2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-2 參數(shù)方程《教案》
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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-2 參數(shù)方程《教案》
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-2 參數(shù)方程教案1參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式一般地,可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程(2)如果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系,例如xf(t),把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系yg(t),那么就是曲線的參數(shù)方程2常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線yy0tan (xx0)(t為參數(shù))圓x2y2r2(為參數(shù))橢圓1(a>b>0)(為參數(shù))雙曲線1 ,(a>0,b>0)(為參數(shù))拋物線y22px (p>0)(t為參數(shù))1直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),求直線l的斜率解將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y23(x1),因此直線l的斜率為3.2已知直線l1:(t為參數(shù))與直線l2:(s為參數(shù))垂直,求k的值解直線l1的方程為yx,斜率為;直線l2的方程為y2x1,斜率為2.l1與l2垂直,()×(2)1k1.3已知點P(3,m)在以點F為焦點的拋物線(t為參數(shù))上,求PF的值解將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y24x,則焦點F(1,0),準(zhǔn)線方程為x1,又P(3,m)在拋物線上,由拋物線的定義知PF3(1)4.4已知曲線C的極坐標(biāo)方程是1,以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),求直線l與曲線C相交所截的弦長解曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y21,直線l的普通方程為3x4y30.圓心到直線的距離d.直線l與曲線C相交所截的弦長為2.題型一參數(shù)方程與普通方程的互化例1(1)如圖,以過原點的直線的傾斜角為參數(shù),求圓x2y2x0的參數(shù)方程(2)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(s為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若l與C相交于A,B兩點,求AB的長解(1)圓的半徑為,記圓心為C(,0),連結(jié)CP,則PCx2,故xPcos 2cos2,yPsin 2sin cos (為參數(shù))所以圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)直線l的普通方程為xy2,曲線C的普通方程為y(x2)2(y0),聯(lián)立兩方程得x23x20,求得兩交點坐標(biāo)為(1,1),(2,0),所以AB.思維升華消去參數(shù)的方法一般有三種:(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù);(2)利用三角恒等式消去參數(shù);(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù)將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍(1)求直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點個數(shù)(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過橢圓C:(為參數(shù))的右頂點,求常數(shù)a的值解(1)將消去參數(shù)t得直線xy10;將消去參數(shù)得圓x2y29.又圓心(0,0)到直線xy10的距離d<3.因此直線與圓相交,故直線與曲線有2個交點(2)直線l的普通方程為xya0,橢圓C的普通方程為1,橢圓C的右頂點坐標(biāo)為(3,0),若直線l過(3,0),則3a0,a3.題型二參數(shù)方程的應(yīng)用例2已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求直線l和圓C的普通方程;(2)若直線l與圓C有公共點,求實數(shù)a的取值范圍解(1)直線l的普通方程為2xy2a0,圓C的普通方程為x2y216.(2)因為直線l與圓C有公共點,故圓C的圓心到直線l的距離d4,解得2a2.思維升華已知圓、圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題時,一般是把參數(shù)方程化為普通方程,通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關(guān)的問題,如最值、范圍等在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和(t為參數(shù)),求曲線C1與C2的交點坐標(biāo)解曲線C1的普通方程為x2y25(x0,y0)曲線C2的普通方程為xy10.解方程組得曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為(2,1)題型三極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3(xx·課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t0),其中0,在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:2sin ,曲線C3:2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo);(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求AB的最大值解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R,0),其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ,),B的極坐標(biāo)為(2cos ,)所以AB|2sin 2cos |4.當(dāng)時,AB取得最大值,最大值為4.