2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(講)
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(講)【考綱解讀】考 點(diǎn)考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測(cè)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點(diǎn)取到極值的條件,會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值,會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值,會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題.xx浙江文科21,理科8,22;xx浙江文科21,理科22;xx浙江卷7,20. 1.以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值(最值)等問(wèn)題為主,與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結(jié)合; 2.單獨(dú)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn),綜合研究函數(shù)的性質(zhì)以大題呈現(xiàn);3.適度關(guān)注生活中的優(yōu)化問(wèn)題.3.備考重點(diǎn): (1) 熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是基礎(chǔ);(2) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)的基本方法,靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)方程思想等,分析問(wèn)題解決問(wèn)題.【知識(shí)清單】1. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象的識(shí)別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號(hào)等.解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)先觀(guān)察選項(xiàng)的不同之處,然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),進(jìn)而得到正確的選項(xiàng).如該題中函數(shù)解析式雖然比較復(fù)雜,但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項(xiàng).對(duì)點(diǎn)練習(xí):【xx浙江卷】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是【答案】D2與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題1方程有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)2求極值的步驟:先求的根(定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去);分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào):若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正,則為極小值點(diǎn);若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù),則為極大值點(diǎn).3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的,極值是函數(shù)的拐點(diǎn),也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn),而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上,通過(guò)判斷函數(shù)的大致圖像,從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.4函數(shù)的零點(diǎn)就是的根,所以可通過(guò)解方程得零點(diǎn),或者通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).對(duì)點(diǎn)練習(xí):【xx新課標(biāo)1卷】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍;(II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明:.【答案】【解析】()(i)設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)(ii)設(shè),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增又,取滿(mǎn)足且,則,故存在兩個(gè)零點(diǎn) ()不妨設(shè),由()知,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即由于,而,所以設(shè),則所以當(dāng)時(shí),而,故當(dāng)時(shí),從而,故3與不等式恒成立、有解、無(wú)解等問(wèn)題有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題不等式的恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁,也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題,往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn),等價(jià)變形,構(gòu)造函數(shù),借助圖象觀(guān)察,或參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理 :對(duì)點(diǎn)練習(xí):設(shè),函數(shù),若對(duì)任意的,都有成立,則的取值范圍為 【答案】4利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問(wèn)題無(wú)論不等式的證明還是解不等式,構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的思想,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性和最值),達(dá)到解題的目的,是一成不變的思路,合理構(gòu)思,善于從不同角度分析問(wèn)題,是解題的法寶.對(duì)點(diǎn)練習(xí):【xx課標(biāo)II,理】已知函數(shù),且。(1)求;(2)證明:存在唯一的極大值點(diǎn),且?!敬鸢浮?1);(2)證明略?!窘馕觥浚?)由(1)知 ,。設(shè),則。當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), ,所以 在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增?!究键c(diǎn)深度剖析】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具,它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點(diǎn)等從題型看,往往有一道選擇題或填空題,有一道解答題.其中解答題難度較大,常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查,且有綜合化更強(qiáng)的趨勢(shì)【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)【1-1】【xx河南開(kāi)封10月月考】函數(shù)y=4cosx-e|x|(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象可能是 A B C D【答案】A【解析】函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),排除B、D,若時(shí),當(dāng),當(dāng)時(shí),則,函數(shù)在上為減函數(shù),選A.