2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題探究課二習(xí)題 理 新人教A版(I)
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2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題探究課二習(xí)題 理 新人教A版(I)
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題探究課二習(xí)題 理 新人教A版(I)1.已知函數(shù)f(x)ln xx2ax(aR).若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),求a的取值范圍.解法一函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)ln xx2ax,f(x)2xa.函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,f(x)0,即2xa0對(duì)x(0,)都成立.a2x對(duì)x(0,)都成立.當(dāng)x0時(shí),2x22,當(dāng)且僅當(dāng)2x,即x時(shí)取等號(hào).a2,即a2.a的取值范圍為2,).法二函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)ln xx2ax,f(x)2xa.方程2x2ax10的判別式a28.當(dāng)0,即2a2時(shí),2x2ax10,此時(shí),f(x)0對(duì)x(0,)都成立,故函數(shù)f(x)在定義域(0,)上是增函數(shù).當(dāng)0,即a2或a2時(shí),要使函數(shù)f(x)在定義域(0,)上為增函數(shù),只需2x2ax10對(duì)x(0,)都成立.設(shè)h(x)2x2ax1,則解得a0.故a2.綜合得a的取值范圍為2,).2.(xx·蘇北四市調(diào)研)設(shè)f(x)ax3bxc(a0)為奇函數(shù),其圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x6y70垂直,導(dǎo)函數(shù)f(x)的最小值為12.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間,并求函數(shù)f(x)在1,3上的最大值和最小值.解(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x)f(x)即ax3bxcax3bxc所以c0,又f(x)3ax2b的最小值為12,所以b12.由題設(shè)知f(1)3ab6.所以a2,故f(x)2x312x.(2)f(x)6x2126(x)(x).當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況表如下:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)極大值極小值因?yàn)閒(1)10,f(3)18,f()8,f()8,當(dāng)x時(shí),f(x)min8;當(dāng)x3時(shí),f(x)max18.3.(xx·萊州一中模擬)已知f(x)xln x,g(x)x3ax2x2.(1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)g(x)的解析式;(2)對(duì)任意x(0,),2f(x)g(x)2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)g(x)3x22ax1由題意3x22ax10的解集是,即3x22ax10的兩根分別是,1.將x1或代入方程3x22ax10,得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)由題意2xln x3x22ax12在x(0,)上恒成立,可得aln xx,設(shè)h(x)ln xx,則h(x),令h(x)0,得x1或(舍),當(dāng)0x1時(shí),h(x)0,當(dāng)x1時(shí),h(x)0,所以當(dāng)x1時(shí),h(x)取得最大值,h(x)max2,所以a2,所以a的取值范圍是2,).4.(xx·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)證明:當(dāng)a0時(shí),f(x)2aaln .(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)2e2x(x0).當(dāng)a0時(shí),f(x)0,f(x)沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí),因?yàn)閥e2x在(0,)上單調(diào)遞增,y在(0,)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,)單調(diào)遞增.又f(a)0,當(dāng)b滿(mǎn)足0b且b時(shí),f(b)0,故當(dāng)a0時(shí),f(x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明由(1),可設(shè)f(x)在(0,)的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x(0,x0)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(x0,)時(shí),f(x)0.故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)xx0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0).由于2e2x00,所以f(x0)e2x0aln x0aln aln 2ax02ax0aln 2aaln .故當(dāng)a0時(shí),f(x)2aaln .5.(xx·廣東卷)設(shè)a>1,函數(shù)f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)在(,)上僅有一個(gè)零點(diǎn);(3)若曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸平行,且在點(diǎn)M(m,n)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),證明:m 1.(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex,xR,f(x)0恒成立.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,).(2)證明f(0)1a,f(a)(1a2)eaa,a>1,f(0)<0,f(a)>2aeaa>2aaa>0,f(0)·f(a)<0,f(x)在(0,a)上有一零點(diǎn),又f(x)在(,)上遞增,f(x)在(0,a)上僅有一個(gè)零點(diǎn),f(x)在(,)上僅有一個(gè)零點(diǎn).(3)證明f(x)(x1)2ex,設(shè)P(x0,y0),則f(x0)ex0(x01)20,x01,把x01,代入yf(x)得y0a,kOPa.f(m)em(m1)2a,令g(m)em(m1),g(m)em1.令g(x)>0,則m>0,g(m)在(0,)上增.令g(x)<0,則m<0,g(m)在(,0)上減.g(m)ming(0)0.em(m1)0,即emm1.em(m1)2(m1)3,即a(m1)3.m1 ,即m 1.6.(xx·蘇、錫、市、鎮(zhèn)模擬)已知函數(shù)f(x)x3xk在(b,f(b)處的切線(xiàn)方程為4xy10(b0).m(x)f(x)x31aln x,g(x),(aR).(1)求k,b的值;(2)設(shè)函數(shù)h(x)m(x)g(x),求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若在1,e(e2.718)上存在一點(diǎn)x0,使得m(x0)g(x0)成立,求a的取值范圍.解(1)由題意知:f(x)3x21,因?yàn)閒(x)x3xk在(b,f(b)處的切線(xiàn)方程為4xy10,其中b0.所以解得(2)h(x)xaln x.h(x)1.當(dāng)a10時(shí),即a1時(shí),當(dāng)x(0,1a)時(shí),h(x)0,當(dāng)x(1a,)時(shí),h(x)0,所以h(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減,在(1a,)上單調(diào)遞增.當(dāng)a10,即a1時(shí),當(dāng)x(0,)時(shí),h(x)0,所以函數(shù)h(x)在(0,)上單調(diào)遞增.(3)在1,e上存在一點(diǎn)x0,使得m(x0)g(x0)成立,即在1,e上存在一點(diǎn)x0,使得h(x)0.即函數(shù)h(x)xaln x在1,e上的最小值小于零.由(2)可知當(dāng)a1e,即ae1時(shí),h(x)在1,e上單調(diào)遞減,所以h(x)的最小值為h(e),由h(e)ea0可得a,因?yàn)閑1,所以a;當(dāng)a11,即a0時(shí),h(x)在1,e上單調(diào)遞增,所以h(x)最小值為h(1),由h(1)11a0可得a2;當(dāng)1a1e,即0ae1時(shí),可得h(x)最小值為h(1a),因?yàn)?ln(a1)1,所以0aln(a1)a,所以h(1a)2aaln(1a)2,此時(shí)h(1a)0不成立.綜上可得所求a的范圍是(,2)