2022高考物理系列模型之過程模型 專題06 圓周運(yùn)動模型（1）學(xué)案

2022高考物理系列模型之過程模型 專題06 圓周運(yùn)動模型（1）學(xué)案模型界定本模型只局限于力學(xué)范圍內(nèi)的圓周運(yùn)動,(一)討論圓周運(yùn)動中的傳動及水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動,(二)討論豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動及天體的圓周運(yùn)動問題.本模型不涉及電磁學(xué)范圍內(nèi)的圓周運(yùn)動，電磁學(xué)范圍內(nèi)的圓周運(yùn)動另有等效重力場、動態(tài)圓模型等進(jìn)行專題研究.模型破解1. 圓周運(yùn)動中的傳動問題(i)共軸傳動中物體上任意一點(diǎn)的角速度相同;任意一點(diǎn)的線速度vr、向心加速度ar2都與半徑成正比.(ii)摩擦傳動、皮帶傳動、鏈條傳動、齒合傳動中(摩擦傳動與皮帶傳動時要求不打滑)輪緣處線速度大小相等;兩輪的角速度與其半徑成反比;輪緣處各點(diǎn)的向心加速度與其半徑成反比;采用齒合或鏈條傳動時，齒數(shù)與半徑成正比，角速度與齒數(shù)成反比.(iii)向心加速度的一個有用的表達(dá)式:例1.圖示為某一皮帶傳動裝置。主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2。已知主動輪做順時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動過程中皮帶不打滑。下列說法正確的是 。（填入選項(xiàng)前的字母，有填錯的不得分）A. 從動輪做順時針轉(zhuǎn)動B.從動輪做逆時針轉(zhuǎn)動C. 從動輪的轉(zhuǎn)速為nD.從動輪的轉(zhuǎn)速為n 【答案】【解析】易判定中正確兩輪皮帶傳動，輪緣處各點(diǎn)處線速度大小相等，由得從動輪轉(zhuǎn)速，正確錯誤例2.某種變速自行車,有六個飛輪和三個鏈輪.如圖所示,鏈輪和飛輪的齒數(shù)如下表所示,前、后輪直徑約為660 mm,人騎該車行進(jìn)速度為4 m/s時,腳踩踏板做勻速圓周運(yùn)動的角速度最小值約為名稱鏈輪飛輪齒數(shù)N/個483828151618212428A.1.9 rad/s B.3.8 rad/s C.6.5 rad/s D.7.1 rad/s【答案】飛輪與鏈輪是用鏈條連接的,故鏈輪與飛輪邊緣線速度大小相同,所以1r1=2r2,r1,r2分別為飛輪和鏈輪的半徑.由于周長L=NL=2r,N為齒數(shù),L為兩鄰齒間的弧長,故rN,所以1N1=2N2.又踏板與鏈輪同軸,腳踩踏板的角速度3=,要使3最小，則N1=15，N2=48，故ad/s=3.75 rad/s3.8 rad/s.模型演練.如圖所示，A點(diǎn)為輪子上邊緣處一點(diǎn)，B點(diǎn)為輪子上輪子邊緣處一點(diǎn)，C點(diǎn)為輪子上某半徑的中心，則A和C兩點(diǎn)線速度_，角速度=_，向心加速度=_?！敬鸢浮浚?，：，：【解析】因?yàn)?，而，所以，同?如圖所示為一皮帶傳送裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r，b點(diǎn)在小輪上，它到小輪中心的距離為r，c點(diǎn)和d點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上。若在轉(zhuǎn)動過程中皮帶不打滑，則（）A a點(diǎn)與b點(diǎn)的線速度大小相等Ba點(diǎn)與b點(diǎn)的角速度大小相等Ca點(diǎn)與c點(diǎn)的線速度大小相等Da點(diǎn)與d點(diǎn)的向心加速度的大小相等【答案】 ，即選項(xiàng)（B）錯。由，故。由，故，因此故選項(xiàng)（D）正確。2.圓周運(yùn)動中運(yùn)動學(xué)的多解問題圓周運(yùn)動具有周期性,與平拋運(yùn)動、自由落體運(yùn)動、勻速及勻變速直線運(yùn)動等其他運(yùn)動形式結(jié)合時,往往形成多解,解題時需抓住兩物體運(yùn)動時間的聯(lián)系、運(yùn)動時間與圓周運(yùn)動周期的聯(lián)系.例3.