2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第三講 平面向量學(xué)案 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第三講 平面向量學(xué)案 理考點(diǎn)一平面向量的概念及線性運(yùn)算1在平面向量的化簡或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化2在用三角形加法法則時(shí)要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)所在的向量；在用三角形減法法則時(shí)要保證“同起點(diǎn)”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·全國卷)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則()A. B.C. D.解析E是AD的中點(diǎn)，又D為BC的中點(diǎn)，()，因此()，故選A.答案A2(2018·河北三市聯(lián)考)已知e1，e2是不共線向量，ame12e2，bne1e2，且mn0，若ab，則等于()A B. C2 D2解析ab，ab，即me12e2(ne1e2)，則故2.答案C3(2018·河南鄭州質(zhì)檢)已知P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，若2(1)，且PBA與PBC的面積相等，則實(shí)數(shù)的值為_解析D為AB的中點(diǎn)，2，又2(1).(1)，又PBA與PBC的面積相等，P為AC的中點(diǎn)，1.答案14(2018·鹽城一模)在ABC中，A60°，A的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB4，且(R)，則AD的長為_解析因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以1，解得，如圖，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則，經(jīng)計(jì)算得ANAM3，AD3.答案3快速審題(1)看到向量的線性運(yùn)算，想到三角形和平行四邊形法則(2)看到向量平行，想到向量平行的條件平面向量線性運(yùn)算的2種技巧(1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算問題，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，靈活運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算(2)在證明兩向量平行時(shí)，若已知兩向量的坐標(biāo)形式，常利用坐標(biāo)運(yùn)算來判斷；若兩向量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當(dāng)b0時(shí)，ab存在唯一實(shí)數(shù)，使得ab)來判斷考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1平面向量的數(shù)量積有兩種運(yùn)算形式(1)數(shù)量積的定義：a·b|a|b|cos(其中為向量a，b的夾角)(2)坐標(biāo)運(yùn)算：a(x1，y1)，b(x2，y2)時(shí)，a·bx1x2y1y2.2投影向量a在向量b方向上的投影為|a|cos(為向量a，b的夾角)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知|a|1，b(1,1)且a(ab)，則向量a與向量b的夾角為()A. B. C. D.解析設(shè)向量a與向量b的夾角為，因?yàn)閍(ab)，所以a·(ab)0，即|a|2a·b1|a|b|cos1cos0，cos，故選D.答案D2(2018·陜西西安八校聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影是()A3 B C3 D.解析依題意得，(2，1)，(5,5)，·(2，1)·(5,5)15，|，因此向量在方向上的投影是3，選A.答案A3已知向量a(1,2)，b(3，6)，若向量c滿足c與b的夾角為120°，c·(4ab)5，則|c|()A1 B. C2 D2解析依題意可得|a|，|b|3，ab.由c·(4ab)5，可得4a·cb·c5.由c與b的夾角為120°，可得c與a的夾角為60°，則有b·c|b|c|cos120°|c|×3×|c|，a·c|a|c|cos60°|c|××|c|，所以4×|c|c|5，解得|c|2，故選D.答案D4如圖所示，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD，若·2·，則·_.解析因?yàn)?#183;2·，所以···，所以··.因?yàn)锳BCD，CD2，BAD，所以2|cos，化簡得|2.故··()|2·(2)22×2cos12.答案12快速審題(1)看到向量垂直，想到其數(shù)量積為零(2)看到向量的模與夾角，想到向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)和公式平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)依據(jù)模和夾角計(jì)算，要注意確定這兩個(gè)向量的夾角，如夾角不易求或者不可求，可通過選擇易求夾角和模的基底進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)利用坐標(biāo)來計(jì)算，向量的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足的等式，從而應(yīng)用方程思想解決問題，化形為數(shù)，使向量問題數(shù)量化考點(diǎn)三平面向量在幾何中的應(yīng)用用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種方法(1)基向量法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法解析(1)解法一：，|1，|.設(shè)()與的夾角為，則()·()2()··1cos，又0，cos1,1，()·()1cos1，1，()·()的最大值為1，故選A.解法二：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(取的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向)，則A(1,0)，B(0,1)設(shè)C(cos，sin)(0,2)，(cos1，sin)，(cos，sin1)，()·()cos(cos1)sin(sin1)cos2sin2(sincos)1sin，0,2)，sin1,1，()·()的最大值為1，故選A.