思維升華在對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中,最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢,靈活地利用坐標(biāo)法可以使問題得到簡捷的解答例如,將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后在直角坐標(biāo)系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法,對應(yīng)數(shù)學(xué)問題求解的“化生為熟”原則,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為2cos(),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l和圓C交于A,B兩點,P是圓C上不同于A,B的任意一點(1)求圓心的極坐標(biāo);(2)求PAB面積的最大值解(1)由圓C的極坐標(biāo)方程為2cos(),得22(cos sin ),把代入可得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0,即(x1)2(y1)22.圓心坐標(biāo)為(1,1),圓心的極坐標(biāo)為(,)(2)由題意,得直線l的直角坐標(biāo)方程為2xy10.圓心(1,1)到直線l的距離d,AB22.點P到直線l的距離的最大值為rd,Smax××.1將參數(shù)方程化為普通方程是解決問題的一般思路,體現(xiàn)了化歸思想2將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意兩種方程的等價性,不要增解;確定曲線的參數(shù)方程時,一定要根據(jù)實際問題的要求確定參數(shù)的取值范圍,必要時通過限制參數(shù)的范圍去掉多余的解.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間:50分鐘)1求直線(t為參數(shù))被曲線(為參數(shù))所截得的弦長解直線方程可化為xy0,曲線方程可化為x21.由得x2x0,x0或x1.可得交點為A(0,),B(1,0)AB2.所截得的弦長為2.2直線(t為參數(shù))與圓(為參數(shù))相切,求切線的傾斜角解直線的普通方程為bxay4b0,圓的普通方程為(x2)2y23,直線與圓相切,則圓心(2,0)到直線的距離為,從而有,即3a23b24b2,b±a,而直線的傾斜角的正切值為tan ,tan ±,因此切線的傾斜角為或.3已知直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程:(t為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程解直線l的直角坐標(biāo)方程為xy0.原點到直線的距離r1.以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程為1.4(xx·湖北)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線l的極坐標(biāo)方程為(sin 3cos )0,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),l與C相交于A,B兩點,求AB的長解直線l的極坐標(biāo)方程(sin 3cos )0化為直角坐標(biāo)方程為3xy0,曲線C的參數(shù)方程兩式經(jīng)過平方相減,化為普通方程為y2x24,聯(lián)立解得或所以A,B.所以AB 2.5在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以O(shè)為極點,以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2的方程為sin()2,求曲線C1與曲線C2的交點個數(shù)解曲線C1,C2化為普通方程和直角坐標(biāo)方程分別為x22y,xy40,聯(lián)立消去y得x22x80,因為判別式>0,所以方程有兩個實數(shù)解故曲線C1與曲線C2的交點個數(shù)為2.6在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y24x相交于A,B兩點,求線段AB的長解將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y24x,得24,解得t10,t28.所以AB|t1t2|8.B組專項能力提升(時間:30分鐘)7(xx·陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,C的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程;(2)P為直線l上一動點,當(dāng)P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標(biāo)解(1)由2sin ,得22sin ,從而有x2y22y,所以x2(y)23.(2)設(shè)P,又C(0,),則PC ,故當(dāng)t0時,PC取得最小值,此時,P點的直角坐標(biāo)為(3,0)8已知直線C1:(t為參數(shù)),曲線C2:(為參數(shù))(1)當(dāng)時,求C1與C2的交點坐標(biāo);(2)過坐標(biāo)原點O作C1的垂線,垂足為A,P為OA的中點,當(dāng)變化時,求P點軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線解(1)當(dāng)時,C1的普通方程為y(x1),C2的普通方程為x2y21,聯(lián)立方程得解得C1與C2的交點坐標(biāo)分別為(1,0),(,)(2)依題意,C1的普通方程為xsin ycos sin 0,則A點的坐標(biāo)為(sin2,sin cos ),故當(dāng)變化時,P點軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)),P點軌跡的普通方程為(x)2y2.故P點的軌跡是圓心為(,0),半徑為的圓9已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為4sin()(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)點P(x,y)是直線l與圓面4sin()的公共點,求xy的取值范圍解(1)因為圓C的極坐標(biāo)方程為4sin(),所以24sin()4(sin cos )又2x2y2,xcos ,ysin ,所以x2y22y2x,所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0.(2)設(shè)zxy,由圓C的方程x2y22x2y0,得(x1)2(y)24,所以圓C的圓心是(1,),半徑是2.將代入zxy,得zt.又直線l過C(1,),圓C的半徑是2,所以2t2,所以2t2,即xy的取值范圍是2,210在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動圓x2y24xcos 4ysin 7cos280 (R,為參數(shù))的圓心軌跡為曲線C,點P在曲線C上運動以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,若直線l的極坐標(biāo)方程為2cos3,求點P到直線l的最大距離解將動圓的方程配方,得(x2cos )2(y2sin )293sin2,設(shè)圓心(x,y),則 (R,為參數(shù)),即曲線C的參數(shù)方程為 (R,為參數(shù)),直線l的直角坐標(biāo)方程為xy30,設(shè)點P(x1,y1),則(R,為參數(shù)),點P到直線l的距離d,其中tan .當(dāng)sin()1,點P到直線l的距離d取得最大值.