江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 應(yīng)用題講義（含解析）

江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 應(yīng)用題講義（含解析）“在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，側(cè)重考查能力”是高考的重要意向，而應(yīng)用能力的考查又是近幾年能力考查的重點(diǎn)江蘇卷一直在堅(jiān)持以建模為主所以如何由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模過程的探索應(yīng)是復(fù)習(xí)的關(guān)鍵應(yīng)用題的載體很多，前幾年主要考函數(shù)建模，以三角、導(dǎo)數(shù)、不等式知識(shí)解決問題.2014年應(yīng)用考題(2)可以理解為一次函數(shù)模型，也可以理解為條件不等式模型，這樣在建模上增添新意，還是有趣的；2015、2016年應(yīng)用考題(2)都先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解；2016、2017年應(yīng)用考題是立體幾何模型，2017年應(yīng)用考題需利用空間中的垂直關(guān)系和解三角形的知識(shí)求解；2018年應(yīng)用考題是三角模型，需利用三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解題型(一)函數(shù)模型的構(gòu)建及求解主要考查以構(gòu)建函數(shù)模型為背景的應(yīng)用題，一般常見于經(jīng)濟(jì)問題或立體幾何表面積和體積最值問題中.典例感悟例1(2016·江蘇高考)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P­A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因?yàn)锳1B1AB6，所以正四棱錐P­A1B1C1D1的體積V錐·A1B·PO1×62×224(m3)；正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的體積V柱AB2·O1O62×8288(m3)所以倉(cāng)庫(kù)的容積VV錐V柱24288312(m3)(2)設(shè)A1B1a m，PO1h m，則0h6，O1O4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵赗tPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是倉(cāng)庫(kù)的容積VV柱V錐a2·4ha2·ha2h(36hh3)，0h6，從而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍去)當(dāng)0h2時(shí)，V0，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)2h6時(shí)，V0，V是單調(diào)減函數(shù)故當(dāng)h2時(shí)，V取得極大值，也是最大值因此，當(dāng)PO12 m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大方法技巧解函數(shù)應(yīng)用題的四步驟演練沖關(guān)1(2018·蘇錫常鎮(zhèn)二模)某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量w(單位：百千克)與肥料費(fèi)用x(單位：百元)滿足如下關(guān)系：w4，且投入的肥料費(fèi)用不超過5百元此外，還需要投入其他成本(如施肥的人工費(fèi)等)2x百元已知這種水蜜桃的市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克(即16 百元/百千克)，且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求記該棵水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)(單位：百元)(1)求利潤(rùn)函數(shù)L(x)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：(1)由題意可得，L(x)16x2x643x(0x5)(2)法一：L(x)643x6767243.當(dāng)且僅當(dāng)3(x1)，即x3時(shí)取等號(hào)故L(x)max43.答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4 300元. 法二：由(1)可得L(x)3(0x5)，由L(x)0，得x3. 故當(dāng)x(0,3)時(shí)，L(x)>0，L(x)在(0,3)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(3,5)時(shí)，L(x)<0，L(x)在(3,5)上單調(diào)遞減所以當(dāng)x3時(shí)，L(x)取得極大值，也是最大值，故L(x)maxL(3)43.答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4 300元2.(2018·江蘇六市二調(diào))將一鐵塊高溫熔化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮(如圖)，并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個(gè)矩形(B，C全等)，用來制成一個(gè)柱體現(xiàn)有兩種方案：方案：以l1為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)圓作為圓柱的兩個(gè)底面；方案：以l1為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)正方形(各邊分別與l1或l2垂直)作為正四棱柱的兩個(gè)底面(1)設(shè)B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案制成的圓柱的底面，求底面半徑；(2)設(shè)l1的長(zhǎng)為x dm，則當(dāng)x為多少時(shí)，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大？