2021版高考數(shù)學一輪復習 選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 1 坐標系練習 理 北師大版

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1、 坐標系 考點一　伸縮變換? 1.曲線C:x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′,求曲線C′的方程. 2.曲線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x′2+y′2=1,求曲線C的方程. 3.將圓x2+y2=1變換為橢圓+=1的一個伸縮變換公式φ:(λ,μ>0),求λ和μ的值. 【解析】1.因為所以代入曲線C的方程得C′:+y′2=1. 2.根據(jù)題意,曲線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x′2+y′2=1,那么(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲線C的方程為4x2+9y2=1. 3.將變換后的橢圓+=1改寫為+=1,把伸縮變換公式φ:(λ,μ>0)代入上式,得+

2、=1,即x2+y2=1,與x2+y2=1比擬系數(shù),得所以 1.應用伸縮變換時,要分清變換前的點的坐標(x,y)與變換后的坐標(x′,y′). 2.平面上的曲線y=f(x)在變換φ:的作用下得到的方程的求法是將代入y=f(x),得=f,整理之后得到y(tǒng)′=h(x′),即為變換之后的方程. 考點二　極坐標與直角坐標的互化? 【典例】(2021·烏魯木齊模擬)曲線C1的方程為(x-1)2+y2=1,C2的方程為x+y=3,C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線. (1)以直角坐標系原點O為極點,x軸正方向為極軸建立極坐標系,求C1與C2的極坐標方程. (2)假設(shè)C1與C3的一個公共點為A

3、(異于點O),C2與C3的一個公共點為B,當|OA|+=時,求C3的直角坐標方程. 【解析】(1)曲線C1的方程為(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,轉(zhuǎn)換為極坐標方程為ρ=2cosθ. 曲線C2的方程為x+y=3,轉(zhuǎn)換為極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ-3=0, (2)設(shè)曲線C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線,那么極坐標方程為θ=α, 由于C1與C3的一個公共點A(異于點O),故, 所以|OA|=2cosα, C2與C3的一個公共點為B, 所以 所以|OB|=. 由于|OA|+=, 所以2cosα+cosα+sinα=, 即3cosα+sinα=sin

4、(α+β)=, 當sinα=,cosα=時,tan α=, 故曲線C3的直角坐標方程為y=x. 1.極坐標與直角坐標的互化依據(jù)是x=ρcos θ,y=ρsin θ. 2.互化時要注意前后的等價性.　　 在極坐標系下,圓O:ρ=cos θ+sin θ和直線l:ρsinθ-=(ρ≥0,0≤θ<2π). (1)求圓O和直線l的直角坐標方程. (2)當θ∈(0,π)時,求直線l與圓O的公共點的極坐標. 【解析】(1)圓O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圓O的直角坐標方程為x2+y2-x-y=0, 直線l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos

5、 θ=1, 那么直線l的直角坐標方程為x-y+1=0. (2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標方程, 將兩方程聯(lián)立得解得 即圓O與直線l在直角坐標系下的公共點為(0,1), 轉(zhuǎn)化為極坐標為, 故直線l與圓O的公共點的極坐標為. 考點三　 極坐標方程的應用 ? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查直線與曲線的位置關(guān)系、距離及取值范圍的問題. (2)考查學生數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學方法. 2.怎么考:極坐標與直線、圓、三角函數(shù)等數(shù)學知識相結(jié)合,考查學生的綜合運用能力. 3.新趨勢:以極坐標為載體,與其他數(shù)學知識交匯考查. 學

6、霸 好 方 法 求取值范圍的解題思路: (1)將極坐標方程與普通方程互化,弄清題目考查知識點; (2)與三角函數(shù)結(jié)合,根據(jù)三角函數(shù)的取值范圍求題目所要求的問題的取值范圍. 位置關(guān)系問題 【典例】在極坐標系中,直線ρcos =1與曲線ρ=r(r>0)相切,求r的值. 【解析】直線ρcos =1轉(zhuǎn)化為x-y-2=0, 曲線ρ=r(r>0)轉(zhuǎn)化為x2+y2=r2,由于直線和圓相切,那么圓心到直線的距離d==1=r. 距離問題 【典例】(2021·江蘇高考)在極坐標系中,兩點A,B,直線l的方程為ρsin=3. (1)求A,B兩點間的距離. (2)求點B到直線l的距離.

7、 【解析】(1)設(shè)極點為O. 在△OAB中,A,B, 由余弦定理, 得AB==. (2)因為直線l的方程為ρsin=3, 那么直線l過點,傾斜角為. 又B,所以點B到直線l的距離為(3-)×sin=2. 取值范圍問題 【典例】(2021·黃岡模擬)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos=2.點Q為曲線C1上的動點,點P在線段OQ上,且滿足|OQ|·|OP|=4,動點P的軌跡為C2. (1)求C2的直角坐標方程. (2)設(shè)點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求△AOB面積的最大值. 【解析】(1)設(shè)P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0), Q的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0), 由題意知|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=. 由|OQ|·|OP|=4得C2的極坐標方程為ρ=2cos(ρ>0),化簡得ρ=cos θ+sin θ,因此C2的直角坐標方程為+=1,但不包括點(0,0). (2)設(shè)點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0), 由題意知,|OA|=2,ρB=2cos, 于是△AOB的面積S=|OA|·ρB·sin∠AOB =2cos·=2≤. 當α=0時,S取得最大值. 所以△AOB面積的最大值為. - 7 -