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2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 平面解析幾何 突破點(diǎn)13 圓錐曲線中的綜合問題(酌情自選)學(xué)案 文

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2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 平面解析幾何 突破點(diǎn)13 圓錐曲線中的綜合問題(酌情自選)學(xué)案 文

突破點(diǎn)13圓錐曲線中的綜合問題(酌情自選)核心知識提煉提煉1 解答圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題,從三個方面把握(1)從特殊開始,求出定值,再證明該值與變量無關(guān)(2)直接推理、計(jì)算,在整個過程中消去變量,得定值(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面,把參數(shù)從含有參數(shù)的項(xiàng)里面分離出來,并令其系數(shù)為零,可以解出定點(diǎn)坐標(biāo).提煉2 用代數(shù)法求最值與范圍問題時從下面幾個方面入手(1)若直線和圓錐曲線有兩個不同的交點(diǎn),則可以利用判別式求范圍(2)若已知曲線上任意一點(diǎn)、一定點(diǎn)或與定點(diǎn)構(gòu)成的圖形,則利用圓錐曲線的性質(zhì)(性質(zhì)中的范圍)求解(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系式直接求范圍(4)利用基本不等式求最值與范圍(5)利用函數(shù)值域的方法求最值與范圍.提煉3 與圓錐曲線有關(guān)的探索性問題(1)給出問題的一些特殊關(guān)系,要求探索出一些規(guī)律,并能論證所得規(guī)律的正確性通常要對已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析,然后概括出一般規(guī)律(2)對于只給出條件,探求“是否存在”類型問題,一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè),然后由假設(shè)出發(fā),結(jié)合已知條件進(jìn)行推理,若推出相符的結(jié)論,則存在性得到論證;若推出矛盾,則假設(shè)不存在高考真題回訪回訪1圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題1(2015·全國卷)已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)(2,)在C上(1)求C的方程;(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解 (1)由題意有,1,2分解得a28,b24.3分所以C的方程為14分(2)證明:設(shè)直線l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)將ykxb代入1,得(2k21)x24kbx2b2806分故xM,yMk·xMb8分于是直線OM的斜率kOM,即kOM·k.11分所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值12分回訪2圓錐曲線中的最值與范圍問題2(2016·全國卷)已知A是橢圓E:1的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA.(1)當(dāng)|AM|AN|時,求AMN的面積;(2)當(dāng)2|AM|AN|時,證明:<k<2.解 (1)設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為.又A(2,0),因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0.解得y0或y,所以y1.因此AMN的面積SAMN2×××4分(2)證明:設(shè)直線AM的方程為yk(x2)(k0),代入1得(34k2)x216k2x16k2120.由x1·(2)得x1,故|AM|x12|.由題意,設(shè)直線AN的方程為y(x2),故同理可得|AN|.7分由2|AM|AN|得,即4k36k23k80.9分設(shè)f(t)4t36t23t8,則k是f(t)的零點(diǎn)f(t)12t212t33(2t1)20,所以f(t)在(0,)單調(diào)遞增又f()15260,f(2)60,因此f(t)在(0,)上有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在(,2)內(nèi),所以k212分回訪3與圓錐曲線有關(guān)的探索性問題3(2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:yt(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y22px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,連接ON并延長交C于點(diǎn)H. (1)求;(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說明理由解 (1)如圖,由已知得M(0,t),P1分又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn),故N,故直線ON的方程為yx,將其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10,x2.因此H4分所以N為OH的中點(diǎn),即26分(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn)理由如下:7分直線MH的方程為ytx,即x(yt).9分代入y22px得y24ty4t20,解得y1y22t,即直線MH與C只有一個公共點(diǎn),所以除H以外,直線MH與C沒有其他公共點(diǎn)12分熱點(diǎn)題型1圓錐曲線中的定點(diǎn)問題題型分析:主要考查直線、曲線過定點(diǎn)或兩直線的交點(diǎn)在定直線上,以解答題為主【例1】(2017·鄭州二模)已知動圓M恒過點(diǎn)(0,1),且與直線y1相切(1)求圓心M的軌跡方程;(2)動直線l過點(diǎn)P(0,2),且與點(diǎn)M的軌跡交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱,求證:直線AC恒過定點(diǎn). 