解：(1)設(shè)所得圓柱的底面半徑為r dm，則(2r2r)×4r100，解得r.(2) 設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a dm，則即 法一：所得正四棱柱的體積Va2x記函數(shù)p(x)則p(x)在(0,2 上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x2時(shí)，p(x)max20.所以當(dāng)x2，a時(shí)，Vmax20 dm3.答：當(dāng)x為2時(shí)，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大法二：由2ax，得a.所得正四棱柱的體積Va2xa220a20.所以當(dāng)a，x2時(shí)，Vmax20 dm3.答：當(dāng)x為2時(shí)，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大題型(二)與三角形、多邊形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題主要考查與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，所建立函數(shù)模型多為三角函數(shù)模型.典例感悟例2(2018·江蘇高考)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚內(nèi)的地塊形狀為CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上設(shè)OC與MN所成的角為.(1)用分別表示矩形ABCD和CDP的面積，并確定sin 的取值范圍；(2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43.求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大解(1)如圖，設(shè)PO的延長(zhǎng)線交MN于點(diǎn)H，則PHMN，所以O(shè)H10.過點(diǎn)O作OEBC于點(diǎn)E，則OEMN，所以COE，故OE40cos ，EC40sin ，則矩形ABCD的面積為2×40cos ·(40sin 10)800(4sin cos cos )，CDP的面積為×2×40cos (4040sin )1 600(cos sin cos )過點(diǎn)N作GNMN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G和K，則GKKN10.連結(jié)OG，令GOK0，則sin 0，0.當(dāng)時(shí)，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sin 的取值范圍是.答：矩形ABCD的面積為800(4sin cos cos )平方米，CDP的面積為1 600(cos sin cos )平方米，sin 的取值范圍是.(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k(k>0)，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k0)，則年總產(chǎn)值為4k×800(4sin cos cos )3k×1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，.設(shè)f()sin cos cos ，則f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1)令f()0，得，當(dāng)時(shí)，f()0，所以f()為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f()0，所以f()為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，f()取到最大值答：當(dāng)時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大方法技巧三角應(yīng)用題的解題策略(1)解三角應(yīng)用題是數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用，要想解決好，就要把實(shí)際問題抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后求解(2)解三角應(yīng)用題常見的兩種情況：實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解(3)三角函數(shù)的值域或最值的求解方法一般有化歸法、換元法、導(dǎo)數(shù)法演練沖關(guān)如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M，N(異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：千米)記AMN.(1)將AN，AM用含的關(guān)系式表示出來；(2)如何設(shè)計(jì)(即AN，AM為多長(zhǎng))，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)?解：(1)由已知得MAN60°，AMN，MN2，在AMN中，由正弦定理得，所以ANsin ，AMsin(120°)sin(60°)(2)在AMP中，由余弦定理可得AP2AM2MP22AM·MP·cosAMPsin2(60°)4sin(60°)cos(60°)1cos(2120°)sin(2120°)4sin(2120°)cos(2120°)sin(2150°)，0120°，當(dāng)且僅當(dāng)2150°270°，即60°時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小，此時(shí)ANAM2.