2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.3 三角恒等變形練習(xí) 理 北師大版

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1、 4.3 三角恒等變形 核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 考點(diǎn)一　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值? 1.(2021·阜陽(yáng)模擬)假設(shè)sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β= ,且α為第二象限角,那么tan = (　　) A.7　 B. C.-7　 D.- 2.(2021·全國(guó)卷Ⅱ)α∈ ,2sin 2α=cos 2α+1,那么sin α=(　　) A. B. C. D. 3.化簡(jiǎn): =　　　　.? 【解析】1.選B.因?yàn)閟in(α-β)sin β-cos(α-β)cos β= , 即-cos(α-β+β)=-cos α= ,所以cos

2、 α=- . 又因?yàn)棣翞榈诙笙藿?所以tan α=- , 所以tan = = . 2.選B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,結(jié)合sin2α+cos2α=1,解得sin α= . 3.原式= = = =1. 答案:1 1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看〞原那么 2.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法 弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪. 在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升〞和“次升角降〞是根本的規(guī)律,根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí),一般需要升次. 【一題多解】 倍角降次解T3,原式= = = = =1.

3、 三角形法解T2,因?yàn)棣痢?,所以sin α>0,cos α>0,由2sin 2α =cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,tan α= ,畫直角三角形如圖, 不妨設(shè)角α對(duì)邊為1,鄰邊為2,那么斜邊為 ,sin α= . 考點(diǎn)二　條件求值問題? 命題 精解讀 1.考什么:(1)給角求值,給值求值,給值求角等. (2)考查邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 2.怎么考:誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合考查求三角函數(shù)值,角的值等. 學(xué)霸 好方法 條件求值的四個(gè)必備結(jié)論 (1)降冪公式:cos2α= ,s

4、in2α= . (2)升冪公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. (3)公式變形:tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β). (4)輔助角公式:asin x+bcos x= sin(x+φ) 其中sin φ= ,cos φ= 給角求值 【典例】(2021·沈陽(yáng)四校聯(lián)考)化簡(jiǎn): - =　　　　. 【解析】 - = = = =4. 答案:4 給角求值如何求解? 提示:(1)觀察角,分析角之間的差異,巧用誘導(dǎo)公式或拆分. (2)觀察名,盡可能使函數(shù)統(tǒng)一名稱. (3)觀察結(jié)構(gòu),利用公式,整體化簡(jiǎn). 給

5、值求值 【典例】1.(2021·全國(guó)卷Ⅱ)sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,那么sin(α+β)=　　　　.? 2.(2021·全國(guó)卷Ⅱ)tan = ,那么tan α=　　　　. 【解析】1.由sin α+cos β=1與cos α+sin β=0分別平方相加得sin2α +2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2 β=1,即2+2sin αcos β +2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=- . 答案:- 2.因?yàn)閠an =tan = , 所以 = ,解得tan α= . 答案: 給值

6、求值問題如何求解? 提示:(1)化簡(jiǎn)所求式子. (2)觀察條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手). (3)將條件代入所求式子,化簡(jiǎn)求值. 給值求角 【典例】(2021·長(zhǎng)春模擬)sin α= ,sin(α-β)=- , α,β均為銳角,那么角β值是　　　　. 【解析】因?yàn)棣?β均為銳角,所以- <α-β< . 又sin(α-β)=- ,所以cos(α-β)= . 又sin α= ,所以cos α= ,sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) = × - × = ,所以β= . 答案: 如何選取

7、適宜的三角函數(shù)求角? 提示:(1)正切函數(shù)值,選正切函數(shù). (2)正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù).假設(shè)角的范圍是 ,選正、余弦函數(shù)皆可;假設(shè)角的范圍是(0,π),選余弦函數(shù)較好;假設(shè)角的范圍為 ,選正弦函數(shù)較好. (3)由角的范圍,結(jié)合所求三角函數(shù)值寫出要求的角. 1.(2021·滁州模擬)假設(shè)銳角α,β滿足tan α+tan β= - tan αtan β,那么α+β=　　　　.? 【解析】由可得 = ,即tan(α+β)= .又因?yàn)? α+β∈(0,π),所以α+β= . 答案: 2.(2021·福州模擬)A,B均為鈍角,sin2 +cos = ,且 sin

8、 B= ,那么A+B= (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.因?yàn)閟in2 +cos = , 所以 + cos A- sin A= , 即 - sin A= ,解得sin A= . 因?yàn)锳為鈍角,所以cos A=- =- =- .由sin B= ,且B為鈍角, 得cos B=- =- =- .所以cos(A+B)=cos Acos B -sin Asin B= × - × = .又A,B都為鈍角,即 A,B∈ ,所以A+B∈(π,2π),所以A+B= . 3.(2021·佛山模擬)cos α= ,α∈(-π,0),那么cos = (　　) A.

