2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例練習(xí) 理 北師大版

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1、 4.7 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　測(cè)量距離問(wèn)題 1.如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高是60m,那么河流的寬度BC= (　　) A.240(-1)m B.180(-1)m C.120(-1)m D.30(+1)m 2.一船以每小時(shí)15km的速度向東行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60°,行駛4小時(shí)后,船到達(dá)C處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15°,這時(shí)船與燈塔的距離 為 (　　) A.60km　　 B.60km　 C.30km　　 D.30km 3.(2021·衡陽(yáng)

2、模擬)如圖,為了測(cè)量A,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上B,D兩點(diǎn),測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B與∠D互補(bǔ),那么AC的長(zhǎng)為 (　　) A.7km B.8km　 C.9km　 D.6km 4.如圖,海中有一小島C,一小船從A地出發(fā)由西向東航行,望見(jiàn)小島C在北偏東60°,航行8海里到達(dá)B處,望見(jiàn)小島C在北偏東15°,假設(shè)此小船不改變航行的方向繼續(xù)前行2(-1)海里,那么離小島C的距離為 (　　) A.8(+2)海里　　　 　 B.2(-1)海里 C.2(+1)海里 D.4(+1)海里 【解

3、析】1.選C.記氣球在地面的投影為D,在Rt△ABD中,cos15°=,又cos15°=cos(60°-45°)=,所以AB=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以BC==AB=120(-1)(m). 2.選A.畫(huà)出圖形如下圖,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60, ∠B=45°,由正弦定理得=, 所以BC===60, 所以船與燈塔的距離為60km. 3.選A.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即AC2=25+64-2×5×8cosB=89-80cosB.在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,即

4、AC2=25+9-2×5×3cosD=34-30cosD.因?yàn)椤螧與∠D互補(bǔ),所以cosB=-cosD,所以-=,解得AC=7(km). 4.選C.BC===4, 所以離小島C的距離為 = =2(+1)海里. 　距離問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解法 1.類型:測(cè)量距離問(wèn)題常分為三種類型:山兩側(cè)、河兩岸、河對(duì)岸. 2.解法:選擇適宜的輔助測(cè)量點(diǎn),構(gòu)造三角形,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題,從而利用正、余弦定理求解. 【秒殺絕招】 直角三角形解T1,記氣球在地面的投影為D,在Rt△ACD中,tan60°=,所以CD=60,在Rt△ABD中,因?yàn)閠an15°=,tan15°=tan

5、(60°-45°) ==2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m). 考點(diǎn)二　測(cè)量高度問(wèn)題 【典例】1.一架直升飛機(jī)在200m高度處進(jìn)行測(cè)繪,測(cè)得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,那么塔高為 (　　) A.m　 B.m C.m D.m 2.如圖,在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍,從兩塔底部連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角.那么從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為　　　　;塔BB1的高為　　　　m. 【解題

6、導(dǎo)思】 序號(hào) 聯(lián)想解題 1 由“測(cè)得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°〞,想到作圖,建立數(shù)學(xué)模型 2 由“60m〞“從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍〞“從兩塔底部連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角〞,想到△A1AC∽△CBB1 【解析】1.選A.如下圖. 在Rt△ACD中,CD==BE, 在△ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=200-=(m). 2.設(shè)從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為α,那么AA1=60tanαm,BB1=60tan2αm.因?yàn)閺膬伤撞窟B線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,

7、所以△A1AC∽ △CBB1,所以=,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=(負(fù)值舍去),所以tan2α=,BB1=60tan2α=45m. 答案:　45 　求解高度問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn) 1.在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí),要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵. 2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題. 1.(2021·宜春模擬)某工廠實(shí)施煤改電工程防治霧霾,欲撤除高為AB的煙囪, 測(cè)繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C,D,測(cè)得∠BCD=75°, ∠BDC=60°,CD=

8、40米,并在點(diǎn)C處的正上方E處觀測(cè)頂部A的仰角為30°,且CE=1米,那么煙囪高AB=　　　　米. 【解析】∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°, 在△CBD中,由正弦定理得BC==20, 所以AB=1+tan30°·CB=1+20(米). 答案:(1+20) 2.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,那么此山的高度CD=　　　　　m. 【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根據(jù)正弦定理知,=,即BC=×

