2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5

一二維形式的柯西不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認識二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式和三角形式，理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式，會求某些特定形式的函數(shù)的最值知識點二維形式的柯西不等式思考1(a2b2)(c2d2)與4abcd的大小關(guān)系如何？那么(a2b2)(c2d2)與(acbd)2的大小關(guān)系又如何？答案(a2b2)(c2d2)4abcd，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考2當(dāng)且僅當(dāng)ab且cd時，(a2b2)(c2d2)4abcd，那么在什么條件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?答案當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，(a2b2)·(c2d2)(acbd)2.思考3若向量(a，b)，向量(c，d)，你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式？答案·|acbd|.梳理(1)二維形式的柯西不等式定理1：若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，等號成立二維形式的柯西不等式的推論：·|acbd|(a，b，c，dR)；·|ac|bd|(a，b，c，dR)(2)柯西不等式的向量形式定理2：設(shè)，是兩個向量，則|·|·|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成立(3)二維形式的三角不等式定理3：(x1，y1，x2，y2R)當(dāng)且僅當(dāng)三點P1，P2與原點O在同一直線上，并且P1，P2點在原點O兩旁時，等號成立推論：對于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3R，有.事實上，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點P1，P2，P3的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根據(jù)P1P2P3的邊長關(guān)系有|P1P3|P2P3|P1P2|，當(dāng)且僅當(dāng)三點P1，P2，P3在同一直線上，并且點P1，P2在P3點的兩旁時，等號成立類型一利用柯西不等式證明不等式例1已知a1，a2，b1，b2R，求證：(a1b1a2b2)·(a1a2)2.證明a1，a2，b1，b2R，(a1b1a2b2)·2(a1a2)2.(a1b1a2b2)(a1a2)2.反思與感悟利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時，有時需要將待證不等式進行變形，以具備柯西不等式的運用條件，這種變形往往要認真分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，利用添項、拆項、分解、組合、配方、數(shù)形結(jié)合等方法跟蹤訓(xùn)練1已知為銳角，a，bR，求證：(ab)2.證明(cos2sin2)2(ab)2，(ab)2.例2若實數(shù)x，y，z滿足x24y2z23，求證：|x2yz|3.證明因為x24y2z23，所以由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2.整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.反思與感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”，構(gòu)造使用柯西不等式的條件(2)此類題也可以用三角不等式，把ABO的三個頂點分別設(shè)為O(0,0)，A(x1，x2)，B(y1，y2)即可跟蹤訓(xùn)練2設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：(abc)證明由柯西不等式知，·ab，即·ab，同理，·bc，·ac.將上面三個同向不等式相加，得()2(abc)，(abc)類型二利用柯西不等式求最值例3若3x4y2，試求x2y2的最小值及最小值點解由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，點(x，y)為所求最小值點，解方程組得因此，當(dāng)x，y時，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點為.反思與感悟利用柯西不等式求最值(1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的前提條件；(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；(3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤多次反復(fù)運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一跟蹤訓(xùn)練3已知a，bR，且9a24b218，求3a2b的最值解由柯西不等式，得(9a24b2)(1212)(3a2b)2，9a24b218，36(3a2b)2.|3a2b|6.當(dāng)即或時等號成立當(dāng)a1，b時，3a2b有最大值6.當(dāng)a1，b時，3a2b有最小值6.1已知a，bR，a2b24，則3a2b的最大值為()A4B2C8D9答案B解析(a2b2)(3222)(3a2b)2，當(dāng)且僅當(dāng)3b2a時取等號，所以(3a2b)24×13.所以3a2b的最大值為2.2已知a0，b0，且ab2，則()AabBabCa2b22Da2b23答案C解析(a2b2)(1212)(ab)24，a2b22.3設(shè)xy0，則的最小值為_答案9解析(12)29，當(dāng)且僅當(dāng)xy，即xy時，取等號最小值為9.4設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則的最小值為_答案解析(a2b2)(m2n2)(manb)225，m2n25.當(dāng)且僅當(dāng)anbm時取等號5已知a2b21，求證：|acosbsin|1.證明1a2b2(a2b2)·(cos2sin2)(acosbsin)2，|acosbsin|1.1利用柯西不等式的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的兩組數(shù)，應(yīng)用時要對照柯西不等式的原形，進行多角度的嘗試2柯西不等式取等號的條件也不容易記憶，如(a2b2)·(c2d2)(acbd)2等號成立的條件是adbc，可以把a，b，c，d看成等比，則adbc來聯(lián)想記憶一、選擇題1已知a，bR且ab1，則P(axby)2與Qax2by2的關(guān)系是()APQBPQCPQDPQ答案A解析設(shè)m(x，y)，n(，)，則|axby|m·n|m|n|··，(axby)2ax2by2.即PQ.2若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是()A2，2B2，2C，D(，)答案A解析(a2b2)12(1)2(ab)2，a2b210，(ab)220.2ab2.3函數(shù)y2的最大值是()A.B.C3D5答案B解析根據(jù)柯西不等式知，y1×2××(當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號)4若3x22y21，則3x2y的取值范圍是()A0， B，0C， D5,5答案C解析(3x2y)25×(3x22y2)5，3x2y.5已知a，b，c，d，m，nR，P，Q·，則P與Q的大小關(guān)系為()APQBPQCPQDPQ答案A解析P·Q.PQ.6已知a，b0，且ab1，則()2的最大值是()A2B.C6D12答案D解析()2(1×1×)2(1212)(4a14b1)24(ab)22×(4×12)12，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時等號成立二、填空題7設(shè)實數(shù)x，y滿足3x22y26，則P2xy的最大值為_答案解析由柯西不等式，得(2xy)2(x)2(y)2·(3x22y2)·6×11，所以2xy.8設(shè)x，yR，則(xy)的最小值是_答案52解析(xy)2()252，當(dāng)且僅當(dāng)··時，等號成立9已知x0，y0，且1，則2xy的最小值為_答案32解析2xy(2xy)()2()2232，當(dāng)且僅當(dāng)··時，等號成立，又1，則此時10已知函數(shù)f(x)34，則函數(shù)f(x)的最大值為_答案5解析由柯西不等式知，(34)2(3242)·()2()225.當(dāng)且僅當(dāng)34時，等號成立，因此f(x)5.11函數(shù)f(x)3cosx4的最大值為_答案5解析設(shè)m(3,4)，n(cosx，)，則f(x)3cosx4m·n|m|n|·5.當(dāng)且僅當(dāng)mn時，上式取“”此時，34cosx0.解得sinx±，cosx.故當(dāng)sinx±，cosx時f(x)3cosx4取得最大值5.12已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4則的最大值為_答案4解析由|xa|b，得baxba，則解得a3，b1.又24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時等號成立，故()max4.三、解答題13設(shè)a，bR，且ab2.求證：2.證明根據(jù)柯西不等式，有(2a)(2b)()2()22(ab)24.2.原不等式成立四、探究與拓展14若ab1，則22的最小值為()A1B2C.D.答案C解析22a22b22.ab1，a2b2(a2b2)·(11)(ab)2.又8，以上兩個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立22228，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立15已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)求證：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.證明由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式，可得(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2·()2()2(··)2(ab)2x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1x2時取得等號所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.10