(shù)的范圍 【典例】直線(xiàn)l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,當(dāng)0

10、轉(zhuǎn)化成三角形的面積? 提示:設(shè)題中l(wèi)1與y軸交點(diǎn)為A(0,2-a),l2與x軸交點(diǎn)為B(a2+2,0),那么四邊形OAPB的面積為三角形OAP和三角形OBP的面積之和. 1.點(diǎn)P(x,y)在直線(xiàn)x+y-4=0上,那么x2+y2的最小值是 (　　) A.8　 B.2　 C.　 D.16 【解析】選A.因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在直線(xiàn)x+y-4=0上, 所以y=4-x, 所以x2+y2=x2+(4-x)2=2(x-2)2+8, 當(dāng)x=2時(shí),x2+y2取得最小值8. 2.過(guò)點(diǎn)P(2,1)作直線(xiàn)l,與x軸和y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),求: (1)△AOB面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)l的

11、方程. (2) 求|PA|·|PB|的最小值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程. 【解析】(1)設(shè)所求直線(xiàn)l的方程為+=1(a>0,b>0),那么+=1.又因?yàn)?≥2?ab≥4,當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=4,b=2時(shí),△AOB面積S=ab有最小值為4.此時(shí),直線(xiàn)l的方程是+=1, 即x+2y-4=0. (2)由題意知直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)為k(k<0),那么直線(xiàn)l的方程為y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k), 那么A,B(0,1-2k). 所以|PA|·|PB| =· =·2=2 =2≥2=4. 當(dāng)且僅當(dāng)=k2,即k=-1時(shí),等號(hào)成立, 所以|PA|·|PB|的最小值為4,此時(shí)直線(xiàn)l的

12、方程為x+y-3=0. 　直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M(1,1),且與x軸,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).求: (1)當(dāng)|OA|+|OB|取得最小值時(shí),直線(xiàn)l的方程. (2)當(dāng)|MA|2+|MB|2取得最小值時(shí),直線(xiàn)l的方程. 【解析】(1)設(shè)直線(xiàn)l的方程為+=1,那么+=1, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=2〞時(shí)取等號(hào),此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x+y-2=0. (2)設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k,那么k<0, 直線(xiàn)l的方程為y-1=k(x-1),那么A, B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4. 當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=-1時(shí)取等號(hào),此時(shí)直線(xiàn)l的方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0. - 8 -