在半徑為R的水平圓板中心軸正上方高為h處，水平拋出一小球，圓板作勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)圓板半徑OA與初速度方向一致時拋出，如圖所示。要使球與圓板只碰一次，且落點(diǎn)為A，則小球的初速度v0為多大？圓板轉(zhuǎn)動的角速度為多大？【答案】，(n0,1, 2,3)?！窘馕觥? 小球做平拋運(yùn)動落到A點(diǎn)所用的時間為，則小球的初速度v0為；要使球與圓板只碰一次，且落點(diǎn)為A，則平拋時間t和圓周運(yùn)動周期T的關(guān)系為t=nT(n0,1,2,3)，又T=2/，所以圓板轉(zhuǎn)動的角速度為 (n0,1,2,3)。 例4.A、B兩物體的質(zhì)量均為m，它們以相同的初速度Vo從如圖所示的位置出發(fā)，A繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，半徑為r。B受到一個水平恒力的作用，那么對B施加的水平恒力的大小、方向必須滿足什么條件，才可使A、B兩物體在某一時刻的速度相同?【答案】（n=0，1，2，） 即:（n=0，1，2，）對B物體,取向左為正方向:F=ma、v0=-v0+at聯(lián)立解得:（n=0，1，2，） 模型演練.如圖所示，滑塊質(zhì)量為m，與水平地面間的動摩擦因數(shù)為0.1，它以的初速度由A點(diǎn)開始向B點(diǎn)滑行，AB=5R，并滑上光滑的半徑為R的圓弧BC，在C點(diǎn)正上方有一離C點(diǎn)高度也為R的旋轉(zhuǎn)平臺，沿平臺直徑方向開有兩個離軸心距離相等的小孔P、Q，旋轉(zhuǎn)時兩孔均能達(dá)到C點(diǎn)的正上方。若滑塊滑過C點(diǎn)后P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺轉(zhuǎn)動的角速度應(yīng)滿足什么條件？【答案】 （n=0，1，2） 【解析】設(shè)滑塊至B點(diǎn)時速度為vB，對滑塊由A點(diǎn)到B點(diǎn)應(yīng)用動能定理有 解得 滑塊從B點(diǎn)開始運(yùn)動后機(jī)構(gòu)能守恒，設(shè)滑塊到達(dá)P處時速度為，則 解得 滑塊穿過P孔后再回到平臺的時間 要想實(shí)現(xiàn)題述過程，需滿足 （n=0，1，2） .圖中M、N是兩個共軸圓筒的橫截面，外筒半徑為R，內(nèi)筒半徑比R小得多，可以忽略不計，筒的兩端是封閉的，兩筒之間抽成真空，兩筒以相同的角速度繞其中心軸線(圖中垂直于紙面)作勻速轉(zhuǎn)動。設(shè)從N筒內(nèi)部可以通過窄縫s(與M筒的軸線平行) 不斷地向外射出兩種不同速率v1和v2的微粒。從s 處射出時的初速度的方向都是沿筒的半徑方向，微粒到達(dá)N筒后就附著在N筒上，如果R、v1和v2都不變，而取某一合適的值，則A有可能使微粒落在N筒上的位置都在a處一條與s 縫平行的窄條上B有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一處如 b處一條與s縫平行的窄條上C有可能使微粒落在N筒上的位置分別在某兩處如b處和c 處與s縫平行的窄條上D只要時間足夠長，N筒上將到處有微粒 【答案】【解析】 微粒從M筒射到N筒的運(yùn)動，在地面參考系中是勻速直線運(yùn)動，在圓筒參考系中是曲線運(yùn)動，而且是不容易研究的曲線運(yùn)動。所以適合采用地面參考系，考慮這個問題。微粒初速度是沿著半徑方向的, 如果內(nèi)外兩個圓筒都是靜止的，那么微粒都落在N筒上a處窄條上。微粒初速度是沿著半徑方向的，在某個微粒從M筒運(yùn)動到N筒的時間內(nèi):如果N筒正好運(yùn)動1周、2周、3周等等, 那么這個微粒仍將落在a處，如果N筒運(yùn)動整數(shù)圈加上角,那么微粒在 N筒上的落點(diǎn)，跟s點(diǎn)之間的圓弧的圓心角為。速度大小相等的若干微粒，運(yùn)動時間都相等，各微粒運(yùn)動期間，圓筒轉(zhuǎn)過的角度都相同，落點(diǎn)跟s點(diǎn)之間的圓弧的圓心角都相同，將落在同一窄條上。如果v1適當(dāng)，使得以v1射出的微粒運(yùn)動期間，圓筒轉(zhuǎn)過整數(shù)圈，如果v2適當(dāng)，使得以v2射出的微粒運(yùn)動期間，圓筒也轉(zhuǎn)過整數(shù)圈(兩個整數(shù)不相等),那么所有微粒都落在a處。于是選項(xiàng)(A)正確。