【1-2】【xx·全國(guó)卷】函數(shù)y2x2e|x|在2,2的圖象大致為()【答案】D【領(lǐng)悟技法】導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系:若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為,且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方,則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí),由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【觸類(lèi)旁通】【變式一】【xx江西新余二?!繉⒑瘮?shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)后得到的圖象,設(shè),則的圖象大致為( )【答案】A【變式二】【xx·麗水模擬】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f(x),且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)【答案】D【解析】由題圖,當(dāng)x2時(shí),f(x)0;當(dāng)2x1時(shí),f(x)0;當(dāng)1x2時(shí),f(x)0;當(dāng)x2時(shí),f(x)0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值,在x2處取得極小值考點(diǎn)2 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題【2-1】【xx浙江杭州二?!吭O(shè)方程(, 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則( )A. 當(dāng)時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B. 當(dāng)時(shí),方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根C. 當(dāng)時(shí),方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 【答案】D【2-2】【xx課標(biāo)3,理11】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析:函數(shù)的零點(diǎn)滿(mǎn)足,設(shè),則,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,設(shè) ,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值 ,【領(lǐng)悟技法】1.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題:可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù),如果函數(shù)較為復(fù)雜,可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象. 2.方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題,可參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.3. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與 軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過(guò)對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題【觸類(lèi)旁通】【變式一】【xx湖南長(zhǎng)沙二模】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,則對(duì)任意,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有( )A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 6個(gè) D. 9個(gè)【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),由此可知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, , 且,數(shù)是定義在上的奇函數(shù), ,而時(shí), ,所以的圖象如圖,令,則,由圖可知,當(dāng)時(shí)方程至多3個(gè)根,當(dāng)時(shí)方程沒(méi)有根,而對(duì)任意, 至多有一個(gè)根,從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有3個(gè).【變式二】【xx安徽阜陽(yáng)二?!恳阎瘮?shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) ).(1)當(dāng)是,求證: ; (2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.【答案】()見(jiàn)解析;()試題解析:() ,.得: 且在上單增,在上單減()故等價(jià)于在上有唯一極大值點(diǎn)得: 故令,則又在上單增,由,得綜上, 考點(diǎn)3 與不等式恒成立、有解、無(wú)解等問(wèn)題有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題【3-1】若不等式對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】 所以在上是增函數(shù),在是減函數(shù).所以,所以.(2)令,則,因?yàn)椋?,所以易知,所以在上是增函?shù).易知當(dāng)時(shí),故在上無(wú)最小值,所以在上不能恒成立.綜上所述,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【3-2】已知函數(shù)(1)求在上的最小值; (2)若關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍 【答案】(1) ;(2).【解析】若,的最小值為,4分若,的最小值為,綜上,當(dāng)時(shí),的最小值為;當(dāng),的最小值為(2)由(1)知,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,且在上,又,則又時(shí),由不等式得或,而解集為,整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè),不合題意;時(shí),由不等式得,解集為,整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè),不合題意;時(shí),由不等式得或,解集為無(wú)整數(shù)解,若不等式有兩整數(shù)解,則,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是【領(lǐng)悟技法】含參數(shù)的不等式恒成立、有解、無(wú)解的處理方法:的圖象和圖象特點(diǎn)考考慮;構(gòu)造函數(shù)法,一般構(gòu)造,轉(zhuǎn)化為的最值處理;參變分離法,將不等式等價(jià)變形為,或,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 【觸類(lèi)旁通】【變式一】已知函數(shù),若存在,使得不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )A BC D【答案】C【解析】【變式二】【xx福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù), ()當(dāng)時(shí),求證:過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切;()當(dāng)時(shí), ,求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(I)詳見(jiàn)解析;(II).