9、- B.- C. D. 【解析】選A.因?yàn)閏os α= ,α∈(-π,0), 所以sin α=- =- , 所以cos =cos αcos +sin αsin = × + × =- . 1.(2021·貴陽(yáng)模擬)sin415°-cos415°= (　　) A. B.- C. D.- 【解析】選D. sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°) =sin215°-cos215°=-cos 30°=- . 2.定義運(yùn)算 =ad-bc.假設(shè)cos α= , = ,0<β<α< ,那

10、么β=　　　　.? 【解析】由得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= .又0<β<α< ,所以0<α-β< ,所以cos(α-β)= = ,而cos α= ,所以 sin α= ,于是sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)- cosαsin(α-β)= × - × = ,所以β= . 答案: 考點(diǎn)三　三角恒等變換的綜合應(yīng)用? 【典例】1.如圖,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B為圓心,BA為半徑在矩形內(nèi)部作弧,點(diǎn)P是弧上一動(dòng)點(diǎn),PM⊥OA,垂足為M,PN⊥OC,垂足為N,求四邊形OMPN的周長(zhǎng)的最小值. 【解析

11、】連接BP,設(shè)∠CBP=α, 其中0≤α< , 那么PM=1-sin α,PN=2-cos α, 那么周長(zhǎng)C=6-2(sin α+cos α) =6-2 sin , 因?yàn)?≤α< ,所以 ≤α+ < , 故當(dāng)α+ = ,即α= 時(shí),周長(zhǎng)C有最小值6-2 . 2.(2021·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin x,x∈R. (1)θ∈[0,2π),函數(shù)f(x+θ)是偶函數(shù),求θ的值. (2)求函數(shù)y= + 的值域. 【解題導(dǎo)思】 序號(hào) 聯(lián)想解題 (1) 看到“f(x+θ)是偶函數(shù)〞,想到偶函數(shù)的性質(zhì),即f(-x+θ)=f(x+θ) (2) 看到“求函數(shù)y= +

12、 的值域〞,想到先化簡(jiǎn)y= + 【解析】(1)因?yàn)閒(x+θ)=sin(x+θ)是偶函數(shù),所以,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有 sin(x+θ)=sin(-x+θ), 即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ, 故2sin xcos θ=0, 所以cos θ=0. 又θ∈[0,2π),因此θ= 或 . (2)y= + =sin2 +sin2 = + =1- =1- cos . 因此,函數(shù)的值域是 . 1.三角函數(shù)應(yīng)用題的處理方法 (1)結(jié)合具體圖形引進(jìn)角為參數(shù),利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn),解決最優(yōu)化問題. (

13、2)解決三角函數(shù)應(yīng)用問題和解決一般應(yīng)用性問題一樣,先建模,再討論變量的范圍,最后得出結(jié)論并答復(fù)下列問題. 2.三角恒等變換在研究三角函數(shù)圖像和性質(zhì)中的應(yīng)用 (1)圖像變換問題:先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y=Asin +b或余弦型函數(shù)y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再進(jìn)行圖像變換. (2)函數(shù)性質(zhì)問題:求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟 ①利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式; ②利用公式T= (ω>0)求周期; ③根據(jù)自變量的范圍確定ωx+φ的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線

14、求值域或最值,另外求最值時(shí),根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn),也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值; ④根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的單調(diào)區(qū)間. 1. 如圖是半徑為1的半圓,且四邊形PQRS是半圓的內(nèi)接矩形,設(shè)∠SOP=α,求α為何值時(shí)矩形的面積最大,并求出最大值. 【解析】因?yàn)椤蟂OP=α,所以PS=sin α,SR=2cos α,故S矩形PQRS=SR·PS =2cos α·sin α=sin 2α,故當(dāng)α= 時(shí),矩形的面積有最大值1. 2.(2021·合肥模擬)函數(shù)f(x)=sin2x-sin2 ,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值. 【解析】(1)由得f(x)= - = - cos 2x = sin 2x- cos 2x= sin . 所以f(x)的最小正周期T= =π. (2)由(1)知f(x)= sin . 因?yàn)? ≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ , 所以當(dāng)2x- =- , 即x=- 時(shí),f(x)有最小值- ; 當(dāng)2x- = ,即x= 時(shí),f(x)有最大值 . 所以f(x)在 上的最大值為 ,最小值為- . - 12 -