2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.9 函數(shù)的應(yīng)用練習(xí) 理 北師大版

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1、 2.9 函數(shù)的應(yīng)用 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　利用圖像刻畫實(shí)際問題? 1.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游效勞質(zhì)量,收集并整理了2021年1月至2021年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖 根據(jù)該折線圖,以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 (　　) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量頂峰期大致在7,8月份 D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn) 【解析】選A.由題圖可知,2021年8月到9月的月接待游客量在減少,那么A選項(xiàng)錯(cuò)誤,應(yīng)選A. 2.如下列圖,一直

2、角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a(m)(08時(shí),由于函數(shù)在[a,12]上為減函數(shù), 所以當(dāng)x=a時(shí),矩形面積取最大值Smax=f(a)=a(16-a). 3

3、.某地一年的氣溫Q(t)(單位:℃)與時(shí)間t(月份)之間的關(guān)系如下列圖,該年的平均氣溫為10℃,令C(t)表示時(shí)間段[0,t]的平均氣溫,以下四個(gè)函數(shù)圖像中,最能表示C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系的是 (　　) 【解析】選A.假設(shè)增加的數(shù)大于當(dāng)前的平均數(shù),那么平均數(shù)增大;假設(shè)增加的數(shù)小于當(dāng)前的平均數(shù),那么平均數(shù)減小.因?yàn)?2個(gè)月的平均氣溫為10℃,所以當(dāng)t=12時(shí),平均氣溫應(yīng)該為10℃,故排除B;因?yàn)樵诳拷?2月份時(shí)其溫度小于10℃,因此12月份前的一小段時(shí)間內(nèi)的平均氣溫應(yīng)該大于10℃,排除C;6月份以后增加的溫度先大于平均值后小于平均值,故平均氣溫不可能出現(xiàn)先減小后增加的情況,故排除D

4、. 4.(2021·廣州模擬)某罐頭加工廠庫存芒果m(kg),今年又購進(jìn)n(kg)新芒果后,欲將芒果總量的三分之一用于加工芒果罐頭.被加工為罐頭的新芒果最多為f1(kg),最少為f2(kg),那么以下選項(xiàng)中最能準(zhǔn)確描述f1,f2分別與n的關(guān)系的是 　　) 【解析】選A.要使得被加工為罐頭的新芒果最少,盡量使用庫存芒果,即當(dāng)≤m,n≤2m時(shí),f2=0,當(dāng)n>2m時(shí),f2=-m=>0,對照圖像舍去C,D; 要使得被加工為罐頭的新芒果最多,那么盡量使用新芒果,即當(dāng)≤n,n≥時(shí)f1=,當(dāng)>n,n<時(shí)f1=n,因?yàn)?2m,所以選A. 　判斷函數(shù)圖像與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法 (1)

5、構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí),先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖像. (2)驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn),結(jié)合圖像的變化趨勢,驗(yàn)證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際的情況,選擇出符合實(shí)際情況的答案. 考點(diǎn)二　函數(shù)模型求解實(shí)際問題? 【典例】1.某產(chǎn)品的總本錢y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y= 3 000+20x-0.1x2(0

6、費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)=某家庭2021年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如表: 月份 用氣量 煤氣費(fèi) 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 假設(shè)四月份該家庭使用了20 m3的煤氣,那么其煤氣費(fèi)為 (　　) A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元 3.某農(nóng)場種植一種農(nóng)作物,為了解該農(nóng)作物的產(chǎn)量情況,現(xiàn)將近四年的年產(chǎn)量f(x)(單位:萬斤)與年份x(記2021年為第1年)之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下: x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86 那么f(x)近似符合以下

7、三種函數(shù)模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a; ③f(x)=x2+b.那么你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號是　　　　. 【解題導(dǎo)思】 序號 聯(lián)想解題 1 由銷售收入不小于總本錢,想到銷售收入≥總本錢 2 由f(x)的解析式考慮用待定系數(shù)法求A,B,C的值 3 由三個(gè)模擬函數(shù)選擇,想到逐個(gè)驗(yàn)證求解 【解析】1.選C.設(shè)利潤為f(x)萬元,那么f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x- 3 000(0

8、4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)= 所以f(20)=4+(20-5)=11.5. 3.假設(shè)模型為②,那么f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此時(shí)f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與表格中的數(shù)據(jù)相差太大,不符合;假設(shè)模型為③,那么f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,此時(shí),與表格中的數(shù)據(jù)相差太大,不符合; 假設(shè)模型為①,那么根據(jù)表中數(shù)據(jù)得 解得a=,b=,經(jīng)檢驗(yàn)是最適合的函數(shù)模型. 答案:①

9、 　求解函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵 (1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù). (2)根據(jù)利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù). (3)利用該函數(shù)模型,借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題,并進(jìn)行檢驗(yàn). 1.(2021·中山模擬)據(jù)統(tǒng)計(jì),一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位:min)為f(x)=(A,c為常數(shù)).某工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30 min,組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15 min,那么c和A的值分別是 (　　) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 【解析】選D.由題意可知4

10、且在任何時(shí)刻A,B兩種菌的個(gè)數(shù)乘積均為定值1010,為了簡單起見,科學(xué)家用PA=lg nA來記錄A菌個(gè)數(shù)的資料,其中nA為A菌的個(gè)數(shù),現(xiàn)有以下幾種說法: ①PA≥1; ②假設(shè)今天的PA值比昨天的PA值增加1,那么今天的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多10; ③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個(gè)數(shù)控制為5萬,那么此時(shí)5

