2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大（?。┲?第2課時(shí) 函數(shù)的最大（?。┲到虒W(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解函數(shù)最大(小)值的含義并會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的最大(小)值.2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的最大(小)值.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的最值教學(xué)重點(diǎn)：1.函數(shù)最大(小)值的含義及其幾何意義.2.求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值教學(xué)難點(diǎn)：求較復(fù)雜函數(shù)的最值.【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的最大值(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最大值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最小值(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最小值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)【新知拓展】(1)并不是每一個(gè)函數(shù)都有最值，如函數(shù)y，既沒有最大值，也沒有最小值(2)有些函數(shù)只有最大(小)值，沒有最小(大)值，如函數(shù)yx2(yx2)(3)特別地，對(duì)于常函數(shù)f(x)C，它的最大值和最小值都是C.1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值()(2)函數(shù)的最小值一定比最大值小()(3)若函數(shù)yf(x)有最大值，則這個(gè)最大值唯一()(4)若函數(shù)yf(x)的最大值是M，則使f(x0)M的x0是唯一的()(5)對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果它的函數(shù)值都不小于3，那么該函數(shù)的最小值是3.()答案(1)×(2)×(3)(4)×(5)×2做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)函數(shù)f(x)x2在0,1上的最大值是_(2)函數(shù)y在2,6上的最大值與最小值之和等于_(3)函數(shù)y2x22，xN*的最小值是_答案(1)1(2)(3)4題型一 利用圖象求函數(shù)最值例1(1)已知函數(shù)f(x)求f(x)的最大值、最小值；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最小值解(1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖)由圖象可知，當(dāng)x±1時(shí)，f(x)取最大值為f(±1)1；當(dāng)x0時(shí)，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.(2)f(x)的圖象如圖所示，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)和0，)，函數(shù)的最小值為f(0)1.金版點(diǎn)睛圖象法求最值的一般步驟求函數(shù)y|x1|x2|的最大值和最小值解y|x1|x2|作出函數(shù)的圖象，如圖所示由圖可知，y3,3所以函數(shù)的最大值為3，最小值為3.題型二 利用單調(diào)性求函數(shù)最值例2求函數(shù)f(x)x在x1,3上的最大值與最小值解設(shè)1x1x23，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).又因?yàn)閤1<x2，所以x1x2<0.當(dāng)1x1x22時(shí)，1<0，所以f(x1)f(x2)>0，所以f(x)在1,2上單調(diào)遞減當(dāng)2<x1<x23時(shí)，1>0，所以f(x1)f(x2)<0.所以f(x)在(2,3上單調(diào)遞增所以f(x)的最小值為f(2)24.又因?yàn)閒(1)5，f(3)3<f(1)，所以f(x)的最大值為5.金版點(diǎn)睛利用單調(diào)性求函數(shù)最值(1)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值是常用方法，特別是當(dāng)函數(shù)圖象不易作出時(shí)，單調(diào)性幾乎成為首選方法(2)注意對(duì)問題中求最值的區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系進(jìn)行辨析；注意對(duì)問題中求最值的區(qū)間的端點(diǎn)值的取舍求函數(shù)y在區(qū)間1,2上的最大值和最小值解令f(x)，x1，x21,2，且x1<x2，則f(x1)f(x2)，因?yàn)?x1x22，所以2<x1x2<4，即6<3(x1x2)12，又1<x1x2<4，x2x1>0，故f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)y在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，所以ymaxf(1)，yminf(2)4.題型三 求二次函數(shù)的最值例3(1)已知函數(shù)f(x)x22x3，若x0,2，求函數(shù)f(x)的最值；(2)已知函數(shù)f(x)x22x3，若xt，t2，求函數(shù)f(x)的最值；(3)已知函數(shù)f(x)x22ax2，x1,1，求函數(shù)f(x)的最小值；(4)已知函數(shù)f(x)x23，求函數(shù)f(x)的最值解(1)函數(shù)f(x)x22x3圖象的開口向上，對(duì)稱軸x1，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.(2)由(1)知對(duì)稱軸x1，當(dāng)1t2即t1時(shí)，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.當(dāng)1<t2，即1<t0時(shí)，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.當(dāng)t1<，即0<t1時(shí)，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.當(dāng)1<t，即t>1時(shí)，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.設(shè)函數(shù)最大值為g(t)，最小值為(t)，則有g(shù)(t)(t)(3)f(x)x22ax2(xa)22a2的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線xa.