題型(三)與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題主要考查與直線和圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，在航海與建筑規(guī)劃中的實(shí)際問題中常見. 典例感悟例3一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行(1)若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使其用最短時(shí)間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；(參考數(shù)據(jù)：sin 17°，5.744 6)(2)問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由解(1)設(shè)緝私艇在C處與走私船相遇(如圖)，依題意，AC3BC. 在ABC中，由正弦定理得，sinBACsinABC.因?yàn)閟in 17°，所以BAC17°.從而緝私艇應(yīng)向北偏東47°方向追擊. 在ABC中，由余弦定理得，cos 120°，解得BC1.686 15.又B到邊界線l的距離為3.84sin 30°1.8.因?yàn)?.686 15<1.8，所以能在領(lǐng)海上成功攔截走私船答：緝私艇應(yīng)向北偏東47°方向追擊(2)法一：如圖，設(shè)走私船沿BC方向逃跑，ABC，緝私艇在C處截獲走私船，并設(shè)BCa，則AC3a.由余弦定理得(3a)2a2168acos .即cos ，所以sin ，1a2.所以BCcos(120°)a(2a2)·(a22)·.令ta2，t，再令tcos ，0°180°.則BCcos(120°)t·cos sin sin(30°)1.75<1.8，所以無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截法二：如圖，以A為原點(diǎn)，正北方向所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.則B(2,2)，設(shè)緝私艇在P(x，y)處(緝私艇恰好截住走私船的位置)與走私船相遇，則3，即3.整理得，22， 所以點(diǎn)P(x，y)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓. 因?yàn)閳A心到領(lǐng)海邊界線l：x3.8的距離為1.55，大于圓的半徑，所以緝私艇能在領(lǐng)海內(nèi)截住走私船. 答：緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截走私船方法技巧與圓有關(guān)應(yīng)用題的求解策略(1)在與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題中，有些時(shí)候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程), 從而最終可以利用圓的知識(shí)來求解，如本例，需通過條件到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值3來確定動(dòng)點(diǎn)(攔截點(diǎn))的軌跡是圓(2)與直線和圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般都可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系或者轉(zhuǎn)化為直線和圓中的最值問題演練沖關(guān)如圖，半圓AOB是某愛國(guó)主義教育基地一景點(diǎn)的平面示意圖，半徑OA的長(zhǎng)為1百米為了保護(hù)景點(diǎn)，基地管理部門從道路l上選取一點(diǎn)C，修建參觀線路CDEF，且CD，DE，EF均與半圓相切，四邊形CDEF是等腰梯形設(shè)DEt百米，記修建每1百米參觀線路的費(fèi)用為f(t)萬(wàn)元，經(jīng)測(cè)算f(t)(1)用t表示線段EF的長(zhǎng)；(2)求修建該參觀線路的最低費(fèi)用解：(1)法一：設(shè)DE與半圓相切于點(diǎn)Q，則由四邊形CDEF是等腰梯形知OQl，DQQE，以O(shè)F所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.由題意得，點(diǎn)E的坐標(biāo)為， 設(shè)直線EF的方程為y1k(k<0)，即kxy1tk0.因?yàn)橹本€EF與半圓相切，所以圓心O到直線EF的距離為1，解得k.代入y1k可得，點(diǎn)F的坐標(biāo)為.所以EF ，即EF(0<t<2)法二：設(shè)EF切圓O于點(diǎn)G，連結(jié)OG，過點(diǎn)E作EHAB，垂足為H.因?yàn)镋HOG，OFGEFH，GOFHEF，所以RtEHFRtOGF，所以HFFGEFt.由EF21HF212, 解得EF(0<t<2)答：EF的長(zhǎng)為百米(2)設(shè)修建該參觀線路的費(fèi)用為y萬(wàn)元當(dāng)0<t時(shí)，y55，由y5<0，得y在上單調(diào)遞減所以當(dāng)t時(shí)，y取最小值為32.5.當(dāng)<t<2時(shí)，y12t，所以y12，因?yàn)?lt;t<2，所以3t23t1>0，所以當(dāng)t時(shí)，y<0；當(dāng)t(1,2)時(shí)，y>0，所以y在上單調(diào)遞減；在(1,2)上單調(diào)遞增所以當(dāng)t1時(shí)，y取最小值為24.5.由知，y取最小值為24.5.答：修建該參觀線路的最低費(fèi)用為24.5萬(wàn)元. A組大題保分練1.在一個(gè)矩形體育館的一角MAN內(nèi)(如圖所示)，用長(zhǎng)為a的圍欄設(shè)置一個(gè)運(yùn)動(dòng)器材儲(chǔ)存區(qū)域，已知B是墻角線AM上的一點(diǎn)，C是墻角線AN上的一點(diǎn)(1)若BCa10，求儲(chǔ)存區(qū)域ABC面積的最大值；(2)若ABAC10，在折線MBCN內(nèi)選一點(diǎn)D，使DBDCa20，求儲(chǔ)存區(qū)域四邊形DBAC面積的最大值解：(1)設(shè)ABx，則AC ，所以SABCx ×5025，當(dāng)且僅當(dāng)x2100x2，即x5時(shí)取等號(hào)，所以SABC取得最大值為25.