如果v1適當(dāng)，使得以v1射出的微粒運(yùn)動期間，圓筒轉(zhuǎn)過整數(shù)圈加上角度，如果v2適當(dāng)，使得以v2射出的微粒運(yùn)動期間，圓筒轉(zhuǎn)過整數(shù)圈(兩個整數(shù)不相等)加上角度，那么所有微粒都落在同一窄條上，比如b處。于是選項(xiàng)(B)正確。總之, 選項(xiàng)(A)(B)(C)正確，選項(xiàng)(D)錯誤。.如圖所示，一根長為L的均勻細(xì)桿可以繞通過其一端O的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。桿開始時在外力作用下保持水平靜止，桿上距O點(diǎn)為a處有一小物體靜止于桿上。此桿突然在外力作用下以勻角速度順時針轉(zhuǎn)動，結(jié)果經(jīng)一段時間后小物體剛好與桿的A端相碰，設(shè)小物體在空氣中運(yùn)動時沒有翻轉(zhuǎn)。試計算桿轉(zhuǎn)動的角速度應(yīng)取何值？【答案】( L2-a2)-(2+ cos-1)。【解析】 當(dāng)桿轉(zhuǎn)動后，小物體將自由下落，小物體能與桿相碰的過程可能有以下兩種情況：（1）桿的轉(zhuǎn)速較小，小物體經(jīng)過t時間追上桿，則桿轉(zhuǎn)過的角度為=wt，小物體下落的高度為h=gt2；又h=，cos=a/L,聯(lián)立可得(L2-a2)-cos-1。（2）桿的轉(zhuǎn)速較大，桿轉(zhuǎn)過一周后追上小物體，則在小物體下落h=的時間內(nèi)，桿轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)為又cos=a/L，由此可得w=( L2-a2)-(2+ cos-1)。3.圓周運(yùn)動中的動力學(xué)問題(i)水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動勻速圓周運(yùn)動的動力學(xué)特征物體所受合外力大小不變，方向總是指向圓心。解決勻速圓周運(yùn)動問題的方法(I)明確物體做勻速圓周運(yùn)動時軌跡所在有平面、圓心所在的位置(II)選擇做勻速圓周運(yùn)動的物體作為研究對象，分析其受力(III)選取物體運(yùn)動軌跡的半徑所在直線及垂直于半徑兩個方向建立正交坐標(biāo)系(IV)在半徑方向上由Fn=mv2/R或Fn=m2R或Fn=mR列方程、在垂直于半徑方向上列出平衡方向聯(lián)立求解。(V)當(dāng)物公受兩個力作用時,也可用合成法作出平行四邊形,由圖中幾何關(guān)系列出平衡方向及動力學(xué)方程.水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動的幾種典型組成元素情景(如圖1所示)(I)圖乙中包括套在水平桿上的球,將甲乙情景相結(jié)合的情景最常見(II)丙圖中還有由兩根繩控制的圓錐擺情形(III)丁圖中所示是接觸面光滑或是一種無摩擦的臨界狀態(tài)丁圖中包括汽車(或火車)轉(zhuǎn)彎、物體在球形槽內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動等(IV)己圖中也有用平行于錐面的繩約束物體的情形.水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動的臨界狀態(tài)(I)繩形成的臨界狀態(tài)有兩種:張力最小時(等于零)的即將松弛狀態(tài)與張力最大時即將斷裂的狀態(tài).(II)接觸面形成的臨界狀態(tài)也有兩種:一是即將分離時的彈力為零狀態(tài);二是即將發(fā)生相對滑動時的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力的狀態(tài)或是靜摩擦力方向即將改變即恰好為零的狀態(tài).動態(tài)分析方法(I)分析物體受力,在沿半徑方向上列出動力學(xué)方程,在垂直于半徑方向上列出平衡方程.(II)確定方程中的不變量與變化量(III)由兩個方程分析變量的變化情況,需注意變量的取值范圍.類"雙星"運(yùn)動兩個物體在相互間力的作用下，繞著它們的中心連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動,與天體運(yùn)動中的"雙星"模型類似。（I）兩個物體做勻速圓周運(yùn)動的周期T相同、頻率f相同、角速度相同.