2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 數(shù)列 8.5.2 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題練習(xí) 理 北師大版

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1、 8.5.2 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　數(shù)列與函數(shù)的綜合? 1.設(shè){an}是等比數(shù)列,函數(shù)y=x2-x-2 021的兩個(gè)零點(diǎn)是a2,a3,那么a1a4等于 (　　) A.2 021 B.1 C.-1 D.-2 021 2.在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=2,且點(diǎn)(,)在直線x-9y=0上,那么數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn等于 (　　) A.3n-1 B. C. D. 3.f(x)=2sin x,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素從小到大依次排成一列,得到數(shù)列{an},n∈N*.數(shù)列

2、{an}的通項(xiàng)公式為________________.? 4.函數(shù)f(x)=log2x,假設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)使得2,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+4成等差數(shù)列,那么數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=________. 【解析】1.選D.由題意a2,a3是x2-x-2 021=0的兩根. 由根與系數(shù)的關(guān)系得a2a3=-2 021. 又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021. 2.選A.由點(diǎn)(,)在直線x-9y=0上,得-9=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0

3、,即=3,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=2,公比q=3的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn==3n-1. 3.因?yàn)閨f(x)|=2,所以x=kπ+,k∈Z,x=2k+1,k∈Z. 又因?yàn)閤>0,所以an=2n-1(n∈N*). 答案:an=2n-1(n∈N*) 4.設(shè)等差數(shù)列的公差為d, 那么由題意,得2n+4=2+(n+1)d, 解得d=2, 于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,…, 從而a1=24,a2=26,a3=28,…. 易知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比q==4, 所以Sn==(4n-1). 答案:(4n-1) 1.將題2改為函數(shù)f(x)=xα

4、的圖像過點(diǎn)(4,2),令an=,n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,那么S2 021等于 (　　) A. -1 B. -1 C. -1 D.2+1 【解析】選C.由f(4)=2可得4α=2,解得α=, 那么f(x)= .所以an===-,S2 021=a1+a2+a3+… +a2 021=(-)+(-)+(-)+…+(-)+ (-)=-1. 2.數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=ncos2-sin2,其前n項(xiàng)和為Sn,那么S40為(　　) A.10 B.15 C.20 D.25 【解析】選C.由題意得,an=ncos2-sin2 =ncos,那么a1=0,a

5、2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n, 那么S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40) =-2+4-…+40=20. 數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略 (1)函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像研究數(shù)列問題. (2)數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形. 注意數(shù)列與函數(shù)的不同,數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),在解決問題時(shí)要注意這一特殊性. 【秒殺絕招】 特例法解T2:由題意(,

6、)在直線x-9y=0上,所以—9=0,因?yàn)閍1=2,易得a2=6,所以S2=8.驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)可排除BCD. 考點(diǎn)二　數(shù)列與不等式的綜合? 【典例】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=,an=-2·Sn·Sn-1(n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an. (2)求證:++…+≤-. 【解題導(dǎo)思】 序號(hào) 題目拆解 (1) ①an=-2Sn·Sn-1(n≥2) 利用an=Sn-Sn-1將an=-2Sn·Sn-1轉(zhuǎn)化為Sn,Sn-1的關(guān)系 ②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an 先求出,利用an=-2Sn·Sn-1進(jìn)而求得an. (2) 求證:++…+≤-. 由

7、(1)得Sn=,由=<,放縮后利用裂項(xiàng)相消法求和是解題的關(guān)鍵 【解析】(1)因?yàn)閍n=-2Sn·Sn-1(n≥2), 所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1. 兩邊同除以Sn·Sn-1,得-=2(n≥2), 所以數(shù)列是以==2為首項(xiàng),以d=2為公差的等差數(shù)列, 所以=+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n, 所以Sn=.將Sn=代入an=-2Sn·Sn-1, 得an= (2)因?yàn)?<=(n≥2), =,所以當(dāng)n≥2時(shí),++…+ =++…+ <++…+=-; 當(dāng)n=1時(shí),==-. 綜上,++…+≤-. 　數(shù)列與不等式的綜合問題 (1)判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系,可

8、以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大小. (2)以數(shù)列為載體,考查不等式恒成立的問題,此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值. (3)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題,此類問題一般采用放縮法進(jìn)行證明,有時(shí)也可通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明. 數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明:是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式. (2)證明:++…+<. 【解析】(1)由an+1=3an+1得an+1+=3. 又a1+=,所以是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列.所以an+=, 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)由(1)知=.因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),3n-1≥2×3n-1

9、,所以≤.于是++…+≤1++…+=<.所以++…+<. 考點(diǎn)三　數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用? 命題 精解 讀 1.考什么:(1)考查求最值、比較大小、求取值范圍等問題. (2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)及 函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法. 2.怎么考:以數(shù)列為載體,考查利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像或不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮、比較大小、求范圍或最值、證明結(jié)論等. 3.新趨勢(shì):與函數(shù)、不等式綜合問題的考查 學(xué)霸 好方 法 1.求最值(或取值范圍)問題的解題思路 先構(gòu)造數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=f(x),x∈(0,+∞).再由以下方法求最值: (1)利用函數(shù)的單調(diào)性 (2)利用

