2022年高中數(shù)學(xué) 第八章 圓錐曲線教案 對(duì)稱問題教案教學(xué)案 蘇教版

2022年高中數(shù)學(xué) 第八章 圓錐曲線教案 對(duì)稱問題教案教學(xué)案 蘇教版教學(xué)目標(biāo)1引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握解決中心對(duì)稱及軸對(duì)稱問題的解析方法2通過對(duì)稱問題的研究求解，進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力3通過對(duì)稱問題的探討，使學(xué)生會(huì)進(jìn)一步運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，用轉(zhuǎn)化的思想來處理問題教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)兩曲線關(guān)于定點(diǎn)和定直線的對(duì)稱知識(shí)方法是重點(diǎn)把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題，即用對(duì)稱觀點(diǎn)解決實(shí)際問題是難點(diǎn)教學(xué)過程師：前面學(xué)過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質(zhì)今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關(guān)對(duì)稱的問題大家想一想：點(diǎn)P(x，y)、P(x，y)關(guān)于點(diǎn)Q(x0，y0)對(duì)稱，那么它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？師：P(x，y)，P(x，y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它們的坐標(biāo)滿足什么條件？生：P和P的中點(diǎn)是原點(diǎn)即x=-x且y=-y師：若P和P關(guān)于x軸對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又怎樣呢？生：x=x且y=-y師：若P和P關(guān)于y軸對(duì)稱，它們的坐標(biāo)有什么關(guān)系？生：y=y且x=-x師：若P和P關(guān)于直線y=x對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又會(huì)怎樣？生：y=x且x=y生：它們關(guān)于直線y=x對(duì)稱師：若P與P關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱，它們?cè)谖恢蒙嫌惺裁刺卣?？生：P和P必須在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)師：還有補(bǔ)充嗎？生：PP的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直師：P與P在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)且與直線垂直就能對(duì)稱了嗎？生：還需要保證P和P到直線Ax+By+C=0的距離相等師：P與P到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？生：就是P與P的中點(diǎn)落在直線Ax+By+C=0上，換句話說P與P的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程Ax+By+C=0師：下面誰來總結(jié)一下，兩點(diǎn)P(x，y)、P(x，y)關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱應(yīng)滿足的條件？生：應(yīng)滿足兩個(gè)條件第一個(gè)條件是PP的連線垂直于直線Ax+By+C=0，第二個(gè)條件是P，P的中點(diǎn)應(yīng)落在直線Ax+By+C=0上師：這兩個(gè)條件能否用方程表示呢？(在黑板上可畫出圖形(如圖2-72)，可直觀些)生：方程組：師：這個(gè)方程組成立說明了什么？它能解決什么問題？生：方程組中含有x，y，也可認(rèn)為這是一個(gè)含x，y的二元一次方程組換句話說，給定一個(gè)點(diǎn)P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點(diǎn)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)師：今后有很多有關(guān)對(duì)稱問題都可以用此方法處理，很有代表性但也還有其他方法，大家一起看下面的例題例1  已知直線l1和l2關(guān)于直線2x-2y+1=0對(duì)稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程(選題目的：熟悉對(duì)稱直線方程)師：哪位同學(xué)有思路請(qǐng)談?wù)勆合惹蟪鲆阎獌芍本€的交點(diǎn)，設(shè)l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點(diǎn)斜式求得l2的方程(讓這位同學(xué)在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正)由點(diǎn)斜式，l2的方程為4x-6y+3=0師：還有別的解法嗎？生：在直線l1上任取一點(diǎn)，求出這點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)，然后再利用交點(diǎn)，兩點(diǎn)式可求出l2的直線方程。(讓這位學(xué)生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯(cuò)誤，大家訂正)解  由方程組：師：還有別的解法嗎？