當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減，最小值為f(1)32a；當(dāng)1a1時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，最小值為f(a)2a2；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，最小值為f(1)32a.(4)設(shè)t(t0)，則x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上單調(diào)遞減，在1，)上單調(diào)遞增，當(dāng)t1，即x1時(shí)，f(x)min4，無最大值金版點(diǎn)睛二次函數(shù)最值的求法(1)探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出yf(x)的草圖，然后根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于“定對(duì)稱軸變區(qū)間”“變對(duì)稱軸定區(qū)間”的情況，特別要注意二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點(diǎn)處取得(2)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的位置通常有三種關(guān)系：對(duì)稱軸在定義域的右側(cè)；對(duì)稱軸在定義域的左側(cè)；對(duì)稱軸在定義域區(qū)間內(nèi)(3)對(duì)某些函數(shù)，可通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，如函數(shù)f(x)x23.(1)已知函數(shù)f(x)x42x23，求函數(shù)f(x)的最值；(2)求二次函數(shù)f(x)x22ax2在2,4上的最小值；(3)求函數(shù)f(x)x22x2在區(qū)間t，t1上的最小值g(t)解(1)設(shè)x2t(t0)，則x42x23t22t3.令yt22t3(t0)在0,1上單調(diào)遞減，在1，)上單調(diào)遞增當(dāng)t1，即x±1時(shí)，f(x)min4，無最大值(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是xa，當(dāng)a<2時(shí)，f(x)在2,4上單調(diào)遞增，f(x)minf(2)64a.當(dāng)a>4時(shí)，f(x)在2,4上單調(diào)遞減，f(x)minf(4)188a.當(dāng)2a4時(shí)，f(x)minf(a)2a2.f(x)min(3)f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，對(duì)稱軸為x1.當(dāng)t1<1，即t<0時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，最小值為g(t)f(t1)t21；當(dāng)t1t1，即0t1時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，最小值為g(t)f(1)1；當(dāng)t>1時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞增，最小值為g(t)f(t)t22t2.綜上可得，g(t)題型四 應(yīng)用題中的最值問題例4某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)其中x是儀器的月產(chǎn)量(單位：臺(tái))(1)將利潤(rùn)表示為關(guān)于月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益總成本利潤(rùn))解(1)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為(20000100x)元，從而f(x)(2)當(dāng)0x400時(shí)，f(x)(x300)225000，當(dāng)x300時(shí)，f(x)max25000；當(dāng)x>400時(shí)，f(x)60000100x是減函數(shù)，f(x)<60000100×40020000<25000.當(dāng)x300時(shí)，f(x)max25000.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元金版點(diǎn)睛解實(shí)際應(yīng)用題的四個(gè)步驟(1)審題：解讀實(shí)際問題，找出已知條件、未知條件，確定自變量和因變量的條件關(guān)系(2)建模：建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式(3)求解：分析函數(shù)性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究問題解法(一定注意自變量的取值范圍)(4)回歸：數(shù)學(xué)問題回歸實(shí)際問題，寫出答案某水廠蓄水池有水450噸，水廠每小時(shí)向蓄水池注水80噸，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)供水，t小時(shí)內(nèi)供水量為80 噸，現(xiàn)在開始向池中注水并同時(shí)向居民供水，多少小時(shí)后蓄水池中水量最少？解設(shè)t小時(shí)后，池中水量為y噸，則y45080t804(10)250，當(dāng)10，即t5時(shí)，ymin50，所以，5小時(shí)后蓄水池中水量最少，只有50噸1函數(shù)f(x)在2，)上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大、最小值分別為()A3,0 B3,1C3，無最小值 D3，2答案C解析觀察圖象可以知道，圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)，從而其最大值是3；另外從圖象看，無最低點(diǎn)，即該函數(shù)不存在最小值故選C.2已知函數(shù)f(x)x22，其中x0,2，這個(gè)函數(shù)的最大值和最小值分別為()A2和1 B2和2C2和1 D1和2答案B解析f(x)x22在區(qū)間0,2上單調(diào)遞增，ymaxf(2)2，yminf(0)2.3長(zhǎng)為4，寬為3的矩形，當(dāng)長(zhǎng)增加x，且寬減少時(shí)，面積S最大，此時(shí)x的值為()A. B1 C. D2答案B解析S(4x)x2x12(x1)2，又即0<x<6，當(dāng)x1時(shí)，S取最大值.故選B.4函數(shù)f(x)(x3,5)是_函數(shù)(填“增”或“減”)，它的最大值是_，最小值是_答案減62解析易知函數(shù)是減函數(shù)，從而f(x)的最大值是f(3)6，最小值是f(5)2.5已知二次函數(shù)yx24x5，分別求下列條件下函數(shù)的最小值：(1)x1,0；(2)xa，a1解(1)二次函數(shù)yx24x5圖象的對(duì)稱軸為x2且開口向上，二次函數(shù)在x1,0上單調(diào)遞減ymin024×055.(2)當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)在xa，a1上單調(diào)遞增，ymina24a5；當(dāng)a12，即a1時(shí)，函數(shù)在a，a1上單調(diào)遞減，ymin(a1)24(a1)5a22a2；當(dāng)a<2<a1，即1<a<2時(shí)，ymin224×251.故函數(shù)的最小值為- 9 -