【導(dǎo)學(xué)號:04024115】解 (1)由題意,得點(diǎn)M與點(diǎn)(0,1)的距離始終等于點(diǎn)M到直線y1的距離,由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(diǎn)(0,1)為焦點(diǎn),直線y1為準(zhǔn)線的拋物線,則1,p2.圓心M的軌跡方程為x24y4分(2)證明:由題知,直線l的斜率存在,設(shè)直線l:ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2),則C(x2,y2),聯(lián)立得x24kx80,6分kAC,則直線AC的方程為yy1(xx1),8分即yy1(xx1)xx10分x1x28,yxx2,故直線AC恒過定點(diǎn)(0,2)12分方法指津動線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法(1)動直線l過定點(diǎn)問題,解法:設(shè)動直線方程(斜率存在)為ykxt,由題設(shè)條件將t用k表示為tmk,得yk(xm),故動直線過定點(diǎn)(m,0)(2)動曲線C過定點(diǎn)問題,解法:引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程,再根據(jù)其對參變量恒成立,令其系數(shù)等于零,得出定點(diǎn).變式訓(xùn)練1(2017·蘭州二模)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F1(2,0),點(diǎn)B(2,)在橢圓C上,直線ykx(k0)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ分別與y軸交于點(diǎn)M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由解 (1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0),橢圓的左焦點(diǎn)為F1(2,0),a2b242分點(diǎn)B(2,)在橢圓C上,1.解得a28,b24.橢圓C的方程為1.5分(2)依題意點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),設(shè)P(x0,y0)(不妨設(shè)x00),則Q(x0,y0),由得x0,y0,6分直線AP的方程為y(x2),7分直線AQ的方程為y(x2),8分M,N,9分|MN|.設(shè)MN的中點(diǎn)為E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為,10分則以MN為直徑的圓的方程為x22,即x2y2y4,令y0,得x2或x2,11分即以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn)H1(2,0),H2(2,0)12分熱點(diǎn)題型2圓錐曲線中的定值問題題型分析:圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,解決這類問題的關(guān)鍵是引入變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式恒成立,數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量【例2】(2016·重慶二模)已知橢圓C:1(ab0)上一點(diǎn)P與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于x軸,直線l:ykxm與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(均不在坐標(biāo)軸上)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若AOB的面積為,試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值? 【導(dǎo)學(xué)號:04024116】解 (1)由題意知解得3分橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為16分(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k23)x28kmx4m2120,5分由(8km)216(4k23)(m23)0,得m24k236分x1x2,x1x2,SOAB|m|x1x2|m|·,8分化簡得4k232m20,滿足0,從而有4k2m2m23(*),9分kOA·kOB·,由(*)式,得1,kOA·kOB,即直線OA與OB的斜率之積為定值12分方法指津求解定值問題的兩大途徑1由特例得出一個值(此值一般就是定值)2先將式子用動點(diǎn)坐標(biāo)或動線中的參數(shù)表示,再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值變式訓(xùn)練2已知橢圓C:1過A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程及離心率;(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值解 (1)由題意得a2,b1,橢圓C的方程為y214分又c,離心率e6分(2)證明:設(shè)P(x0,y0)(x00,y00),則x4y4.7分又A(2,0),B(0,1),直線PA的方程為y(x2)令x0,得yM,從而|BM|1yM18分直線PB的方程為yx1.令y0,得xN,從而|AN|2xN210分四邊形ABNM的面積S|AN|·|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值12分熱點(diǎn)題型3圓錐曲線中的最值、范圍問題題型分析:圓錐曲線中的最值、范圍問題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,解決此類問題常用的方法是幾何法和代數(shù)法【例3】(2017·東北三省四市模擬)已知橢圓C:y21(a0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn),以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P,點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是,求線段AB長的取值范圍解 (1)因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點(diǎn),所以bc1,a,所以橢圓C的方程為y214分(2)根據(jù)題意,直線A,B的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為yk(x1),與y21聯(lián)立,消去y并整理得(12k2)x24k2x2k220,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x1x2,x1·x2,y1y2k(x11)k(x21)k(x1x22),即M.