(2)由DBDC20知點(diǎn)D在以B，C為焦點(diǎn)的橢圓上因?yàn)镾ABC×10×1050，所以要使四邊形DBAC的面積最大，只需DBC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點(diǎn)由BC10得短半軸長(zhǎng)為5，所以SDBC的最大值為×10×550.因此四邊形DBAC面積的最大值為100.2.某地?cái)M建一座長(zhǎng)為640米的大橋AB，假設(shè)橋墩等距離分布，經(jīng)設(shè)計(jì)部門測(cè)算，兩端橋墩A，B造價(jià)總共為100萬(wàn)元，當(dāng)相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米時(shí)(其中64<x<100)，中間每個(gè)橋墩的平均造價(jià)為 萬(wàn)元，橋面每1米長(zhǎng)的平均造價(jià)為萬(wàn)元(1)試將橋的總造價(jià)表示為x的函數(shù)f(x)；(2)為使橋的總造價(jià)最低，試問這座大橋中間(兩端橋墩A，B除外)應(yīng)建多少個(gè)橋墩？解：(1)由橋的總長(zhǎng)為640米，相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米，知中間共有個(gè)橋墩，于是橋的總造價(jià)f(x)640100，即f(x)xxx1 380xxx1 380(64<x<100)(2)由(1)可求f(x)xxx，整理得f(x)x(9x280x640×80)，由f(x)0，解得x180，x2(舍)，又當(dāng)x(64,80)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(80,100)時(shí)，f(x)>0，所以當(dāng)x80時(shí)，橋的總造價(jià)最低，此時(shí)橋墩數(shù)為17.3如圖所示，有兩條道路OM與ON，MON60°，現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道OA，OB，AB(其中A，B分別在OM，ON上)，若下水管道的總長(zhǎng)度為3 km.設(shè)OAa km，OBb km.(1)求b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并指出a的取值范圍；(2)已知點(diǎn)P處有一個(gè)污水總管的接口，點(diǎn)P到OM的距離PH為 km，到點(diǎn)O的距離PO為 km，問下水管道AB能否經(jīng)過污水總管的接口點(diǎn)P？若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說明理由解：(1)OAOBAB3，AB3ab.MON60°，由余弦定理，得AB2a2b22abcos 60°.(3ab)2a2b2ab.整理，得b.由a>0，b>0,3ab>0，及ab>3ab，a3ab>b，b3ab>a，得0<a<.綜上，b，0<a<.(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OM為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系PH，PO，點(diǎn)P.假設(shè)AB過點(diǎn)P，A(a,0)，B，即B，直線AP方程為y(xa)，即y(xa)將點(diǎn)B代入，得·.化簡(jiǎn)，得6a210a30.a.a.答：下水管道AB能經(jīng)過污水總管的接口點(diǎn)P，此時(shí)a (km)4(2018·南京、鹽城二模)在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖)設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，其中ab.(1)當(dāng)a90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值解：(1)因?yàn)榫匦渭埌錋BCD的面積為3 600，故當(dāng)a90時(shí)，b40，從而包裝盒子的側(cè)面積S2×x(902x)2×x(402x)8x2260x，x(0,20)因?yàn)镾8x2260x8(x16.25)22 112.5，故當(dāng)x16.25時(shí)，紙盒側(cè)面積最大，最大值為2 112.5平方厘米(2)包裝盒子的體積V(a2x)(b2x)xxab2(ab)x4x2，x，b60. Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3 600240x4x2)4x3240x23 600x，當(dāng)且僅當(dāng)ab60時(shí)等號(hào)成立設(shè)f(x)4x3240x23 600x，x(0,30)則f(x)12(x10)(x30)于是當(dāng)0x10時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0,10)上單調(diào)遞增；當(dāng)10x30時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(10,30)上單調(diào)遞減因此當(dāng)x10時(shí)，f(x)有最大值f(10)16 000，此時(shí)ab60，x10.答：當(dāng)ab60，x10時(shí)紙盒的體積最大，最大值為16 000立方厘米B組大題增分練1(2018·常州期末)已知小明(如圖中AB所示)身高1.8米，路燈OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分別與地面交于點(diǎn)A，O.點(diǎn)光源從M發(fā)出，小明在地面上的影子記作AB.(1)小明沿著圓心為O，半徑為3米的圓周在地面上走一圈，求AB掃過的圖形面積；(2)若OA3米，小明從A出發(fā)，以1米/秒的速度沿線段AA1走到A1，OAA1，且AA110米，如圖所示t秒時(shí)，小明在地面上的影子長(zhǎng)度記為f(t)(單位：米)，求f(t)的表達(dá)式與最小值解： (1) 由題意ABOM，OA3，所以O(shè)B6.小明在地面上的身影AB掃過的圖形是圓環(huán)，其面積為×62×3227(平方米)(2) 經(jīng)過t秒，小明走到了A0處，身影為A0B0，由(1)知，所以f(t)A0B0OA0，化簡(jiǎn)得f(t) ，0<t10，當(dāng)t時(shí)，f(t)的最小值為.