2021版高考數(shù)學一輪復習 第十章 平面解析幾何 10.9.1 圓錐曲線中求值與證明問題練習 理 北師大版

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1、 10.9.1 圓錐曲線中求值與證明問題 核心考點·精準研析 考點一　求值問題? 1.(2021·西安模擬)橢圓、雙曲線均是以直角三角形ABC的斜邊AC的兩端點為焦點的曲線,且都過B點,它們的離心率分別為e1,e2,那么+= (　　) A. B.2 C. D.3 2.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,直線AB垂直于x軸,F為拋物線的焦點,射線BF交拋物線的準線于點C,且|AB|=|AF|,△AFC的面積為2+2,那么p的值為 (　　) A.　 B.1 C.2 D.4 3.(2021·天津高考)設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.橢圓的短軸長為4,

2、離心率為. (1)求橢圓的方程. (2)設點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負半軸上. 假設|ON|=|OF|(O為原點),且OP⊥MN,求直線PB的斜率. 【解析】1.選B.如圖,由題意,設橢圓的長半軸為a1,雙曲線的半實軸為a2, 根據(jù)橢圓和雙曲線定義: |AB|+|BC|=2a1, |BC|-|AB|=2a2, 可得|BC|=a1+a2,|AB|=a1-a2,設AC=2c, 在直角三角形ABC中,由勾股定理可得, 4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2 ,即+ = 2c2, 即+=2. 2.選C.過點A作AH垂直于

3、準線,垂足為H,作CG垂直于AB,垂足為G,根據(jù)拋物線的定義|AH|=|AF|,CE∥AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|, 由S△AFC=S△ABC-S△AFB,S△ABC=|AB|·|CG|=|AD|·|CG|,S△AFB=|AB|·|DF|=|AD|·|DF|,得S△AFC=|AD|·|CG|-|AD|·|DF|=|AD|(|CG|-|DF|), =|AD|(|DE|-|DF|)=|AD|·|EF|, 又|DE|=|AF|=|DF|,那么|EF|=(-1)|DF|, |AD|=2|DF|==|EF|,可得S△AFC=|EF|2,又因為S△AFC=2+2,所以|EF|=

4、2,因為EF正好是焦點到準線的距離,即p=2. 3.(1)設橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1. 所以,橢圓的方程為+=1. (2)由題意,設P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).設直線PB的斜率為k(k≠0),又B(0,2),那么直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,進而直線OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-.由OP⊥MN,得·=-1,化簡得k2=,從而k=±. 所以直線P

5、B的斜率為或-. 1.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 (1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1,y1), P2(x2,y2),那么所得弦長: |P1P2|=|x1-x2|= ==|y1-y2|. (2)斜率不存在時,可求出交點坐標,直接求解(利用兩點間距離公式). 2.平面圖形面積的求解,首先根據(jù)題意確定平面圖形的形狀,然后確定其面積的表達式,求出相關的度量——弦長、距離等,最后代入公式求解即可. 3.條件求值,主要是將條件坐標化,列出對應的方程,通過解方程(組)求值. 秒殺絕招 題1中可以利用賦值法簡化求解過程,減少計算量.不妨設直角三角形ABC三邊長度分別為

6、3,4,5.那么橢圓與雙曲線的焦距2c=5, 那么在橢圓中,2a1=3+4=7,故e1=; 在雙曲線中,2a2=|3-4|=1,故e1=5. 所以+=+=2. 考點二　證明問題? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類:一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系,如某點在某直線上、某直線經(jīng)過某個點、某兩條直線平行或垂直等;二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關系(相等或不等). (2)考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)以及函數(shù)與方程、轉化與化歸的數(shù)學思想方法等. 2.怎么考:以直線和圓錐曲線的位置關系為背景,考查角度與長度關系的證明,直線平

7、行、垂直、三點共線等位置關系的證明等. 3.新趨勢:等量關系的證明與三角函數(shù)等知識的結合,如證明角度相等. 學 霸 好 方 法 1.解決證明問題時,主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等,通過相關的性質應用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等直接進行證明. 2.交匯問題:數(shù)量關系的問題,多與其他模塊知識相結合,如三角函數(shù)、向量以及函數(shù)相關知識等. 證明數(shù)量關系 【典例】(2021·北京模擬)橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為F(1,0),離心率為.A為橢圓C的左頂點,P,Q為橢圓C上異于A的兩個動點,直線AP,AQ與直線l:x=4分別交于M,N兩點

8、. (1)求橢圓C的方程. (2)假設△PAF與△PMF的面積之比為,求M的坐標. (3)設直線l與x軸交于點R,假設P,F,Q三點共線,求證:∠MFR=∠FNR. 【解題導思】 序號 題目拆解 (1) 根據(jù)條件求標準方程中的參數(shù)值 由題意得c=1,結合離心率求得a,再由隱含條件求得b,那么橢圓方程可求. (2) ①求AP與AM的關系 將兩個三角形面積比轉化為AP與AM的關系. ②求M的縱坐標 利用向量關系建立坐標的方程求解. (3) ①求R點坐標 直線l與x軸的交點 ②求P點坐標 聯(lián)立方程組求解,利用根與系數(shù)的關系求得P的坐標 ③建立點的坐標之間的