生：在l2上任取一點(diǎn)P(x，y)，則P點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)P(x，y)在l1上，列出P，P的方程組，解出x，y，代入l1問題就解決了師：請(qǐng)你到黑板上把解題過程寫出來解  設(shè)P(x，y)為l2上的任意一點(diǎn)，則P點(diǎn)關(guān)于直線2x-2y+1=0對(duì)稱，點(diǎn)P(x，y)在l1上(如圖2-75)，又因?yàn)镻(x，y)在直線l1：3x-2y+1=0上，所以3·x-2y+1=0即l2的方程為：4x-6y+3=0師：很好，大家剛才的幾種解法是求對(duì)稱直線方程的常規(guī)方法那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關(guān)于一條直線對(duì)稱的曲線方程呢？引申：已知：曲線C：y=x2，求它關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的曲線方程(選題目的：進(jìn)一步熟悉對(duì)稱曲線方程的一般方法)師：例1中的幾種解法還都適用嗎？生：第二種和第三種方法還能適用師：誰來試一試？生：可先在y=x2上任取一點(diǎn)P0(x0，y0)，它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P(x1，y1)，可得它們的交點(diǎn)，從中解出x0，y0代入曲線y=x2即可(如圖2-76)(讓學(xué)生把他的解法寫出來)解  設(shè)P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的點(diǎn)為P(x1，y1)，因此，連結(jié)P0(x0，y0)和P(x1，y1)兩點(diǎn)的直線方程為y-y0=-(x-x0)師：還有不同的方法嗎？生：用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的方法也能解決師：把你的解法寫在黑板上生：解：設(shè)M(x，y)為所求的曲線上任一點(diǎn)，M0(x0，y0)是M關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的點(diǎn)，所以M0定在曲線C：y=x2上代入C的方程可得x=4y2+4y+6師：大家再看一個(gè)例子點(diǎn)出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程(如圖2-77)師：解這題的關(guān)鍵是什么？生：關(guān)鍵是找到x軸的交點(diǎn)師：有辦法找到交點(diǎn)嗎？生：沒人回答師：交點(diǎn)不好找，那么我們先假設(shè)M就是交點(diǎn)，利用交點(diǎn)M對(duì)解決這個(gè)問題有什么幫助嗎？生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點(diǎn)，這樣入射角就等于反射角，從而能推出AMO=DMx師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？生：可以先找A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A(0，-2)，由對(duì)稱的特征知：|AM|=|AM|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉(zhuǎn)化為|AM|+|MD|即|AD|師：|AD|怎么求呢？生：|AD|實(shí)際上是過A點(diǎn)到圓切線的長，要求切線長，只需先連結(jié)半徑CD，再連結(jié)AC，在RtACD，|CD|和|AC|都已知，|AD|就可以得到了(如圖2-77)(讓這位學(xué)生把解答寫在黑板上)解  已知點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(0，-2)，所求的路程即為師：巧用對(duì)稱性，化簡了計(jì)算，很好哪位同學(xué)能把這個(gè)題適當(dāng)改一下，變成另一個(gè)題目生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點(diǎn)，在x軸上，求一點(diǎn)P，使得|AP|+|PD|為最短師：誰能解答這個(gè)問題？生：先過A(0，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A(0，-2)，連結(jié)AD與x軸相交于點(diǎn)P，P為所求(如圖2-78)師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？生：因?yàn)锳，A關(guān)于x軸對(duì)稱，所以|AP|=|AP|，這時(shí)|AP|+|PD|=|AD|為線段，當(dāng)P點(diǎn)在x軸其他位置上時(shí)，如在P處，那么，連結(jié)AP、AP和PD這時(shí)|AP|+|PD|=|AP|+|PD|AD|理由(三角形兩邊之和大于第三邊)所以|AD|為最短即P為所求師：這題還能不能再做些變形，使之成為另一個(gè)題目？x軸和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|AM|+|MP|的最小值師：哪位同學(xué)能夠解決？生：先作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A(0，-2)，連結(jié)A和圓心C，AC交x軸于M點(diǎn)，交圓于P點(diǎn)，這時(shí)|AM|+|MP|最小(如圖2-79)師：你怎樣想到先找A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A的呢？生：由前題的結(jié)論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|AM|+|MP|最小師：很好，大家一起動(dòng)筆算一算(同時(shí)讓這位學(xué)生上前面書寫)生：解A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(0，-2)，連AC交x軸于M，交圓C于P點(diǎn)，因?yàn)锳(0，-2)，C(6，4)，所以|AC|=師：我們一起看下面的問題例3  若拋物線y=a·x2-1上總存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的范圍師：這題的思路是什么？生：如圖2-80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關(guān)于直線x=-師：很好，誰還有不同的解法嗎？