答：f(t) ，0<t10，當(dāng)t(秒)時(shí)，f(t)的最小值為(米)2.(2018·南通、泰州一調(diào))如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)6 m，寬2 m的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C，D分別落在直線BC下方點(diǎn)M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P)，再沿直線PE裁剪(1)當(dāng)EFP時(shí)，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說明理由解：(1)當(dāng)EFP時(shí)，由條件得EFPEFDFEP，所以FPE，即FNBC，所以四邊形MNPE為矩形，此時(shí)PNFNPF321 (m)，所以四邊形MNPE的面積SPN·MN2(m2). (2)法一：設(shè)EFD，由條件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.由得所以四邊形MNPE面積為S(NPME)MN×266662 62.當(dāng)且僅當(dāng)tan ，即tan ，時(shí)取“”此時(shí)，(*)成立答：當(dāng)EFD時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE的面積最大，最大值為m2. 法二：設(shè)BEt m,3<t<6，則ME6t.因?yàn)镋FPEFDFEP，所以PEPF，即 tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t. 由得所以四邊形MNPE面積為S(NPME)MN×2662.當(dāng)且僅當(dāng)(t3)，即t33時(shí)取“”. 此時(shí)，(*)成立答：當(dāng)點(diǎn)E距B點(diǎn)3 m時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE的面積最大，最大值為(62)m2.3.(2018·揚(yáng)州期末)如圖，射線OA和OB均為筆直的公路，扇形OPQ區(qū)域(含邊界)是一蔬菜種植園，其中P，Q分別在射線OA和OB上經(jīng)測(cè)量得，扇形OPQ的圓心角(即POQ)為、半徑為1千米，為了方便菜農(nóng)經(jīng)營(yíng)，打算在扇形OPQ區(qū)域外修建一條公路MN，分別與射線OA，OB交于M，N兩點(diǎn)，并要求MN與扇形弧相切于點(diǎn)S.設(shè)POS(單位：弧度)，假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì)(1) 試將公路MN的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；(2) 試確定的值，使得公路MN的長(zhǎng)度最小，并求出其最小值解：(1) 因?yàn)镸N與扇形弧相切于點(diǎn)S，所以O(shè)SMN.在RtOSM中，因?yàn)镺S1，MOS，所以SMtan .在RtOSN中，NOS，所以SNtan，所以MNtan tan，其中<<.(2) 法一：(基本不等式) 因?yàn)?lt;<，所以tan 1>0.令ttan 1>0，則tan (t1)，所以MN.由基本不等式得MN·2，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t2時(shí)取“”此時(shí)tan ，由于<<，故.答：當(dāng)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，為2千米法二：(三角函數(shù)) MN.因?yàn)?lt;<，所以<2<，故<sin1，所以當(dāng)sin1，即時(shí)，MNmin2.答：當(dāng)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，為2千米4.如圖，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路最初規(guī)劃在拐角處(圖中陰影部分)只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.問：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短？解：法一：如圖，分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy，則C(1,1)設(shè)A(a,0)，B(0，b)(0a1,0b1)，則直線AB方程為1，即bxayab0.因?yàn)锳B與圓C相切，所以1.化簡(jiǎn)得ab2(ab)20，即ab2(ab)2.因此AB .因?yàn)?a1,0b1，所以0ab2，于是AB2(ab)又ab2(ab)22，解得0ab42，或ab42(舍去)所以AB2(ab)2(42)22，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào)，所以AB最小值為22，此時(shí)ab2.故當(dāng)A，B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2(百米)時(shí)，小道AB最短法二：如圖，設(shè)圓C與道路1，道路2，AB的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，D，連結(jié)CE，CA，CD，CB，CF.設(shè)DCE，則DCF.在RtCDA中，ADtan.在RtCDB中，BDtan.所以ABADBDtantantan.令ttan，0t1，則ABf(t)tt1222，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)取等號(hào)所以AB最小值為22，此時(shí)A，B兩點(diǎn)離兩條道路交點(diǎn)的距離是1(1)2.故當(dāng)A，B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2(百米)時(shí)，小道AB最短