9、關系 利用三點共線——斜率相等建立坐標關系 ④證明數(shù)量等式 證明兩個角的三角函數(shù)(正切)值相等,范圍相等. 【解析】(1)由題意得 解得 因為a2-b2=c2,所以b2=3. 所以橢圓C的方程為+=1. (2)因為△PAF與△PMF的面積之比為, 所以|AP|=|PM|.所以=. 設M(4,m)(m≠0),P(x0,y0),那么(x0+2,y0)=(6,m),解得x0=-1,y0=. 將其代入+=1,解得m=±9. 所以M的坐標為(4,9)或(4,-9). (3)設M(4,m),N(4,n),P(x0,y0),由題知R(4,0), 假設m=0,那么P為橢圓C的右頂

10、點,由P,F,Q三點共線知,Q為橢圓C的左頂點,不符合題意. 所以m≠0.同理n≠0. 直線AM的方程為y=(x+2). 由 消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0. Δ=(4m2)2-4(27+m2)(4m2-108)>0成立. 由-2x0=,解得x0=. 所以y0=(x0+2)=. 所以P. ①當PF⊥x軸時, 即|m|=3時,|n|=3,=1, 由橢圓的對稱性可得|MR|=|FR|=|NR|=3. 又因為∠MRF=∠NRF=90°, 所以∠MFR=∠FNR=45°. ②當直線PQ與x軸不垂直時, |m|≠3,|n|≠3, 直線FP

11、的斜率kFP==. 同理kFQ=.因為P,F,Q三點共線, 所以=.所以mn=-9. 在Rt△MRF和Rt△NRF中, tan∠MFR==,tan∠FNR===,所以tan∠MFR=tan∠FNR. 因為∠MFR,∠FNR均為銳角, 所以∠MFR=∠FNR. 綜上,假設P,F,Q三點共線,那么∠MFR=∠FNR. 數(shù)量關系證明的一般方法是什么? 提示:數(shù)量關系的證明,一般采用直接法,即直接利用坐標運算進行證明.當然要結合函數(shù)的一些性質,如該題就是先證明兩個角的正切函數(shù)值相等,而且角的范圍是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,所以兩角相等. 證明位置關系 【典例】(2021·大連模擬)

12、設橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,假設橢圓E的離心率為,△ABF2的周長為16. (1)求橢圓E的方程. (2)設不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C,D,設弦AB,CD的中點分別為M,N.證明:O,M,N三點共線. 【解題導思】 序號 題目拆解 (1) 求標準方程中的參數(shù) 根據(jù)離心率與三角形的周長列方程組求參數(shù) (2) ①求直線OM的斜率 根據(jù)點差法,建立弦AB的中點M與直線AB的斜率之間的關系,從而求得直線OM的斜率 ②求直線ON的斜率 根據(jù)點差法,建立弦CD的中點N與直線AB的斜率之間的關

13、系,從而求得直線ON的斜率 ③證明三點共線 證明兩直線OM,ON斜率相等 【解析】(1)由題意知,4a=16,a=4.又因為e=,所以c=2,b==2,所以橢圓E的方程為+=1. (2)當直線AB、CD的斜率不存在時,由橢圓的對稱性知,中點M,N在x軸上,O,M,N三點共線; 當直線AB,CD的斜率存在時,設其斜率為k(k≠0), 且設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0). 那么 + = 1, + = 1, 相減得 =- , 所以·=-,即·=-, 即k·kOM=-,所以kO M=-; 同理可得kO N=-,所以kO M=kO N, 所以O,M,N三

14、點共線. 位置關系的證明的一般思路是什么? 提示:位置關系的證明,多通過位置關系的坐標化處理,將其轉化為數(shù)量關系的證明,故一般多利用直接證明方法,即直接通過代數(shù)運算證明. 1.(2021·濟南模擬)拋物線W:x2=2py(p>0)的焦點為F,點A在W上,AF的中點坐標為(2,2). (1)求拋物線W的方程. (2)假設直線l與拋物線W相切于點P(異于原點),與拋物線W的準線相交于點Q,證明:FP⊥FQ. 【解析】(1)由題知F, 設A,因為AF的中點坐標為(2,2), 所以解得:xA=4,p=4. 所以拋物線W的方程為:x2=8y. (2)由y=x2,得y′=x

15、, 設點P(x0≠0),那么直線l的方程為y-= x0 (x-x0 ),即為y = x0 x-, 令y=-2,得Q, 所以=,=, 所以·=x0×-4=0, 所以FP⊥FQ. 2.(2021·長沙模擬)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,過F的直線交拋物線于A,B兩點. (1)假設以A,B為直徑的圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=16,求拋物線C的標準方程. (2)過A,B分別作拋物線的切線l1,l2,證明:l1,l2的交點在定直線上. 【解析】(1)設AB中點為M,A到準線的距離為d1,B到準線的距離為d2,M到準線的距離為d.那么d=yM+,由拋物線的定義可知

