2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.3 圓的方程練習(xí) 理 北師大版

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1、 10.3 圓的方程 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　 求圓的方程? 1.圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是 (　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 2.三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),那么△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 (　　) A. B. C. D. 3.假設(shè)圓C的半徑為1,圓心C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,那么圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　) A.x2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1 C.(x-

2、1)2+y2=1 D.x2+(y-3)2=1 4.圓(x-2)2+y2=4關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的方程是 (　　) A.(x-)2+(y-1)2=4　 B.(x-)2+(y-)2=4 C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4 5.圓C經(jīng)過P(-2,4),Q(3,-1)兩點(diǎn),且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6,那么圓C的方程為________. 【解析】1.選D.由題意可得圓的半徑為r=,那么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+ (y-1)2=2. 2.選B.圓心在直線BC的垂直平分線,即x=1上,設(shè)圓心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,解得b=,所以圓心到原

3、點(diǎn)的距離為 d==. 3.選A.因?yàn)閳A心C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C(0,0),所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=1. 4.選D.設(shè)圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b), 那么有解得a=1,b=,從而所求圓的方程為(x-1)2+(y-)2=4. 5.設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得 又令y=0,得x2+Dx+F=0.?、? 設(shè)x1,x2是方程③的兩根, 由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④ 聯(lián)立①②④,解得D=-2,E=-4,

4、F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0. 答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0 　求圓的方程的兩種方法 (1)幾何法,通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的根本量.確定圓的方程時(shí),常用到的圓的三個(gè)性質(zhì):①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上;②圓心在任一弦的中垂線上;③兩圓內(nèi)切或外切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線; (2)代數(shù)法,即設(shè)出圓的方程,用待定系數(shù)法求解: ①假設(shè)條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),那么設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值. ②假設(shè)條

5、件沒有明確給出圓心或半徑,那么選擇圓的一般方程,依據(jù)條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值. 【秒殺絕招】 　第4題的解答可以畫出直線與圓的圖形,發(fā)現(xiàn)直線的傾斜角為30°,所以圓心M(2,0)的對(duì)稱圓心M′,和原點(diǎn)O構(gòu)成等邊三角形,所以xM ′=2cos 60°=1,yM ′ =2sin 60°=. 考點(diǎn)二　與圓有關(guān)的軌跡問題? 【典例】1.(2021·貴陽模擬)圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過點(diǎn)A(2,3)作圓C的任意弦,那么這些弦的中點(diǎn)P的軌跡方程為________.? 2.直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求: (1)直

6、角頂點(diǎn)C的軌跡方程. (2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程. 【解題導(dǎo)思】 序號(hào) 聯(lián)想解題 1 看到中點(diǎn)想到中點(diǎn)坐標(biāo)公式 2 看到直角想到垂直關(guān)系,從而聯(lián)想到斜率之積為-1或者向量的數(shù)量積為0 【解析】1.方法一:設(shè)P(x,y),圓心C(1,1). 因?yàn)镻點(diǎn)是過點(diǎn)A的弦的中點(diǎn),所以⊥. 又因?yàn)?(2-x,3-y),=(1-x,1-y). 所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0. 所以P點(diǎn)的軌跡方程為+(y-2)2=. 方法二: 由得,PA⊥PC,所以由圓的性質(zhì)知點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上,圓心C(1,1),而AC中點(diǎn)為,|AC|==,所以半徑為. 所

7、求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為+(y-2)2=. 答案:+(y-2)2= 2.(1)方法一:設(shè)C(x,y),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化簡(jiǎn)得x2+y2-2x-3=0.因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y≠0). 方法二:設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|CD|=|AB|=2.由圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)). 所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0).

8、 (2)設(shè)M(x,y),C(x0,y0),因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0),將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(y≠0). 　求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法: (1)直接法,直接根據(jù)題目提供的條件列出方程; (2)定義法,根據(jù)圓、直線等定義列方程; (3)幾何法,利用圓的幾何性質(zhì)列方程; (4)代入法,找到要求點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系,代入點(diǎn)滿足的關(guān)系式等. 　設(shè)定點(diǎn)M

9、(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡. 【解析】如下圖, 設(shè)P(x,y),N(x0,y0),那么線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為,線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分, 故=,=.從而 又N(x+3,y-4)在圓上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求軌跡為圓:(x+3)2+(y-4)2=4,但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上時(shí)的情況). 考點(diǎn)三　與圓有關(guān)的最值問題? 命題 精解 讀 1.考什么:(1)圓的幾何性質(zhì);(2)根本不等式;(3)函數(shù)的單調(diào)性. 2.怎么考:以選擇題或填空題的形式考查

10、3.新趨勢(shì):(1)借助幾何性質(zhì)求解;(2)建立函數(shù)關(guān)系求解. 學(xué)霸 好方 法 方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件:A=C≠0,B=0,且D2+E2-4AF>0. 1.解決與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)的最值問題:轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的最值問題. 2.過x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程:x0x+y0y=r2. 利用幾何法求最值 【典例】1.(2021·南寧模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,(x1-2)2+=5, x2-2y2+4=0,那么(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】選B.由得點(diǎn)(