11、 2+5.又因?yàn)閘g 2≈0.3,所以50)的函數(shù)模型稱為“對勾〞函數(shù)模型,“對勾〞函數(shù)模型的單調(diào)區(qū)間

12、及最值如下 (1)該函數(shù)在(-∞,-]和[,+∞)上單調(diào)遞增,在[-,0)和(0,]上單調(diào)遞減. (2)當(dāng)x>0時(shí),x=時(shí)取最小值2, 當(dāng)x<0時(shí),x=-時(shí)取最大值-2. 初等函數(shù)模型及其應(yīng)用 【典例】(2021·馬鞍山模擬)某高校為提升科研能力,方案逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入.假設(shè)該高校2021年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1 300萬元,在此根底上,每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%,那么該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2 000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) (　　) A.2021年 B.2021年 C.2022年

13、 D.2023年 【解析】選C.假設(shè)2021年是第1年,那么第n年全年投入的科研經(jīng)費(fèi)為1 300×1.12n萬元,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2,所以n×0.05>0.19,得n>3.8,即n≥4,所以第4年,即2022年全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2 000萬元. 每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%,說明每年經(jīng)費(fèi)是上一年的多少倍? 提示:說明每年經(jīng)費(fèi)是上一年的1.12倍. 對勾函數(shù)模型及其應(yīng)用 【典例】(2021·榆林模擬)某養(yǎng)殖場需定期購置飼料,該場每天需要飼料200千克,每千克飼料的價(jià)格為1.8元,飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)

14、用平均每千克每天0.03元,購置飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.求該場多少天購置一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少. 【解析】設(shè)該場x(x∈N*)天購置一次飼料,平均每天支付的總費(fèi)用為y元. 因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=(3x2-3x)(元). 從而有y=(3x2-3x+300)+200×1.8=+3x+357≥417,當(dāng)且僅當(dāng)=3x,即x=10時(shí),y有最小值.故該場10天購置一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少. 對勾函數(shù)求最值應(yīng)注意什么? 提示:對勾函數(shù)求最值一定要

15、注意該函數(shù)的單調(diào)性,然后再求最值. 分段函數(shù)模型及其應(yīng)用 【典例】(2021·銀川模擬)大氣溫度y(℃)隨著距離地面的高度x(km)的增加而降低,當(dāng)在高度不低于11 km的高空時(shí)氣溫幾乎不變.設(shè)地面氣溫為22℃,大約每上升1 km大氣溫度降低6℃,那么y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為　　　　. 【解析】由題意知,y是關(guān)于x的分段函數(shù),x=11為分界點(diǎn),易得其解析式為y= 答案:y= 實(shí)際問題中分段函數(shù)的適用條件是什么? 提示:實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成,如出租車計(jì)價(jià)與路程之間的關(guān)系,應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解. 1.要制作一個(gè)容積

16、為16 m3,高為1 m的無蓋長方體容器,該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,那么該容器的最低總造價(jià)是　　　　元.? 【解析】設(shè)長方體容器底面矩形的長、寬分別為x m,y m,那么y=,所以容器的總造價(jià)為z=2(x+y)×1×10+20xy=20+20×16,由根本不等式得,z=20+20×16≥40+320=480,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4,即底面是邊長為4 m的正方形時(shí),總造價(jià)最低. 答案:480 2.(2021·北京高考)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,

17、李明對這四種水果進(jìn)行促銷:一次購置水果的總價(jià)到達(dá)120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%. ①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購置草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;? ②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,那么x的最大值為　　　　.? 【解析】①價(jià)格為60+80=140元,到達(dá)120元,少付10元,所以需支付130元. ②設(shè)促銷前總價(jià)為a元,a≥120,李明得到金額l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立,又最小值為=15,所以x最大值為15. 答案:①130　②15 1.(2021·深

18、圳模擬)某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等,甲食堂的營業(yè)額逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的營業(yè)額也逐月增加,且每月增加的百分率相同.本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等,那么本年5月份 (　　) A.甲食堂的營業(yè)額較高 B.乙食堂的營業(yè)額較高 C.甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同 D.不能確定甲、乙哪個(gè)食堂的營業(yè)額較高 【解析】選A.設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m,甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0),乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x,由題意可得,m+8a=m×(1+x)8,那么5月份甲食堂的營業(yè)額y1=m+4a,乙食堂的營業(yè)額y2=m×(1+x)4=,因?yàn)?=(m+4a)2-m(

19、m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高. 2.一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元,此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元,年產(chǎn)量為x(x∈N*)件.當(dāng)x≤20時(shí),年銷售總收入為(33x-x2)萬元;當(dāng)x>20時(shí),年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元,那么y與x的函數(shù)關(guān)系式為　　　　,該工廠的年產(chǎn)量為　　　　件時(shí),所得年利潤最大(年利潤=年銷售總收入-年總投資).? 【解析】年銷售總收入減去年總投資即可得到年利潤,年總投資為(x+100)萬元,故函數(shù)關(guān)系式為 y=當(dāng)020時(shí),y<140.故年產(chǎn)量為16件時(shí),年利潤最大. 答案:y=　16 可修改 歡迎下載 精品 Word