（浙江專版）2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點強化專題 專題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 突破點15 函數(shù)與方程教學(xué)案

突破點15函數(shù)與方程 (對應(yīng)學(xué)生用書第55頁)核心知識提煉提煉1 函數(shù)yf(x)零點個數(shù)的判斷(1)代數(shù)法：求方程f(x)0的實數(shù)根(2)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(3)定理法：利用函數(shù)零點的存在性定理，即如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點.提煉2 已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍問題，一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題要注意觀察是否需要將一個復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個相對較為簡單的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為定曲線與動直線問題高考真題回訪回訪函數(shù)的零點問題1(2011·浙江高考)設(shè)a，b，c為實數(shù)，f(x)(xa)(x2bxc)，g(x)(ax1)(ax2bx1)記集合Sx|f(x)0，xR，Tx|g(x)0，xR，若|S|，|T|分別為集合S，T的元素個數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是()A|S|1且|T|0B|S|1且|T|1C|S|2且|T|2D|S|2且|T|3D對于選項A，取abc0，則f(x)x3，g(x)1，則|S|1且|T|0，故A可能成立；對于選項B，取a1，b0，c1，則f(x)(x1)(x21)，g(x)(x1)·(x21)，則|S|1且|T|1，故B可能成立；對于選項C，取a1，b3，c2，則f(x)(x1)2(x2)，g(x)(x1)2·(2x1)，則|S|2且|T|2，故C可能成立故選D.2(2015·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)(1)當(dāng)b1時，求函數(shù)f(x)在1,1上的最小值g(a)的表達式；(2)已知函數(shù)f(x)在1,1上存在零點，0b2a1，求b的取值范圍解(1)當(dāng)b1時，f(x)21，故對稱軸為直線x.2分當(dāng)a2時，g(a)f(1)a2.當(dāng)2<a2時，g(a)f1.4分當(dāng)a>2時，g(a)f(1)a2.綜上，g(a)6分(2)設(shè)s，t為方程f(x)0的解，且1t1，則9分由于0b2a1，因此s(1t1)當(dāng)0t1時，st.11分由于0和94，所以b94.當(dāng)1t<0時，st，13分由于2<0和3<0，所以3b<0.故b的取值范圍是3,94.15分(對應(yīng)學(xué)生用書第56頁)熱點題型1函數(shù)零點個數(shù)的判斷題型分析：函數(shù)零點個數(shù)的判斷常與函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性相結(jié)合命題，難度中等偏難.【例1】(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：圖象關(guān)于(1,0)點對稱；f(1x)f(1x)；當(dāng)x1,1時，f(x)則函數(shù)yf(x)|x|在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)為()A5B6C7D8(2)已知定義在R上的奇函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，當(dāng)0x1時，f(x)logx，則方程f(x)10在(0,6)內(nèi)的零點之和為() 【導(dǎo)學(xué)號：68334141】A8B10 C12D16(1)A(2)C(1)因為f(1x)f(1x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，如圖所示，畫出f(x)以及g(x)|x|在3,3上的圖象，由圖可知，兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為5，所以函數(shù)yf(x)|x|在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)為5，故選A.(2)因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)1x0時，f(x)f(x)log(x)，又因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為x2k1，kZ，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，由圖易得直線y1與函數(shù)f(x)的圖象在(0,6)內(nèi)有四個交點，且分別關(guān)于直線x1和x5對稱，所以方程f(x)10在(0,6)內(nèi)的零點之和為2×12×512，故選C.方法指津求解此類函數(shù)零點個數(shù)的問題時，通常把它轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題來解決.函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的實數(shù)根，也就是函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象交點的橫坐標(biāo).其解題的關(guān)鍵步驟為：分解為兩個簡單函數(shù)；在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象；數(shù)交點的個數(shù)，即原函數(shù)的零點的個數(shù).提醒：在畫函數(shù)圖象時，切忌隨手一畫，注意“草圖不草”，畫圖時應(yīng)注意基本初等函數(shù)圖象的應(yīng)用，以及函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、對稱性等)的適時運用，可加快畫圖速度，從而將問題簡化. 變式訓(xùn)練1(1)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時，f(x)則關(guān)于x的函數(shù)F(x)f(x)a(0a1)的零點個數(shù)為()A2B3 C4D5(2)已知函數(shù)f(x)cos x，g(x)2|x2|，x2,6，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的所有零點之和為()A6B8 C10D12(1)D(2)D(1)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yf(x)和ya(0a1)的圖象，如圖所示：兩圖象共有5個交點，所以F(x)有5個零點(2)函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點之和可轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)的根之和，即轉(zhuǎn)化為y1f(x)和y2g(x)兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)之和又由函數(shù)g(x)2|x2|與f(x)的圖象均關(guān)于x2對稱，可知函數(shù)h(x)的零點之和為12.熱點題型2已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍題型分析：已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，對學(xué)生的畫圖能力有較高要求.【例2】(1)已知函數(shù)f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.(2)(名師押題)已知函數(shù)f(x)g(x)kx1(xR)，若函數(shù)yf(x)g(x)在x2,3內(nèi)有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A.B(2，)C.D(2，4(1)A(2)C(1)令g(x)0，則f(x)m(x1)，故函數(shù)g(x)在(1,1內(nèi)有且僅有兩個不同的零點等價于函數(shù)yf(x)的圖象與直線ym(x1)有且僅有兩個不同的交點函數(shù)f(x)的圖象如圖中實線所示易求kAB，kAC2，過A(1,0)作曲線的切線，不妨設(shè)切線方程為yk(x1)，由得kx2(2k3)x2k0，則(2k3)24k(2k)0，解得k.故實數(shù)m的取值范圍為.(2)當(dāng)x0時，顯然有f(x)g(x)，即x0不是yf(x)g(x)的零點當(dāng)x0時，yf(x)g(x)在x2,3內(nèi)的零點個數(shù)即方程f(x)g(x)(2x3)的實根的個數(shù)當(dāng)0x3時，有kx1x23，即kx；當(dāng)2x0時，有kx114xcos x，即k4cos x.則yf(x)g(x)(2x3)的零點個數(shù)等價于函數(shù)yk與y的圖象的交點個數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖知2k，故選C.方法指津求解此類逆向問題的關(guān)鍵有以下幾點：一是將原函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，并進行適當(dāng)化簡、整理；二是構(gòu)造新的函數(shù)，把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題；三是對新構(gòu)造的函數(shù)進行畫圖；四是觀察圖象，得參數(shù)的取值范圍.,提醒：把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根，在構(gòu)造兩個新函數(shù)的過程中，一般是構(gòu)造圖象易得的函數(shù)，最好有一條是直線，這樣在判斷參數(shù)的取值范圍時可快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果. 變式訓(xùn)練2(1)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個零點，則實數(shù)的值是() 【導(dǎo)學(xué)號：68334142】A.B.CD(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，恒有f(x)f(x)0，當(dāng)x1,0時，f(x)x2，若g(x)f(x)logax在x(0，)上有且僅有三個零點，則a的取值范圍為()A3,5B4,6C(3,5)D(4,6)(1)C(2)C(1)令yf(2x21)f(x)0，且f(x)是奇函數(shù)，則f(2x21)f(x)f(x)，又因為f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x21x只有一個零點，即2x2x10只有一個零點，則18(1)0，解得，故選C.(2)因為f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示：因為g(x)f(x)logax在x(0，)上有且僅有三個零點，所以yf(x)和ylogax的圖象在(0，)上只有三個交點，所以解得3a5.7