(2)解法一：因?yàn)?，所以E為BC中點(diǎn)設(shè)正方形的邊長為2，則|，|2，··()|2|2·×22222，所以cos.解法二：因?yàn)?，所以E為BC中點(diǎn)設(shè)正方形的邊長為2，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，則點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(2,1)，所以(2,1)，(2,2)，所以·2×(2)1×22，故cos.答案(1)A(2)解決以平面圖形為載體的向量數(shù)量積問題的策略(1)選擇平面圖形中的模與夾角確定的向量作為一組基底，用該基底表示構(gòu)成數(shù)量積的兩個(gè)向量，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律求解(2)若已知圖形中有明顯的適合建立直角坐標(biāo)系的條件，可建立直角坐標(biāo)系將向量數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來解決對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在ABC中，點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，AM1，點(diǎn)P在AM上且滿足2，則·()等于()A. B. C D解析由點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，得2.·()2.又2，|.2|2.故選A.答案A2(2017·全國卷)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·()的最小值是()A2 B C D1解析解法一：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為E，則有2，則·()2·2()·()2(22)而22，當(dāng)P與E重合時(shí)，2有最小值0，故此時(shí)·()取最小值，最小值為222×.解法二：以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，設(shè)P(x，y)，取BC的中點(diǎn)D，則D.·()2·2(1x，y)·22.因此，當(dāng)x，y時(shí)，·()取得最小值，為2×，故選B.答案B1(2018·全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，a·b1，則a·(2ab)()A4 B3 C2 D0解析因?yàn)閨a|1，a·b1，所以a·(2ab)2|a|2a·b2×12(1)3.故選B.答案B2(2017·全國卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上若，則的最大值為()A3 B2 C. D2解析分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上，可設(shè)P.則(0，1)，(2,0)，.又，sin1，cos1，2sincos2sin()，其中tan，()max3.答案A3(2018·全國卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，則_.解析由已知得2ab(4,2)又c(1，)，c(2ab)，所以420，解得.答案4(2018·上海卷)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)、B(2,0)，E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|2，則·的最小值為_解析設(shè)E(0，m)，F(xiàn)(0，n)，又A(1,0)，B(2,0)，(1，m)，(2，n)·2mn，又知|2，|mn|2.當(dāng)mn2時(shí)，·mn2(n2)n2n22n2(n1)23.當(dāng)n1，即E的坐標(biāo)為(0,1)，F(xiàn)的坐標(biāo)為(0，1)時(shí)，·取得最小值3.當(dāng)mn2時(shí)，·mn2(n2)n2n22n2(n1)23.當(dāng)n1，即E的坐標(biāo)為(0，1)，F(xiàn)的坐標(biāo)為(0,1)時(shí)，·取得最小值3.綜上可知，·的最小值為3.答案35(2017·天津卷)在ABC中，A60°，AB3，AC2.若2，(R)，且·4，則的值為_解析解法一：如圖，由2得，所以··()·22·，又·3×2×cos60°3，29，24，所以·3254，解得.解法二：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)锳B3，AC2，A60°，所以B(3,0)，C(1，)，又2，所以D，所以，而(1，)(3,0)(3，)，因此·(3)×54，解得.答案1.平面向量是高考必考內(nèi)容，每年每卷均有一個(gè)小題(選擇題或填空題)，一般出現(xiàn)在第37或第1315題的位置上，難度較低主要考查平面向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算、線性運(yùn)算等，數(shù)量積是其考查的熱點(diǎn)2有時(shí)也會(huì)以平面向量為載體，與三角函數(shù)、解析幾何等其他知識(shí)相交匯綜合命題，難度中等熱點(diǎn)課題9坐標(biāo)法在平面向量中的運(yùn)用感悟體驗(yàn)1(2018·湖南長郡中學(xué)一模)若等邊三角形ABC的邊長為3，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足，則·的值為()A2 B C. D2解析如圖所示，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C，(3,0)(3,0)，·1××2.故選A.答案A2(2018·河南開封質(zhì)檢)已知ABC為等邊三角形，AB2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，(1)，R.若·，則的值為_解析如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，過點(diǎn)A且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，則(2,0)，(1，)，P(2，0)，Q(1，(1)·，(1，(1)·(21，)，化簡得42410，.