2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第八節(jié) 第三課時(shí) 定點(diǎn)、定值、探索性問題課時(shí)作業(yè)

2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第八節(jié) 第三課時(shí) 定點(diǎn)、定值、探索性問題課時(shí)作業(yè)1已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x2的距離小1，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為E.(1)求曲線E的方程；(2)若直線l：ykxm(km<0)與曲線E相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，且·5，證明：直線l經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)解析：(1)由題意可得動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)F(1,0)的距離等于到直線x1的距離，曲線E是以點(diǎn)(1,0)為焦點(diǎn)，直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為y22px(p>0)，1，p2，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程為y24x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x1·x2.·5，x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m25，m24km5k20，mk或m5k.km<0，mk舍去，m5k，滿足16(1km)>0，直線l的方程為yk(x5)，直線l必經(jīng)過定點(diǎn)(5,0)2(2018·昆明市檢測)已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，點(diǎn)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)過點(diǎn)F(1,0)作直線l交曲線E于P，Q兩點(diǎn)，交y軸于R點(diǎn)，若1，2，證明：12為定值解析：(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由已知得·(x±)，化簡得曲線E的方程：y21(x±)(2)證明：設(shè)點(diǎn)P，Q，R的坐標(biāo)分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)由1，得(x1，y1y0)1(1x1，y1)，所以x1，y1，因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線E上，所以()2()21，化簡得4122y0，同理，由2，可得x2，y2，代入曲線E的方程化簡得4222y0，由可知1，2是方程x24x22y0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(>0)，所以124，即12為定值3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(，0)，B(，0)，直線MA，MB交于點(diǎn)M，它們的斜率之積為常數(shù)m(m0)，且MAB的面積最大值為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)過曲線E外一點(diǎn)Q作E的兩條切線l1，l2，若它們的斜率之積為1，那么·是否為定值？若是，請求出該值；若不是，請說明理由解析：(1)設(shè)M(x，y)，則由已知得·m，即y2m(x23)，即1(x±)(*)當(dāng)m>0時(shí)，方程(*)表示雙曲線，此時(shí)MAB面積不存在最大值(不符合)；當(dāng)m1時(shí)，方程(*)表示圓，此時(shí)MAB的面積最大值為3(不符合)；當(dāng)m<0且m1時(shí)，方程(*)為橢圓，此時(shí)MAB的面積最大值為，所以m.此時(shí)所求的方程為y21(x±)(2)設(shè)Q(x0，y0)，過點(diǎn)Q的切線l為yk(xx0)y0，由消去y得(13k2)x26k(y0kx0)x3(y0kx0)230，則36k2(y0kx0)24(13k)2·3(ykx0)210，化簡得(3x)k22x0y0k1y0，于是k1·k2，由已知斜率之積為1，則1，則xy4(x0±)，所以|OQ|2，于是·(2)221.4已知橢圓C：1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn)，且三角形PF1F2的面積最大值為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)M，N為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù)m，使·m時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，求這個(gè)定值解析：(1)依題意知解得所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2y1y2m，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為ykxn，則點(diǎn)O到直線MN的距離d ，聯(lián)立，得消去y，得(4k23)x28knx4n2120，由>0得4k2n23>0，則x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因?yàn)閐 為常數(shù)，則m0，d ，此時(shí)12滿足>0.當(dāng)MNx軸時(shí)，由m0得kOM±1，聯(lián)立，得消去y，得x2，點(diǎn)O到直線MN的距離d|x|亦成立綜上，當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，這個(gè)定值是.B組能力提升練1如圖，已知直線l：ykx1(k>0)關(guān)于直線yx1對稱的直線為l1，直線l，l1與橢圓E：y21分別交于點(diǎn)A，M和A，N，記直線l1的斜率為k1.(1)求k·k1的值；(2)當(dāng)k變化時(shí)，試問直線MN是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請說明理由解析：(1)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線yx1對稱的點(diǎn)為P0(x0，y0)，直線l與直線l1的交點(diǎn)為(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，k，k1，由1，得yy0xx02，由1，得yy0x0x，由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0，設(shè)M(xM，yM)，N(xN，yN)，xM，yM.同理可得xN，yN.kMN，直線MN：yyMkMN(xxM)，即y(x)，即yxx.當(dāng)k變化時(shí)，直線MN過定點(diǎn)(0，)2.(2018·合肥市質(zhì)檢)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F(1,0)，過直線l：x2右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)P作PAl于點(diǎn)A，APF的平分線交x軸于點(diǎn)B，|PA|BF|.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線q交曲線C于M，N，試問：x軸正半軸上是否存在點(diǎn)E，直線EM，EN分別交直線l于R，S兩點(diǎn)，使RFS為直角？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由解析：(1)設(shè)P(x，y)，由平面幾何知識得，即，化簡得x22y22，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x22y22(x)(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)E(n,0)(n>0)存在，設(shè)直線q的方程為xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(2，y3)，S(2，y4)聯(lián)立，得消去x，得(m22)y22my10，y1y2，y1y2，x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11，x1x2m(y1y2)22，由條件知，y3，同理y4，kRFy3，kSFy4.因?yàn)镽FS為直角，所以y3y41，所以(2n)2y1y2x1x2n(x1x2)n2，(2n)2n2，所以(n22)(m21)0，n，故滿足條件的點(diǎn)E存在，其坐標(biāo)為(，0)3已知橢圓C：9x2y2m2(m>0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點(diǎn)(，m)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說明理由解析：(1)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k9.所以直線OM的斜率與l的斜率的積是定值(2)四邊形OAPB能為平行四邊形因?yàn)橹本€l過點(diǎn)(，m)，所以l不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0，k3.由(1)得OM的方程為yx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，由得x，即xP.將點(diǎn)(，m)的坐標(biāo)代入l的方程得b，因此xM.四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP2xM.于是2×，解得k14，k24.因?yàn)閗i>0，ki3，i1,2，所以當(dāng)l的斜率為4或4時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形4(2018·長沙市模擬)已知P(，)在橢圓C：1(a>b>0)上，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，PF垂直于x軸A，B，C，D為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AC，BD交于原點(diǎn)O.(1)求橢圓C的方程；(2)判斷動(dòng)直線l：x(mn)ymn(m，nR)與橢圓C的位置關(guān)系；(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)滿足，判斷kABkBC的值是否為定值，若是，請求出此定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則請說明理由解析：(1)P(，)在橢圓C：1(a>b>0)上，1.又F為右焦點(diǎn)，PF垂直于x軸，.由，解得a2，b1，橢圓C的方程為y21.(2)將動(dòng)直線l的方程x(mn)ymn(m，nR)，化為(y)m(y)n0.m，nR，解得動(dòng)直線l恒過點(diǎn)P，P在橢圓C上，動(dòng)直線l與橢圓C的位置關(guān)系是相切或相交(3)，4y1y2x1x2.當(dāng)直線AB的斜率不存在或斜率為0時(shí)，不滿足4y1y2x1x2.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm，聯(lián)立，得得(14k2)x28kmx4(m21)0，(8km)24(4k21)·4(m21)16(4k2m21)>0(*)4y1y2x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，(4k21)x1x24km(x1x2)4m20，(4k21)4km4m20，整理得4k21，k±.A，B，C，D的位置可輪換，直線AB，BC的斜率是或，kABkBC()0，為定值不妨設(shè)kAB，則設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則SAOB|AB|·d·|x2x1|·1.當(dāng)m21時(shí)(滿足(*)，SAOB1，S四邊形ABCD4SAOB4，即四邊形ABCD面積的最大值為4.