【解析】解法一:()當(dāng)時(shí), , 設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切,其切點(diǎn)為,則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為: ,因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn),所以,即 ,設(shè), , , , 在三個(gè)區(qū)間上至少各有一個(gè)根又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻€(gè)根,所以方程恰有三個(gè)根,故過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切(1)當(dāng)時(shí),從而(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)在上單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí), ,從而當(dāng)時(shí), ,在上單調(diào)遞減,又,從而當(dāng)時(shí), ,即于是當(dāng)時(shí), (2)當(dāng)時(shí),令,得,故當(dāng)時(shí), ,在上單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí), ,從而當(dāng)時(shí), ,解法二:()當(dāng)時(shí), , ,設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切,其切點(diǎn)為,則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn),所以,即 ,設(shè),則,令得當(dāng)變化時(shí), , 變化情況如下表:+0-0+極大值極小值考點(diǎn)4利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問(wèn)題【4-1】若的定義域?yàn)?,恒成立,則解集為( ) A B C D【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù),則,所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,又,所以解集為. 【4-2】【xx浙江溫州二模】.證明:(1)當(dāng),;(2)對(duì)任意,當(dāng)時(shí),.【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】試題解析:證明:(1)考慮函數(shù),則的導(dǎo)數(shù),從而,故在內(nèi)遞減,在內(nèi)遞增,因此對(duì)任意,都有,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立),所以當(dāng)時(shí),即;(2)由可知當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.令函數(shù),注意到,故要證與,只需證明在內(nèi)遞減,在內(nèi)遞增. 【領(lǐng)悟技法】1.利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0,其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零,這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口.2.利用導(dǎo)數(shù)解不等式的基本方法是構(gòu)造函數(shù),通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性 ,從而解不等式的方法.【觸類(lèi)旁通】【變式一】【xx廣東佛山二?!吭O(shè)函數(shù),其中, 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).()若是上的增函數(shù),求的取值范圍;()若,證明: .【答案】();()見(jiàn)解析.【解析】試題分析:(I)由于函數(shù)單調(diào)遞增,故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù),分離常數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此得到的取值范圍;(II)將原不等式,轉(zhuǎn)化為,令,求出的導(dǎo)數(shù),對(duì)分成兩類(lèi),討論函數(shù)的最小值,由此證得,由此證得.試題解析:令, , 是上的減函數(shù),又,故1是的唯一零點(diǎn), 當(dāng), , , 遞增;當(dāng), , , 遞減;故當(dāng)時(shí), 取得極大值且為最大值,所以,即的取值范圍是.() .令(),以下證明當(dāng)時(shí), 的最小值大于0.求導(dǎo)得 .當(dāng)時(shí), , ;當(dāng)時(shí), ,令,則 ,又 ,取且使,即,則 ,因?yàn)椋蚀嬖谖ㄒ涣泓c(diǎn),即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn),又, 【變式二】【xx課標(biāo)3,理21】已知函數(shù) .(1)若 ,求a的值;(2)設(shè)m為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù)n ,求m的最小值.【答案】(1) ;(2) 【解析】【易錯(cuò)試題常警惕】易錯(cuò)典例:已知函數(shù).()求的單調(diào)區(qū)間;()設(shè),若對(duì)任意,均存在,使得,求的取值范圍易錯(cuò)分析:()忽視定義域致誤;()對(duì)全稱(chēng)量詞和特稱(chēng)量詞理解不深刻致誤正確解析:.(). 當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上,;在區(qū)間上,故的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí), 在區(qū)間和上,;在區(qū)間上,故的單調(diào)遞增區(qū)間是和,單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí), 故的單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí), 在區(qū)間和上,;在區(qū)間上,故的單調(diào)遞增區(qū)間是和,單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故.由可知,所以, 綜上所述,, 溫馨提醒:(1)研究函數(shù)問(wèn)題應(yīng)豎立定義域優(yōu)先原則;(2) 任意,指的是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)自變量;存在,指的是區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)自變量,故本題是恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題的組合.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】化抽象為具體數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:或者是借助形的生動(dòng)和直觀(guān)性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)為目的,比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀(guān)地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì);或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的,如應(yīng)用曲線(xiàn)的方程來(lái)精確地闡明曲線(xiàn)的幾何性質(zhì). 數(shù)形結(jié)合的思想,其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖像結(jié)合起來(lái),關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí),要注意三點(diǎn):第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線(xiàn)的代數(shù)特征,對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參,建立關(guān)系,由數(shù)思形,以形想數(shù),做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. ,在解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中,主要存在兩類(lèi)問(wèn)題,一是“有圖考圖”,二是 “無(wú)圖考圖”,如:【典例1】已知是常數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)的圖像可能是( )【答案】D【解析】【典例2】已知函數(shù)(a為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象在點(diǎn)A(e,1)處的切線(xiàn)與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【答案】 【解析】