16、,d1=|AF|,d2=|BF|, 所以d1+d2=|AB|=8, 由梯形中位線可得d==4, 所以yM+=4,而yM=3,所以3+=4,可得p=2, 所以拋物線C的標準方程為x2=4y. (2)設A(x1,y1),B(x2,y2), 由x2=2py得y=,那么y′=, 所以直線l1的方程為y-y1=(x-x1),直線l2的方程為y-y2=(x-x2), 聯(lián)立得x=,y=,即l1,l2交點坐標為.因為AB過焦點F, 所以設直線AB方程為y-=kx,代入拋物線x2=2py中得x2-2pkx-p2=0,所以x1x2=-p2, 所以==-,所以l1,l2的交點在定直線y=-上.

17、 1.過橢圓W:+y2=1的左焦點F1作直線l1交橢圓于A,B兩點,其中A(0,1),另一條過F1的直線l2交橢圓于C,D兩點(不與A,B重合),且D點在x軸下方且不與點(0,-1)重合.過F1作x軸的垂線分別交直線AD,BC于E,G. (1)求B點坐標和直線l1的方程. (2)求證:|EF1|=|F1G|. 【解析】(1)由題意可得直線l1的方程為y=x+1.與橢圓方程聯(lián)立,得 可求得B. (2)當l2與x軸垂直時,C,D兩點與G,E兩點重合,由橢圓的對稱性,|EF1|=|F1G|. 當l2不與x軸垂直時,設C(x1,y1),D(x2,y2),l2的方程為y=k(x+1)(k

18、≠1). 由 消去y,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0. 那么x1+x2=,x1x2=. 由,x2≠0, 那么直線AD的方程為y-1=x,令x=-1,得點E的縱坐標yE=. 把y2=k(x2+1)代入得yE=. 由,x1≠-,那么直線BC的方程為y+=,令x=-1,得點G的縱坐標yG=. 把y1=k(x1+1)代入得yG=. yE+yG=+ = =. 把x1+x2=,x1x2=代入到 2x1x2+3(x1+x2)+4中,那么 2x1x2+3(x1+x2)+4=2×+3×+4=0. 即yE+yG=0,即|EF1|=|F1G|. 2.(2021·重慶模

19、擬)橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,右焦點為F,且橢圓C過點. (1)求橢圓C的方程. (2)假設點A,B分別為橢圓C的左右頂點,點P是橢圓C上不同于A,B的動點,直線AP與直線x=a交于點Q,證明:以線段BQ為直徑的圓與直線PF相切. 【解析】(1)設橢圓C的焦距為2c(c>0),依題意,,解得a=2,b=,c=1,故橢圓C的標準方程為+=1. (2)方法一:①設點P的坐標為(x0,y0),x0≠±2, 因為P在橢圓上,所以+=1,所以=3-, 由A,B兩點的坐標為(-2,0),(2,0),所以直線AP的方程為:y=(x+2), 當x=2時y=,那么點Q的坐標為, 設

20、線段BQ的中點為T,那么點T的坐標為,有|BT|=, 當x0≠1時,直線PF的方程為:y=(x-1),整理為y0x-(x0-1)y-y0=0, 由+(x0-1)2=3-+-2x0+1=(-8x0+16)=(x0-4)2, 那么點T到直線PF的距離為d=== =, 由d=|BT|,故以BQ為直徑的圓與直線PF相切. ②當x0=1時,那么點P的坐標為或,直線PF的方程為x=1,直線AP的方程為x-2y+2=0或x+2y+2=0.將x=2代入直線AP的方程得點Q的坐標為(2,2)或(2,-2),線段BQ中點T的坐標為(2,1)或(2,-1),所以|BT|=1.又點T到直線PF的距離d=1,

21、 由d=|BT|,故以BQ為直徑的圓與直線PF相切. 方法二:由(1)知A(-2,0),B(2,0),F(1,0). 依題意,直線AP的斜率存在,設直線AP的方程為y=k(x+2), 設點P的坐標為(x0,y0),由,消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 所以-2+x0=,所以x0=, 所以y0=k(x0+2)=, 所以P的坐標為. 因為直線AP與x=2交點為Q, 所以Q的坐標為(2,4k),B(2,0), 所以以BQ為直徑的圓的圓心坐標為(2,2k),半徑為|2k|. ①當直線PF的斜率存在,即≠1,k2≠時直線PF的方程為y=(x-1),即y=(x-1),整理得4kx-(1-4k2)y-4k=0, 設圓心(2,2k)到直線PF的距離為d,那么 d====|2k|, 所以以BQ為直徑的圓與直線PF相切. ②當直線PF的斜率不存在,即k2=時,直線PF的方程為x=1.圓心坐標為(2,±1),圓的半徑為1,此時以BQ為直徑的圓與直線PF相切. - 15 -