2019-2020學年高中數(shù)學 第3講 柯西不等式與排序不等式 1 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5
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2019-2020學年高中數(shù)學 第3講 柯西不等式與排序不等式 1 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5
一二維形式的柯西不等式學習目標:1.認識柯西不等式的幾種不同形式,理解其幾何意義(難點)2.通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題(重點)教材整理二維形式的柯西不等式閱讀教材P31P36,完成下列問題內(nèi)容等號成立的條件代數(shù)形式若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2b2)·(c2d2)(acbd)2當且僅當adbc時,等號成立向量形式設(shè),是兩個向量,則|·|當且僅當是零向量,或存在實數(shù)k,使k時,等號成立三角形式設(shè)x1,y1,x2,y2R,那么當且僅當P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三點共線且P1,P2在點O兩旁時,等號成立已知xy1,那么2x23y2的最小值是()A.B.C.D.B2x23y2(2x23y2)·(xy)2.二維柯西不等式的向量形式及應(yīng)用【例1】已知p,q均為正數(shù),且p3q32.求證:pq2.精彩點撥為了利用柯西不等式的向量形式,可分別構(gòu)造兩個向量·.又(pq)22(p2q2),p2q2,·,則(pq)48(pq)又pq>0,(pq)38,故pq2.使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式,關(guān)鍵是合理構(gòu)造出兩個向量同時,要注意向量模的計算公式|a|對數(shù)學式子變形的影響1若本例的條件中,把“p3q32”改為“p2q22”,試判斷結(jié)論是否仍然成立?解設(shè)m(p,q),n(1,1),則pqp·1q·1|m·n|m|·|n|·.又p2q22.pq·2.故仍有結(jié)論pq2成立.運用柯西不等式求最值【例2】若2x3y1,求4x29y2的最小值精彩點撥由2x3y1以及4x29y2的形式,聯(lián)系柯西不等式,可以通過構(gòu)造(1212)作為一個因式而解決問題自主解答由柯西不等式得(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2,當且僅當2x×13y×1,即x,y時取等號4x29y2的最小值為.1利用柯西不等式求最值,不但要注意等號成立的條件,而且要善于配湊,保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果2常用的配湊的技巧有:巧拆常數(shù);重新安排某些項的次序;適當添項;適當改變結(jié)構(gòu),從而達到運用柯西不等式求最值的目的2若3x4y2,試求x2y2的最小值及最小值點解由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2,得25(x2y2)4.所以x2y2,當且僅當時,“”成立為求最小值點,需解方程組因此,當x,y時,x2y2取得最小值,最小值為,最小值點為.二維柯西不等式代數(shù)形式的應(yīng)用探究問題在二維形式的柯西不等式中,取等號的條件可以寫成嗎?提示不可以當b·d0時,柯西不等式成立,但不成立【例3】已知|3x4y|5,求證:x2y21.精彩點撥探求已知條件與待證不等式之間的關(guān)系,設(shè)法構(gòu)造柯西不等式進行證明自主解答由柯西不等式可知(x2y2)(3242)(3x4y)2,所以(x2y2).又因為|3x4y|5,所以1,即x2y21.1利用二維形式的柯西不等式證明時,要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,必要時,需要將數(shù)學表達式適當變形2變形往往要求具有很高的技巧,必須善于分析題目的特征,根據(jù)題設(shè)條件,綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),找到突破口3設(shè)a,bR且ab2.求證:2.證明根據(jù)柯西不等式,有(2a)(2b)()2()2(ab)24.2,當且僅當··,即ab1時等號成立2.1設(shè)x,yR,且2x3y13,則x2y2的最小值為()A.B169C13 D0C(2x3y)2(2232)(x2y2),x2y213.2已知a,bR,且ab1,則()2的最大值是()A2 B.C6 D12D()2(1×1×)2(1212)(4a14b1)24(ab)22×(4×12)12,當且僅當,即ab時等號成立故選D.3平面向量a,b中,若a(4,3),|b|1,且a·b5,則向量b_.解析|a|5,且 |b|1,a·b|a|·|b|,因此,b與a共線,且方向相同,b.答案4已知x,y0,的最小值為4,則xy_.解析,4.又0,1,xy1.答案15已知x,y,a,bR,且1,求xy的最小值解構(gòu)造兩組實數(shù),;,.x,y,a,bR,1,xy()2()2()2,當且僅當,即時取等號,(xy)min()2.- 6 -