10、均值不等式 (3)利用導(dǎo)數(shù) 注意是在正整數(shù)內(nèi)討論的. 2.交匯問題 與函數(shù)、不等式交匯時(shí),依據(jù)函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解. 求最值問題 【典例】1.在等差數(shù)列{an}中,假設(shè)a1<0,Sn為其前n項(xiàng)和且S7=S17,那么Sn最小時(shí)的n的值為 (　　) A.12或13 B.11或12 C.11 D.12 2.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,為a6與a14的等比中項(xiàng),那么a3+3a17的最小值為 (　　) A.2 B.89 C.6 D.3 【解析】1.選D.由S7=S17,依據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性知當(dāng)n=12時(shí),Sn最小. 2.選C.因?yàn)閧an}是正項(xiàng)等比

11、數(shù)列,且為a6與a14的等比中項(xiàng),所以a6a14=3=a3a17, 那么a3+3a17=a3+3·≥2=6, 當(dāng)且僅當(dāng)a3=3時(shí),等號(hào)成立, 所以a3+3a17的最小值為6. 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值常用的方法有哪些? 提示:(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出最值; (2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),便可求得和的最值; (3)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. 比較大小 【典例】數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a6=b7,那么有 (　　) A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9

12、≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9與b4+b10的大小不確定 【解析】選B.因?yàn)閍3+a9≥2=2=2a6=2b7=b4+b10,當(dāng)且僅當(dāng)a3=a9時(shí)取等號(hào). 此題利用均值不等式比較兩個(gè)式子的大小,恰到好處.利用均值不等式≥時(shí)一定要滿足其成立的三個(gè)條件分別是什么? 提示:(1)a,b均為正數(shù).(2)a,b的和或積必須有一個(gè)為定值.(3)a=b時(shí)等號(hào)成立. 求取值范圍問題 【典例】設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,假設(shè)對(duì)任意的n∈N*,不等式4Tn

13、為an=2n-1, 所以==, 所以Tn= =<, 又4Tn0,解得,q=, 因?yàn)榇嬖趦身?xiàng)am,an使得8=a1, 所以64qm+n-2=,整理,得m+n=8, 所以+=

14、(m+n) =≥=2, 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào),此時(shí)m,n∈N*,又m+n=8,所以只有當(dāng)m=6,n=2時(shí),+取得最小值是2. 答案:2 2.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn+3)(n∈N*)在函數(shù)y=3×2x的圖像上,等比數(shù)列{bn}滿足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n項(xiàng)和為Tn,那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 (　　) A.Sn=2Tn B.Tn=2bn+1 C.Tn>an D.Tn

15、2n-3-(3×2n-1-3) =3×2n-1, 又當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3, 所以an=3×2n-1. 設(shè)bn=b1qn-1,那么b1qn-1+b1qn=3×2n-1, 可得b1=1,q=2, 所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1. 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得Tn=2n-1. 結(jié)合選項(xiàng)可知,只有D正確. 3.a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).假設(shè)a1>1,那么 (　　) A.a1a3,a2a4 D.a1>a3,a2>a4 【解析】選B.因

16、為ln x≤x-1(x>0), 所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1, 所以a4=a1·q3≤-1.由a1>1,得q<0. 假設(shè)q≤-1,那么ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4 =a1(1+q)·(1+q2)≤0. 又a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1, 所以ln(a1+a2+a3)>0,矛盾.因此-10,a2-a4=a1q(1-q2)<0, 所以a1>a3,a2

17、n}滿足a1=-1,且=2×+1(其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和),那么f(a5)+f(a6)= (　　) A.-3 B.-2 C.3 D.2 【解析】選C.由f=f(x)可知函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=.又函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù), 所以有f=f(x)=-f, 所以f=-f(x),即f(x-3)=f(x),所以函數(shù)y=f(x)的周期為3. 由=2×+1得Sn=2an+n. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an+n-(2an-1+n-1)=2an-2an-1+1, 即an=2an-1-1,所以a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63,

18、那么f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0).由函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)可得f(0)=0,由f(-2)=-3可得f(-2)=f(1)=-3,所以f(a5)+f(a6)=3. 2.(2021·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S9=-a5. (1)假設(shè)a3=4,求{an}的通項(xiàng)公式. (2)假設(shè)a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍. 【解析】(1)設(shè){an}的公差為d. 由S9=-a5得a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4. 于是a1=8,d=-2. 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=10-2n. (2)由S9=-a5得a1=-4d, 故an=(n-5)d,Sn= . 由a1>0知d<0,故Sn≥an等價(jià)于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10. 所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}. 可修改 歡迎下載 精品 Word