答案專題跟蹤訓(xùn)練(十六)一、選擇題1(2018·昆明模擬)在ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且2，3，若a，b，則()A.ab B.abCab Dab解析()ab，故選C.答案C2(2018·吉林白城模擬)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則()A. B2 C D2解析由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb與a2b共線，得，所以，故選C.答案C3已知兩個(gè)非零向量a與b的夾角為，則“a·b>0”是“為銳角”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析由a·b>0，可得到，不能得到；而由，可以得到a·b>0.故選B.答案B4(2018·鄭州一中高三測試)已知向量a，b均為單位向量，若它們的夾角為60°，則|a3b|等于()A. B. C. D4解析依題意得a·b，|a3b|，故選C.答案C5已知ABC是邊長為1的等邊三角形，則(2)·(34)()A BC6 D6解析(2)·(34)3·624·8·3|·|·cos120°6|24|·|cos120°8|·|·cos120°3×1×1×6×124×1×1×8×1×1×624，故選B.答案B6(2018·河南中原名校聯(lián)考)如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若(，為實(shí)數(shù))，則22()A. B. C1 D.解析()，所以，故22，故選A.答案A7(2018·山西四校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，3，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則()A. B.C D解析解法一：如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG、CG，則易知四邊形DCBG為平行四邊形，所以，于是，故選C.解法二：().答案C8(2018·河南鄭州二模)已知平面向量a，b，c滿足|a|b|c|1，若a·b，則(ab)·(2bc)的最小值為()A2 B3 C1 D0解析由|a|b|1，a·b，可得a，b，令a，b，以的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a(1,0)，b，設(shè)c(cos，sin)(0<2)，則(ab)·(2bc)2a·ba·c2b2b·c33sin，則(ab)·(2bc)的最小值為3，故選B.答案B9(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知ABC中，AB6，AC3，N是邊BC上的點(diǎn)，且2，O為ABC的外心，則·的值為()A8 B10 C18 D9解析由于2，則，取AB的中點(diǎn)為E，連接OE，由于O為ABC的外心，則，··2×6218，同理可得·2×32，所以····×18×639，故選D.答案D10(2018·山西太原模擬)已知DEF的外接圓的圓心為O，半徑R4，如果0，且|，則向量在方向上的投影為()A6 B6 C2 D2解析由0得，.DO經(jīng)過EF的中點(diǎn)，DOEF.連接OF，|4，DOF為等邊三角形，ODF60°.DFE30°，且EF4×sin60°×24.向量在方向上的投影為|·cos，4cos150°6，故選B.答案B11(2018·湖北黃岡二模)已知平面向量a，b，c滿足|a|b|1，a(a2b)，(c2a)·(cb)0，則|c|的最大值與最小值的和為()A0 B. C. D.解析a(a2b)，a·(a2b)0，即a22a·b，又|a|b|1，a·b，a與b的夾角為60°.設(shè)a，b，c，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a，b(1,0)設(shè)c(x，y)，則c2a(x1，y)，cb(x1，y)又(c2a)·(cb)0，(x1)2y(y)0.即(x1)22，點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)M為圓心，為半徑的圓又|c|表示圓M上的點(diǎn)與原點(diǎn)O(0,0)之間的距離，所以|c|max|OM|，|c|min|OM|，|c|max|c|min2|OM|2× ，故選D.答案D12(2018·廣東七校聯(lián)考)在等腰直角ABC中，ABC90°，ABBC2，M，N為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M，N不與A，C重合)，且滿足|，則·的取值范圍為()A. B.C. D.解析不妨設(shè)點(diǎn)M靠近點(diǎn)A，點(diǎn)N靠近點(diǎn)C，以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，線段AC的方程為xy20(0x2)設(shè)M(a,2a)，N(a1,1a)(由題意可知0<a<1)，(a,2a)，(a1,1a)，·a(a1)(2a)(1a)2a22a222，0<a<1，由二次函數(shù)的知識(shí)可得·.答案C二、填空題13(2017·全國卷)已知向量a，b的夾角為60°，|a|2，|b|1，則|a2b|_.解析由題意知a·b|a|·|b|cos60°2×1×1，則|a2b|2(a2b)2|a|24|b|24a·b44412.所以|a2b|2.答案214(2017·山東卷)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1e2與e1e2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)的值是_解析(e1e2)·(e1e2)ee1·e2e1·e2e，|e1e2|2，|e1e2|，2××cos60°，解得.答案15在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合)，若x(1x)，則x的取值范圍是_解析依題意，設(shè)，其中1<<，則有 ()(1).又x(1x)，且，不共線，于是有x1，由，知x，即x的取值范圍是.答案16(2018·河北衡水二中模擬)已知在直角梯形ABCD中，ABAD2CD2，ABCD，ADC90°，若點(diǎn)M在線段AC上，則|的最小值為_解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，設(shè)(01)，則M(，2)，故(，22)，(2，2)，則(22，24)，|，當(dāng)時(shí)，|取得最小值為.答案