(II)兩物體運(yùn)動的軌跡半徑與其質(zhì)量成反比,從而線速度大小、向心加速度大小也與其軌跡半徑成反比.圓錐擺模型細(xì)線一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，細(xì)線在空中劃出一個圓錐面，這樣的裝置叫做“圓錐擺”.由圖1 丙可得:、由此可知：(I)當(dāng)懸線長度l一定時，即懸線與豎直方向的夾角隨著小球角速度的增大而增大、懸線中張力增大。(II)若懸線的長度l和懸線與豎直方向的夾角均不相同，但是l和cos的乘積l cos相同，則角速度就相同，乘積l cos實(shí)際上就等于小球到懸點(diǎn)在豎直方向上的距離。即：如果有若干圓錐擺，即使小球質(zhì)量m和懸線長度l各不相同，只要小球做圓周運(yùn)動所在的平面到懸點(diǎn)的距離相同，那么它做勻速圓周運(yùn)動的角速度就一定相同。 (III)小球做圓錐擺運(yùn)動的角速度有一個最小值。當(dāng)懸線與豎直方向的夾角00時，得到角速度0，這是角速度的一個臨界值，也就是小球做圓錐擺運(yùn)動的角速度的最小值。即只有當(dāng)0時，懸線才會被拉直，小球在水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)動；如果0，小球不會在水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)動（這種情況下，如果懸線上端是固定的一根旋轉(zhuǎn)的豎直桿上的話，懸線將會纏繞在豎直桿上，然后小球隨桿一起轉(zhuǎn)動，如圖2所示）。 (IV)在圖3中,由豎直方向上的平衡方程及水平方向上的動力學(xué)方程可得:當(dāng)時,小球不會在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，此時兩根細(xì)線小球?qū)⒕p繞在豎直桿上，小球隨桿一起轉(zhuǎn)動，類似于圖2;當(dāng)時,細(xì)線AB將被拉緊，而細(xì)線BC則處于松弛狀態(tài),細(xì)線AB中張力隨增大而增大;當(dāng)時,圖中AB、BC兩線都被拉緊.兩線中張力隨的變化情況是:增大時,AB線中張力甲圖中增大、乙圖中減小、丙圖中不變;BC線中張力都增大.當(dāng)時,甲丙兩圖中兩線仍是拉緊的,乙圖中BC拉緊AB松弛.拉緊的線中張力都是隨的增大而增大的.例5.如圖所示，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘A、B，相距=0.1m。長L=1m的柔軟細(xì)線一端拴在A上，另一端拴住一個質(zhì)量為500g的小球。小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)。把細(xì)線拉直，給小球以2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動。由于釘子B的存在，使細(xì)線逐步纏在A、B上。若細(xì)線能承受的最大張力，則從開始運(yùn)動到細(xì)線斷裂歷時多長？【答案】.s設(shè)運(yùn)動n個半圈后，繩子的拉力達(dá)到細(xì)線能承受的最大張力，由得： 所以小球運(yùn)動8個半周后，細(xì)繩就要斷裂，故開始運(yùn)動到細(xì)線斷裂的時間為： 例6.如圖所示，兩物塊A、B套在水平粗糙的CD桿上，并用不可伸長的輕繩連接，整個裝置能繞過CD中點(diǎn)的軸OO1轉(zhuǎn)動，已知兩物塊質(zhì)量相等，桿CD對物塊A、B的最大靜摩擦力大小相等，開始時繩子處于自然長度(繩子恰好伸直但無彈力)，物塊B到OO1軸的距離為物塊A到OO1軸距離的兩倍，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動，使轉(zhuǎn)速逐漸緩慢增大，在繩子從處于自然長度到兩物塊A、B即將滑動的過程中，下列說法正確的是 AB受到的靜摩擦力一直增大BB受到的靜摩擦力是先增大，后保持不變CA受到的靜摩擦力是先增大后減小DA受到的合外力一直在增大【答案】【解析】:在開始轉(zhuǎn)動的最初階段中,兩物體所需向心力均由靜摩擦力提供,即,兩物體所受摩擦力均隨轉(zhuǎn)速的增大而增大.由于,任一時刻B所需向心力為A的2倍,而桿對AB的最大靜摩擦力相同,故B與桿之間的摩擦力先達(dá)到最大值,此時繩中開始產(chǎn)生張力T,此后B與桿間的靜摩擦力大小保持不變.