2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算練習(xí) 理 北師大版

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1、 5.1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　平面向量的根本概念? 1.下面說(shuō)法正確的選項(xiàng)是 (　　) A.平面內(nèi)的單位向量是唯一的 B.所有單位向量的終點(diǎn)的集合為一個(gè)單位圓 C.所有的單位向量都是共線的 D.所有單位向量的模相等 【解析】選D.因?yàn)槠矫鎯?nèi)的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)單位向量的起點(diǎn)不同時(shí),其終點(diǎn)就不一定在同一個(gè)圓上,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)兩個(gè)單位向量的方向不相同也不相反時(shí),這兩個(gè)向量就不共線,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因?yàn)閱挝幌蛄康哪６嫉扔?,所以選項(xiàng)D正確. 2.給出以下命題: ①零向量是唯一沒(méi)有方向的向量; ②零向量的長(zhǎng)度等于0

2、; ③假設(shè)a,b都為非零向量,那么使 =0成立的條件是a與b反向共線. 其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選B.①錯(cuò)誤,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正確,由零向量的定義可知,零向量的長(zhǎng)度為0;③正確,因?yàn)槎际菃挝幌蛄?所以只有當(dāng)與是相反向量,即a與b反向共線時(shí)才成立. 1.解答向量概念型題目的要點(diǎn) (1)準(zhǔn)確理解向量的有關(guān)知識(shí),應(yīng)重點(diǎn)把握兩個(gè)要點(diǎn):大小和方向. (2)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量,準(zhǔn)確運(yùn)用定義和運(yùn)算律仍需從大小和方向角度去理解. 2.(1)兩個(gè)向量不能比擬大小,只可以判斷它們是否相等,但它們的?？梢员?/p>

3、擬大小. (2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素,分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征. (3)向量可以自由平移,任意一組平行向量都可以移到同一直線上. 考點(diǎn)二　平面向量的線性運(yùn)算? 【典例】1.(2021·全國(guó)卷I)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),那么= (　　) A.- B.- C.+ D.+ 2.設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=AB,BE=BC.假設(shè)=λ1+λ2 (λ1、λ2為實(shí)數(shù)),那么λ1+λ2的值為　　　. 【解題導(dǎo)思】 序號(hào) 聯(lián)想解題 1 由“那么=〞及選項(xiàng),想到平面向量線性運(yùn)算. 2 由“=λ1+λ2〞,想到

4、平面向量線性運(yùn)算 【解析】1.選A.如下圖 =-=-=-·(+) =-. 【一題多解】選A.在△ABC中,找到向量,,對(duì)于選項(xiàng)A,作出向量,,再作-,與向量比擬,發(fā)現(xiàn)相等,所以選A. 2.=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=. 答案: 1.平面向量的線性運(yùn)算技巧 (1)不含圖形的情況:可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法那么求解. (2)含圖形的情況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用向量表示出來(lái)求解. 2.三種運(yùn)算法那么的關(guān)注點(diǎn) (1)加法的三角形法那么要求“首尾相接〞,平行四邊形法那么要求

5、“起點(diǎn)相同〞. (2)減法的三角形法那么要求“起點(diǎn)相同〞且差向量指向“被減向量〞. (3)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量,運(yùn)算過(guò)程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算. 1.(2021·榆林模擬)點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,且=2,那么= (　　) A.+ B.+ C.+ D.+ 【解析】選C.如圖,因?yàn)?2,所以=,所以=+=+=+ (-)=+. 2.在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足=2,=.假設(shè)=x+y,那么x=　　　; y=　　　　.? 【解析】由,=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-. 答案:　- 考點(diǎn)三　 共線向量定理及其應(yīng)用? 命 題 精