生：曲線y=ax2-1關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方師：今天我們討論了有關(guān)點(diǎn)，直線，曲線關(guān)于定點(diǎn)，定直線，對(duì)稱的問題解決這些問題的關(guān)鍵所在就是牢固掌握靈活運(yùn)用兩點(diǎn)關(guān)于定直線對(duì)稱的思想方法，結(jié)合圖象利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題作業(yè)：1一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l的方程(2x-y+5=0)2ABCD是平行四邊形，已知點(diǎn)A(-1，3)和C(-3，2)，點(diǎn)D在直線x-3y-1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程是_(x-3y+20=0)3若光線從點(diǎn)A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點(diǎn)B(3，9)，則此光線所經(jīng)過的路程的長是_(12)4已知曲線C：y=-x2+x+2關(guān)于點(diǎn)(a，2a)對(duì)稱的曲線是C，若C與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求a的取值范圍(-2a1)設(shè)計(jì)說明1這節(jié)課是一節(jié)專題習(xí)題課，也可以認(rèn)為是復(fù)習(xí)題，通過討論對(duì)稱問題把有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，最重要的是充分突出以學(xué)生為主體讓學(xué)生討論和發(fā)言，就是讓學(xué)生參加到數(shù)學(xué)教學(xué)中來，使學(xué)生興趣盎然，思維活躍，同時(shí)對(duì)自己也充滿了信心這樣，才有利于發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性和思維能力因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有一定的時(shí)間讓學(xué)生充分地發(fā)表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力2這節(jié)課自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在腦海里留下一個(gè)深刻的印象，就是對(duì)稱問題，歸根結(jié)底都可以化成點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，即可用方程組去解決反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，這種從形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為我們處理解析幾何問題帶來了便利在解題時(shí)，只有站在一定的高度上去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學(xué)生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時(shí)水平才能提高得較快3習(xí)題課的一個(gè)中心就是解題，怎樣才能讓學(xué)生做盡可能少的題，從而讓學(xué)生掌握通理通法，這是一個(gè)值得研究和探討的問題本節(jié)課采取了讓學(xué)生把題目進(jìn)行一題多變，一題多解，從中使學(xué)生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達(dá)到盡可能做少量的題，而達(dá)到獲取盡可能多的知識(shí)、方法和規(guī)律的目的，真正提高學(xué)生的分析問題、提出問題、解決問題的能力解決當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過重的問題，根除題海戰(zhàn)術(shù)給學(xué)生帶來的危害4本課的例題選擇可根據(jù)自己所教學(xué)生的實(shí)際情況，下面幾個(gè)備用題可供參考題目1過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)A作這圓的切線l，M為l上任一點(diǎn)，過M作圓O的另一條切線，切點(diǎn)為Q，求點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，MAQ垂心的軌跡方程(選題目的：熟練用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，活用平幾簡化計(jì)算)解  如圖2-81所示P為AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設(shè)P(x1，y1)，Q(x0，y0)于是有x0=x1且題目2若拋物線y=x2上存在關(guān)于直線y=m(x-3)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解  (如圖2-82)設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線(選題目的：結(jié)合對(duì)稱問題，訓(xùn)練反證法的應(yīng)用)此題證法很多下面給一種證法供參考證明  如圖2-83，若P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱，可設(shè)P(a，b)、5本教案作業(yè)4，5題的參考解答：4題解設(shè)P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)(a，2a)的對(duì)稱點(diǎn)是P(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)聯(lián)立曲線C與C的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由0得-2a15題略解：如圖2-84，F(xiàn)1(-5，2)，F(xiàn)2(-1，2)，F(xiàn)1關(guān)于直線x-y=1的對(duì)稱點(diǎn)為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，