9、sin∠BAC=×=300(m), 所以CD=BC×tan∠DBC=300×=100(m). 答案:100 考點(diǎn)三　測(cè)量角度問(wèn)題 命 題 精 解 讀 1.考什么:航行方向問(wèn)題,航行時(shí)間、速度問(wèn)題等等. 2.怎么考:考查運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決航向,時(shí)間,速度等實(shí)際問(wèn)題. 3.新趨勢(shì):運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題. 學(xué) 霸 好 方 法 1.不要搞錯(cuò)各種角的含義,不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混. 2.在實(shí)際問(wèn)題中,可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題,這時(shí)可以畫(huà)兩個(gè)圖形,一個(gè)空間圖形,一個(gè)平面圖形,這樣將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題,處理

10、起來(lái)既清楚又不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤. 方向問(wèn)題 【典例】如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,那么燈塔A在燈塔B的 (　　) A.北偏東10°　 B.北偏西10° C.南偏東80° D.南偏西80° 【解析】選D.由條件及題干圖知,∠CAB=∠CBA=40°, 又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°, 所以∠DBA=10°, 因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°. 解決測(cè)量角度問(wèn)題時(shí)有哪些考前須知? 提示:1.測(cè)量角度時(shí),首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義. 2.求角的大小時(shí),先在三角形中求出其正弦

11、或余弦值. 3.在解應(yīng)用題時(shí),要由正確畫(huà)出示意圖,通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題,解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理使用的優(yōu)點(diǎn). 時(shí)間、速度問(wèn)題 【典例】如圖,據(jù)氣象部門(mén)預(yù)報(bào),在距離某碼頭南偏東45°方向600kmA處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動(dòng),距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,那么該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為 (　　) A.14h　　　 B.15h　　　 C.16h　　　 D.17h 【解析】選B.記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A,t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)點(diǎn)B位置,在△OAB中,OA=600km,AB=20tkm,∠OA

12、B=45°,由余弦定理得OB2=6002+400t2-2×20t×600×,令OB2≤4502,即4t2-120t+1575≤0,解得≤t≤,所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為-=15(h). 如何求解碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間? 提示:熱帶風(fēng)暴速度,所以將時(shí)間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為路程問(wèn)題,即求出碼頭受到熱帶風(fēng)暴影響時(shí)的風(fēng)暴路線長(zhǎng)度.運(yùn)用解三角形知識(shí)求解即可. 1.如下圖,兩座花壇A和B與教學(xué)樓C的距離相等,花壇A在教學(xué)樓C的北偏東40°的方向上,花壇B在教學(xué)樓C的南偏東60°的方向上,那么花壇A在花壇B的　　　　的方向上. 【解析】由,∠ABC=(180°-80°)=50°

13、,所以花壇A在花壇B的北偏西10°的方向上. 答案:北偏西10° 2.在一次抗洪搶險(xiǎn)中,某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng),失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行,此時(shí),風(fēng)向是北偏東30°,風(fēng)速是20km/h;水的流向是正東,流速是20km/h,假設(shè)不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|　　　　,大小為　　　　km/h. 【解析】如圖∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20,∠COY=30°+30°=60°. 答案:60°　20 1.如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,

14、那么從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.30°　 B.45° C.60° D.75° 【解析】選B.由,AD=20m,AC=30m, 又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得 cos∠CAD= ===, 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°, 所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°. 2.如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處(-1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向,距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)

15、的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.問(wèn):緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間. 【解析】設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí),才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船,那么CD=10t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理得, BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(-1)2+22-2(-1)×2×cos120°=6,解得BC=, 又因?yàn)?, 所以sin∠ABC===, 所以∠ABC=45°,B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上, 所以∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD中,由正弦定理,得 =, 所以sin∠BCD===. 所以∠BCD=30°,緝私船沿北偏東60°的方向行駛. 又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°, 所以∠D=30°,所以BD=BC,即10t=, 解得t=(小時(shí))≈15(分鐘). 所以緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛,才能最快截獲走私船,大約需要15分鐘. - 10 -