2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課堂達標35 空間幾何體的表面積與體積 文 新人教版

2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課堂達標35 空間幾何體的表面積與體積 文 新人教版1(2017·浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.1B.3C.1D.3解析V×3×1，選A.答案A2(2018·山西省高三考前質(zhì)量檢測)某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為3，則側(cè)視圖中線段的長度x的值是()A. B2 C4 D5解析分析題意可知，該幾何體為如圖所示的四棱錐P­ABCD，故其體積V××4×CP3，CP，x4，故選C.答案C3(2017·課標)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A B. C. D.解析繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：AC1，AB，結(jié)合勾股定理，底面半徑r，由圓柱的體積公式可得：圓柱的體積是Vr2h×2×1，故選B.答案B4(2018·青島二模)已知三棱錐D­ABC中，ABBC1，AD2，BD，AC，BCAD，則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B6 C5 D8解析由勾股定理易知DABC，ABBC，BC平面DAB，CD.AC2AD2CD2.DAAC.取CD的中點O，由直角三角形的性質(zhì)知O到點A，B，C，D的距離均為，其即為三棱錐的外接球球心故三棱錐的外接球的表面積為426. 答案B5某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()A286 B306C5612 D6012解析由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，其中AE平面BCD，CDBD，且CD4，BD5，BE2，ED3，AE4.AE4，ED3，AD5.又CDBD，CDAE，則CD平面ABD，故CDAD，所以AC且SACD10.在RtABE中，AE4，BE2，故AB2.在RtBCD中，BD5，CD4，故SBCD10，且BC.在ABD中，AE4，BD5，故SABD10.在ABC中，AB2，BCAC，則AB邊上的高h6，故SABC×2×66.因此，該三棱錐的表面積為S306.答案B6如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為()A. B.C. D.解析平面ACD1截球O的截面為ACD1的內(nèi)切圓因為正方體的棱長為1，所以ACCD1AD1，所以內(nèi)切圓的半徑r×tan 30°，所以Sr2×. 答案C7有一根長為3 cm，底面直徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為_ cm.解析把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC3 cm，AB4 cm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度AC5(cm)，故鐵絲的最短長度為5 cm.答案58(2017·江蘇)如圖，在圓柱O1，O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切記圓柱O1，O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_解析設(shè)球半徑為r，則，故答案為.答案9(2018·遼寧省沈陽二中期中)如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱A1A和B1B上各有一個動點P，Q，且滿足A1PBQ，M是棱CA上的動點，則的最大值是_解析設(shè)三棱柱ABC­A1B1C1的體積為V側(cè)棱AA1和BB1上各有一動點P，Q滿足A1PBQ，四邊形PQBA與四邊形PQB1A1的面積相等，M是棱CA上的動點，M是C時，最大又四棱椎MPQBA的體積等于三棱錐CABA1的體積等于V，的最大值是.答案10.如圖，在三棱錐D­ABC中，已知BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10，求三棱錐D­ABC的體積的最大值解由題意知，線段ABBD與線段ACCD的長度是定值，因為棱AD與棱BC相互垂直設(shè)d為AD到BC的距離則VD­ABCAD·BC×d××2d，當d最大時，VD­ABC體積最大，ABBDACCD10，當ABBDACCD5時，d有最大值.此時V2.B能力提升練1(2018·太原一模)如圖，平面四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，將其沿對角線BD折成四面體A­BCD，使平面ABD平面BCD，若四面體A­BCD的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為()A3 B. C4 D.解析由圖示可得BDAC，BC，DBC與ABC都是以BC為斜邊的直角三角形，由此可得BC中點到四個點A，B，C，D的距離相等，即該三棱錐的外接球的直徑為，所以該外接球的表面積S4×23.答案A2(2018·寧夏銀川市興慶區(qū)長慶高中一模試卷)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A. B. C. D4解析如圖所示，由三視圖可知該幾何體為：四棱錐P­ABCD.連接BD.其體積VVB­PADVB­PCD ××1×2×2××1×2×2.答案B3如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為，以頂點A為球心，2為半徑作為一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和為_解析由題意，圖中弧為過球心的平面與球面相交所得大圓的一段弧，因為A1AEBAF，所以EAF，由弧長公式知弧的長為2×.弧為不過球心的平面與球面相交所得小圓的一段弧，其圓心為B，因為球心到平面BCC1B1的距離d，球的半徑R2，所以小圓的半徑r1，又GBF，所以弧的長為1×.故兩段弧長之和為.答案4(2016·浙江)如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值是_解析設(shè)PDDAx，在ABC中，ABBC2，ABC120°，AC2，CD2x，且ACB(180°120°)30°，SBCDBC·DC·sinACB×2×(2x)×(2x)要使四面體體積最大，當且僅當點P到平面BCD的距離最大，而P到平面BCD的最大距離為x.則V四面體PBCD×(2x)x(x)23，由于0<x<2，故當x時，V四面體PBCD的最大值為×3.答案5如圖，在直三棱柱ABC­ABC中，ABC為等邊三角形，AA平面ABC，AB3，AA4，M為AA的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC的交點為N，求：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；(2)PC與NC的長；(3)三棱錐C­MNP的體積解(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形，故對角線長為.(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB展開，如下圖，設(shè)PCx，則MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即.NC.(3)SPCN×CP×CN×2×.在三棱錐M­PCN中，M到面PCN的距離，即h×3.VC­MNPVM­PCN·h·SPCN××.C尖子生專練如圖所示，從三棱錐P­ABC的頂點P沿著三條側(cè)棱PA，PB，PC剪開成平面圖形得到P1P2P3，且P2P1P2P3.(1)在三棱錐P­ABC中，求證：PABC；(2)若P1P226，P1P320，求三棱錐P­ABC的體積解(1)證明：由題設(shè)知A，B，C分別是P1P3，P1P2，P2P3的中點，且P2P1P2P3，從而PBPC，ABAC，取BC的中點D，連接AD，PD(圖略)，則ADBC，PDBC，又ADPDD，BC平面PAD.又PA平面PAD，故PABC.(2)由題設(shè)有ABACP1P213，PAP1ABC10，PBPCP1B13，ADPD12，在等腰三角形DPA中，底邊PA上的高h，SDPAPA·h5.又BC平面PAD，VP­ABCVBPDAVCPDABD·SDPADC·SPDABC·SPDA×10×5.