則直線AB的垂直平分線為y,令y0,得xP,因?yàn)閤P,即0,所以0k2,|AB|.1,|AB|12分方法指津與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法1數(shù)形結(jié)合法:利用待求量的幾何意義,確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解2構(gòu)建不等式法:利用已知或隱含的不等關(guān)系,構(gòu)建以待求量為元的不等式求解3構(gòu)建函數(shù)法:先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù),再求其值域變式訓(xùn)練3(2017·長沙二模)已知平面內(nèi)一動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)B1(0,1)和B2(0,1)連線的斜率之積等于.(1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程;(2)設(shè)直線l:yxm(m0)與軌跡E交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P,當(dāng)m變化時,求PAB面積的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號:04024117】解 (1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),1分依題意得·,2分化簡得動點(diǎn)M的軌跡E的方程為y21(x0)4分(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立化簡得3x24mx2m220(x0),有兩個不同的交點(diǎn),由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2,x1x2,6分(4m)212(2m22)0,即m且m1,0,1.7分設(shè)A,B的中點(diǎn)為C(xC,yC),則xC,yCxCm,C,線段AB的垂直平分線方程為y,令y0,得P點(diǎn)坐標(biāo)為8分則點(diǎn)P到AB的距離d,9分由弦長公式得|AB|·,10分SPAB····,11分當(dāng)且僅當(dāng)m2,即m±(,)時,等號成立,PAB面積的最大值為12分熱點(diǎn)題型4圓錐曲線中的探索性問題題型分析:探索性問題一般分為探究條件和探究結(jié)論兩種類型,若探究條件,則可先假設(shè)條件成立,再驗(yàn)證結(jié)論是否成立,成立則存在,否則不存在若探究結(jié)論,則應(yīng)先寫出結(jié)論的表達(dá)式,再針對表達(dá)式進(jìn)行討論,往往涉及對參數(shù)的討論【例4】(2017·湘中名校聯(lián)考)如圖13­1,曲線C由上半橢圓C1:1(ab0,y0)和部分拋物線C2:yx21(y0)連接而成,C1與C2的公共點(diǎn)為A,B,其中C1的離心率為.(1)求a,b的值;(2)過點(diǎn)B的直線l與C1,C2分別交于點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A,B),是否存在直線l,使得以PQ為直徑的圓恰好過點(diǎn)A?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由圖13­1解 (1)在C1,C2的方程中,令y0,可得b1,且A(1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點(diǎn)由e及a2c2b21可得a2,a2,b12分(2)存在由(1)知,上半橢圓C1的方程為x21(y0).3分由題易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為yk(x1)(k0)代入C1的方程,整理得(k24)x22k2xk240.(*)5分設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP),直線l過點(diǎn)B,x1是方程(*)的一個根由求根公式,得xP,從而yP,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.7分同理,由得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(k1,k22k)(k,4),k(1,k2).9分連接AP、AQ(圖略),依題意可知APAQ,·0,即k4(k2)0,k0,k4(k2)0,解得k.11分經(jīng)檢驗(yàn),k符合題意,故直線l的方程為y(x1)12分方法指津探索性問題求解的思路及策略1思路:先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確,則存在;若結(jié)論不正確,則不存在2策略:(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論;(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件變式訓(xùn)練4(2017·呼和浩特一模)已知橢圓1(ab0)的離心率e,直線ybx2與圓x2y22相切(1)求橢圓的方程;(2)已知定點(diǎn)E(1,0),若直線ykx2(k0)與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),試判斷是否存在實(shí)數(shù)k,使得以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號:04024118】解 (1)直線l:ybx2與圓x2y22相切,b12分橢圓的離心率e,e22,a23,4分所求橢圓的方程是y21.5分(2)直線ykx2代入橢圓方程,消去y可得(13k2)x212kx90,36k2360,k1或k1.7分設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則有x1x2,x1x2.若以CD為直徑的圓過點(diǎn)E,則ECED.(x11,y1),(x21,y2),(x11)(x21)y1y20.9分(1k2)x1x2(2k1)(x1x2)50,10分(1k2)×(2k1)×50.解得k1.存在實(shí)數(shù)k使得以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E12分12

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