對B由牛頓第二定律有:,可知轉(zhuǎn)速增大時繩中張力T增大;對A有:,結(jié)合上式可得:,可見當(dāng)轉(zhuǎn)速增大時,桿對A的摩擦力又開始減小,當(dāng)桿對A的摩擦力減小到零后再反向開始增大,當(dāng)桿對A的靜摩擦力也達(dá)到最大值后AB兩物體開始滑動.由上述分析可知在整個過程中,A所受的摩擦力大小是先增大再減小再增大,而B受靜摩擦力大小是先增大后不變,ABC中只有B正確.再由可知AB所受合力都是一直在增大的,D也正確.例7.如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸OO/轉(zhuǎn)動，同內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點(diǎn)的高度為筒高的一半，內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊，求：當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁A點(diǎn)受到的摩擦力和支持力的大?。划?dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動，且其所受到的摩擦力為零時，筒轉(zhuǎn)動的角速度【答案】R2H2(mgH)，R2H2(mgR) R(2gH).【解析】(1)物塊靜止時，對物塊進(jìn)行受力分析如圖甲所示，設(shè)筒壁與水平面的夾角為.由平衡條件有Ffmgsin FNmgcos (2)分析此時物塊受力如圖乙所示，由牛頓第二定律有mgtanmr2.其中tanR(H)，r2(R)，可得R(2gH). 例8 有一種叫“飛椅”的游樂項(xiàng)目，示意圖如圖所示，長為L的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑為r的水平轉(zhuǎn)盤邊緣，轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度勻速轉(zhuǎn)動時，鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾角為，不計鋼繩的重力，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度與夾角的關(guān)系【答案】【解析】設(shè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度時，夾角夾角座椅到中心軸的距離： 對座椅分析有： 聯(lián)立兩式 得 例9.如圖所示，AB為豎直轉(zhuǎn)軸，細(xì)繩AC和BC的結(jié)點(diǎn)C系一質(zhì)量為m的小球，兩繩能承擔(dān)的最大拉力均為2mg，當(dāng)AC和BC均拉直時ABC=90°,ACB=53°,ABC能繞豎直軸AB勻速轉(zhuǎn)動，因而C球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，求：（1）當(dāng)m的線速度增大時，AC和BC（BC=1 m）哪條繩先斷？（2）一條繩被拉斷后，m的速率繼續(xù)增加，整個運(yùn)動狀態(tài)會發(fā)生什么變化？【答案】（）BC繩（）見解析【解析】:(1)當(dāng)小球線速度增大到BC被拉直時，AC線拉力=1.25mg.當(dāng)球速再增大時，由于豎直方向上TACsin530=mg,AC繩上的拉力保持不變，再由水平方向上，可知BC線拉力隨球速增大而增大，當(dāng)時，TBC=2mg，故BC繩先斷.例10.甲、乙兩名滑冰運(yùn)動員，m甲80 kg，m乙40 kg，面對面拉著彈簧秤做勻速圓周運(yùn)動的滑冰表演，如圖所示，兩人相距0.9 m，彈簧秤的示數(shù)為864 N，下列判斷中正確的是A兩人的線速度相同，約為40 m/sB兩人的角速度相同，為6 rad/s C兩人的運(yùn)動半徑相同，都是0.45 mD兩人的運(yùn)動半徑不同，甲為0.3 m，乙為0.6 m【答案】【解析】:由于兩人做圓周運(yùn)動所需向心力都是由相互間的拉力提供,方向沿兩人之間的連線,則兩人的連線應(yīng)始終過共同的圓心,進(jìn)而可知兩人轉(zhuǎn)動的角速度一定相同.由、及可得:、,故BD正確.