2022年高考數(shù)學復習 專題13 推理與證明、數(shù)系的擴充 間接證明易錯點

2022年高考數(shù)學復習 專題13 推理與證明、數(shù)系的擴充 間接證明易錯點主標題：間接證明易錯點副標題：從考點分析間接證明在高考中的易錯點，為學生備考提供簡潔有效的備考策略。關(guān)鍵詞：間接證明，易錯點難度：3重要程度：3內(nèi)容： 一、沒有應用假設進行推理而致錯        【例1】已知實數(shù)p滿足不等式(2p1)(p2)0，用反證法證明：關(guān)于x的方程無實根.        錯解：假設方程有實根，由已知實數(shù)p滿足不等式(2p1)(p2)0，解得，方程的判別式，0.即關(guān)于x的方程無實根。        剖析：利用反證法證明時，首先要對所要證明的結(jié)論進行否定性的假設，并以此為條件進行推理，得到矛盾，從而證明原命題成立.        正解：假設方程有實根，則該方程的判別式0，解得p2或p2，而由已知實數(shù)p滿足不等式(2p1)(p2)0，解得，二者矛盾，所以假設錯誤，從而原方程無實根。        二、利用假設進行推理時不嚴密而致錯        【例2】設a，b，c都是小于1的正數(shù)，求證：(1a)b，(1b)a，（1c）a三個數(shù)不可能同時大于。        錯解：假設三個數(shù)都大于，即，三個式子相乘，得。又因為，這與假設矛盾，因此假設不成立。(1a)b，(1b)a，（1c）a三個數(shù)不可能同時大于。        剖析：在利用基本不等式時忘記了等號，少了取等號的條件，所以證明過程不嚴密。        正確：假設三個數(shù)都大于，即，三個式子相乘，得。又因為，這與假設矛盾，因此假設不成立。(1a)b，(1b)a，（1c）a三個數(shù)不可能同時大于。        三、考慮不全面而致錯        【例3】若ab，若直線a與平面相交，求證：直線b與平面相交。        錯解：假設b不與平面相交，則直線b平面，則平面內(nèi)存在直線b，使得bb.而ab，故ab，因為平面，所以a平面，這與已知相矛盾，所以假設錯誤，b與平面相交。         剖析：直線與平面不相交，包含直線與平面平行和直線在平面內(nèi)兩種情況，少了直線在平面內(nèi)的情況.        正解：假設b不與平面相交，則直線b平面或直線b平面。(1)若直線b平面，則平面內(nèi)存在直線b，使得bb.而ab，故ab，因為平面，所以a平面，這與已知相矛盾。(2)若直線b平面，則由ab，平面，所以a平面，這與已知相矛盾。綜上所述，b與平面相交。