11、x1,y1)在圓(x-2)2+y2=5上,點(diǎn)(x2,y2)在直線x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圓(x-2)2+y2=5上的點(diǎn)和直線x-2y+4=0上點(diǎn)的距離的平方,而距離的最小值為-=,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值為. 2.(2021·聊城模擬)M(m,n)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn), (1)求m+2n的最大值.(2)求的最大值和最小值. 【解析】(1)因?yàn)閤2+y2-4x-14y+45=0的圓心C(2,7),半徑r=2, 設(shè)m+2n=t,將m+2n=t看成直線方程, 因?yàn)樵撝本€與圓有公共點(diǎn), 所以圓心到直線

12、的距離d=≤2,解上式得:16-2≤t≤16+2, 所以,所求的最大值為16+2. (2)記點(diǎn)Q(-2,3).因?yàn)楸硎局本€MQ的斜率,設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0,那么=k. 由直線MQ與圓C有公共點(diǎn), 所以≤2.可得2-≤k≤2+,所以的最大值為2+,最小值為2-. 用代數(shù)法求最值 【典例】1.假設(shè)點(diǎn)P為圓x2+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)為兩個(gè)定點(diǎn),那么|PA|+|PB|的最大值為(　　) A.2　 B.2　 C.4　 D.4 【解析】選B.由得,線段AB為圓的直徑. 所以|PA|2+|PB|2

13、=4, 由根本不等式得 ≤=2, 當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)取等號(hào),所以|PA|+|PB|≤2. 2.圓C過點(diǎn)P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱. (1)求圓C的方程. (2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求·的最小值. 【解析】(1)設(shè)圓心C(a,b),由得M(-2,-2),那么 解得 那么圓C的方程為x2+y2=r2,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2=2,故圓C的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)Q(x,y),那么x2+y2=2, ·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2) =x2+y2+x+y-4=x+y-2. 令x=

14、cos θ,y=sin θ, 所以·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2 =2sin-2, 又=-1, 所以·的最小值為-4. 1.假設(shè)直線ax+by+1=0(a>0,b>0)把圓(x+4)2+(y+1)2=16分成面積相等的兩局部,那么+的最小值為 (　　) A.10 B.8 C.5 D.4 【解析】選B.因?yàn)閳A(x+4)2+(y+1)2=16的圓心坐標(biāo)為(-4,-1),直線ax+by+1=0把圓分成面積相等的兩局部,所以該直線過點(diǎn)(-4,-1),-4a-b+1=0,即4a+b=1, +=+(4a+b)=4++≥4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=時(shí)取“

15、=〞. 2.(2021·廈門模擬)兩點(diǎn)A(0,-3),B(4,0),假設(shè)點(diǎn)P是圓C:x2+y2-2y=0上的動(dòng)點(diǎn),那么△ABP的面積的最小值為 (　　) A.6　 B. C.8　 D. 【解析】選B.x2+y2-2y=0可化為x2+(y-1)2=1,那么圓C為以(0,1)為圓心,1為半徑的圓. 如圖,過圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P, 連接BP,AP,這時(shí)△ABP的面積最小,直線AB的方程為+=1,即3x-4y-12=0,圓心C到直線AB的距離d=, 又|AB|==5,所以△ABP的面積的最小值為×5×=. 1.點(diǎn)P(t,t),t∈R,點(diǎn)M是圓x2+(y-1

16、)2=上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是圓(x-2)2+y2=上的動(dòng)點(diǎn),那么|PN|-|PM|的最大值是 (　　) A.-1　 B.2　 C.3　 D. 【解析】選B.易知圓x2+(y-1)2=的圓心為A(0,1),圓(x-2)2+y2=的圓心為B(2,0),P(t,t)在直線y=x上,A(0,1)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1,0),那么 |PN|-|PM|≤- =|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA′|+1≤|A′B|+1=2.(此時(shí)|PN|最大,|PM|最小) 2.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓:x2+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),那么·的最大值為_____

17、___.? 【解析】由題意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn),故其坐標(biāo)滿足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以,當(dāng)y=4時(shí),·的值最大,最大值為6×4-12=12. 答案:12 3.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=-圖像上的任意一點(diǎn),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a,a-3)(a∈R),那么|PQ|的最小值為________.? 【解析】函數(shù)y=-的圖像表示圓(x-1)2+y2=4在x軸及下方的局部,令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),那么得y=-3,即x-2y-6=0,作出圖像如下圖, 由于圓心(1,0)到直線x-2y-6=0的距離d= =>2,所以直線x-2y-6=0與圓(x-1)2+y2=4相離,因此|PQ|的最小值是-2. 答案:-2 - 10 -