6、解 讀 1.考什么:(1)判斷向量共線,三點(diǎn)共線問(wèn)題,含參數(shù)綜合問(wèn)題;(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合的思想. 2.怎么考:與解析幾何,三角函數(shù)圖像與性質(zhì),三角恒等變換結(jié)合考查求參數(shù),最值等. 3.新趨勢(shì):以考查共線向量定理的應(yīng)用為主. 學(xué) 霸 好 方 法 1.證明向量共線的方法: 應(yīng)用向量共線定理.對(duì)于向量a,b(b≠0),假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,那么a與b共線. 2.證明A,B,C三點(diǎn)共線的方法:假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得=λ,那么A,B,C三點(diǎn)共線. 3.解決含參數(shù)的共線問(wèn)題的方法: 經(jīng)常用到平面幾何的性質(zhì),構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組,解方程或方程組得

7、到參數(shù)值. 向量共線問(wèn)題 【典例】(2021·西安模擬)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量,且向量a+λb與-(b-2a)共線,那么λ=　　　. 【解析】因?yàn)閍+λb與2a-b共線,設(shè)a+λb=k(2a-b),那么(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以 解得k=,λ=-. 答案:- 三點(diǎn)共線問(wèn)題 【典例】(2021·鄭州模擬)設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量,=3e1+2e2,=ke1+e2, =3e1-2ke2,假設(shè)A,B,D三點(diǎn)共線,那么k的值為　　　. 【解析】因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3

8、e1-2ke2-(ke1+e2)= (3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1與e2不共線,所以解得k=-. 答案:- 解決三點(diǎn)共線問(wèn)題應(yīng)注意什么問(wèn)題? 提示:應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線,即A,B,C三點(diǎn)共線?,共線. 含參數(shù)綜合問(wèn)題 【典例】(2021·唐山模擬)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2, BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,假設(shè)=+μ,那么μ的取值范圍是　　　 【解析】由AD=1,CD=,所以=2. 因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上,所以=λ(0

9、≤λ≤1).因?yàn)?+,又=+ μ=+2μ=+,所以=1,即μ=.因?yàn)?≤λ≤1,所以0≤μ≤. 答案: 1.O是正方形ABCD的中心.假設(shè)=λ+μ,其中λ,μ∈R,那么=(　　) A.-2 B.- C.- D. 【解析】選A.=+=+=-+=-,所以λ=1,μ=-,因此=-2. 2.(2021·大同模擬)△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足++=,那么△PBC與△ABC的面積之比是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.因?yàn)?+=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn),且PC=AC,由三角形的面積公式知,==. 3.P是△ABC

10、所在平面上的一點(diǎn),滿足++=2,假設(shè)S△ABC=6,那么△PAB的面積為 (　　) A.2 B.3 C.4 D.8 【解析】選A.因?yàn)?+=2=2(-), 所以3=-=,所以∥,方向相同,所以===3,S△PAB= =2. 1.O,A,B三點(diǎn)不共線,P為該平面內(nèi)一點(diǎn),且=+,那么 (　　) A.點(diǎn)P在線段AB上 B.點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上 C.點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上 D.點(diǎn)P在射線AB上 【解析】選D.由=+得-=,所以=·,所以點(diǎn)P在射線AB上. 2.莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形,且與黃金分割有著密切

11、的聯(lián)系.在如下圖的正五角星中,以P,Q,R,S,T為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且=.以下關(guān)系中正確的 是 (　　) A.-= B.+= C.-= D.+= 【解析】選A.由,-=-===,所以A正確;+= +==,所以B錯(cuò)誤;-=-==,所以C錯(cuò)誤; +=+,==-,假設(shè)+=,那么=0,不合題意,所以D錯(cuò)誤. 3.點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)M滿足|λ--|=0且S△ABC= 3S△ABM,那么實(shí)數(shù)λ=　　　.? 【解析】如圖,設(shè)D為BC的中點(diǎn),那么+=2, 因?yàn)閨λ--|=0, 所以λ--=0,所以 λ=+=2, 于是A,M,D三點(diǎn)共線,且=, 又S△ABC=3S△ABM,所以=, 又因?yàn)镾△ABD=S△ABC且==, 所以==×,解得λ=±3. 答案:±3 - 8 -