高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)27二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（含解析）

高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)27 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（含解析）一、選擇題1. (xx·湖北高考文科·T4)若變量x,y滿足約束條件錯(cuò)誤！未找到引用源。則2x+y的最大值是()A.2 B.4 C.7 D.8【解題提示】根據(jù)已知的約束條件畫(huà)出滿足約束條件的可行域,再用角點(diǎn)法,求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【解析】選C. 滿足約束條件的可行域如下圖中陰影部分所示：目標(biāo)函數(shù)z=2x+y,即y=-2x+z,顯然,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)z的值最大,最大值為7.2.(xx·廣東高考文科·T4)若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值等于()A.7 B.8 C.10 D.11【解題提示】畫(huà)出可行域,標(biāo)出邊界點(diǎn),目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)動(dòng)直線的斜率為-2.【解析】選C.作出可行域OABCD是3×4的矩形去掉一個(gè)1×2的直角三角形,其中B(2,3),C(4,2),所以當(dāng)動(dòng)直線z=2x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(4,2)時(shí)取得最大值10.3.(xx·廣東高考理科)若變量x,y滿足約束條件且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n,則m-n=()A.5 B.6 C.7 D.8【解題提示】畫(huà)出可行域,標(biāo)出邊界點(diǎn),目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)動(dòng)直線的斜率為-2.【解析】選B.如圖,可行域是以A,B(-1,-1),C(2,-1)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,所以當(dāng)動(dòng)直線z=2x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,-1)時(shí)取得最大值3,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1,-1)時(shí)取得最小值-3,所以m-n=6.4.（xx·福建高考文科·11）11已知圓，設(shè)平面區(qū)域，若圓心,且圓C與x軸相切，則的最大值為 （ ）【解題指南】畫(huà)出可行域，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解【解析】由圓C 與x 軸相切可知，b=1又圓心C（a,b）在平面區(qū)域（如圖2）內(nèi)，由，解得；由，解得故所以當(dāng)時(shí)，取最大值為375. （xx·山東高考理科·9）已知滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（ ）A、5 B、4 C、 D、2【解題指南】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，再利用兩點(diǎn)間距離公式的幾何意義求解.【解析】選B.解方程組求得交點(diǎn)為，則，的最小值即為在直線上找一點(diǎn)使得它到原點(diǎn)的距離平方最小.即求點(diǎn)到直線的距離的平方為.6. （xx·山東高考文科·10）與(xx·山東高考理科·9）相同已知滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（ ）A、5 B、4 C、 D、2【解題指南】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，再利用兩點(diǎn)間距離公式的幾何意義求解.【解析】選B.解方程組求得交點(diǎn)為，則，的最小值即為在直線上找一點(diǎn)使得它到原點(diǎn)的距離平方最小.即求點(diǎn)到直線的距離的平方為.7. （xx·天津高考文科·2同xx·天津高考理科·2）設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】選B. 由得。作出可行域如圖，A平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小，由，得，即代入，得. 8.（xx·安徽高考理科·5）滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A, B. C.2或1 D.【解題提示】 畫(huà)出線性約束條件的圖像，數(shù)形結(jié)合判斷?！窘馕觥窟xD.由線性約束條件可得其圖象如圖所示，由圖象可知直線經(jīng)過(guò)AB或AC時(shí)取得最大值的最優(yōu)解不唯一，此時(shí)a=2或-19. (xx·新課標(biāo)全國(guó)卷高考文科數(shù)學(xué)·T9) 設(shè)x,y滿足約束條件則z=x+2y的最大值為()A.8 B.7 C.2 D.1【解題提示】結(jié)合約束條件,畫(huà)出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式,平移得最大值.【解析】選B.畫(huà)可行區(qū)域知為三角形,可以代值.兩兩求解,得三點(diǎn)坐標(biāo)(1,0),(3,2),(0,1).代入z=x+2y,則最大值為7.故選B.10. (xx·新課標(biāo)全國(guó)卷高考理科數(shù)學(xué)·T9)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為 ()A.10 B.8 C.3 D.2【解題提示】結(jié)合約束條件,畫(huà)出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式,平移得最大值.【解析】選B.畫(huà)出區(qū)域,可知區(qū)域?yàn)槿切?經(jīng)比較斜率,可知目標(biāo)函數(shù)z=2x-y在兩條直線x-3y+1=0與x+y-7=0的交點(diǎn)(5,2)處,取得最大值z(mì)=8.故選B.二、填空題11.（xx·湖南高考理科·14）若變量滿足約束條件，且的最小值為6，則 【解題提示】畫(huà)出可行域，把最值點(diǎn)帶入解方程?！窘馕觥咳鐖D，畫(huà)出可行域，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值-6，所以.答案：12. （xx· 湖南高考文科·13）若變量滿足約束條件，則的最大值為_(kāi).【解題提示】畫(huà)出可行域，把最值點(diǎn)帶入求解?！窘馕觥咳鐖D，畫(huà)出可行域，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值7。答案：713.（xx·福建高考理科·11）若變量滿足約束條件則的最小值為_(kāi)【解題指南】先畫(huà)好可行域，對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題，可以考慮直接將可行域的幾個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)直接代入計(jì)算?！窘馕觥慨?huà)出可行域，三個(gè)端點(diǎn)分別為,將坐標(biāo)代入,可得【答案】114. （xx·浙江高考文科·12）若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_；【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，如圖所示：令，解方程組得，解方程組得平移直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)使得取最大值，即，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，取最小值，即，所以的取值范圍是.答案：15.（xx·浙江高考理科·13）當(dāng)實(shí)數(shù)，滿足時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，由得，由圖可知，且在點(diǎn)取得最小值，在點(diǎn)取得最大值，所以，故的取值范圍為答案：16. （xx·遼寧高考文科·1）已知滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi).【解析】畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖，將目標(biāo)函數(shù)化為，顯然直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，.答案：【誤區(qū)警示】避免將二元一次不等式表示的區(qū)域搞錯(cuò),弄清楚直線的斜率的大小與傾斜程度的關(guān)系17. （xx·浙江高考文科·12）若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_；【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，如圖所示：令，解方程組得，解方程組得平移直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)使得取最大值，即，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，取最小值，即，所以的取值范圍是.答案：18.（xx·安徽高考文科·13）不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)【解題提示】正確畫(huà)出平面區(qū)域的可行域是一個(gè)三角形，再數(shù)形結(jié)合計(jì)算面積。【解析】如圖所示可得點(diǎn)A(0，2)，B(2，0),C(8，-2)，根據(jù)圖像計(jì)算可得。答案： 4三、解答題19.(xx·陜西高考文科·T18)(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2),點(diǎn)P(x,y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上,且=m+n.(m,nR).(1)若m=n=,求.(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.【解題指南】(1)先利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得向量坐標(biāo),代入已知關(guān)系式,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知轉(zhuǎn)化求得m-n與x,y的關(guān)系,再利用平面直角坐標(biāo)系中簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題求其最值.【解析】(1)因?yàn)閙=n=,=(1,2),=(2,1),所以=+=(1,2)+(2,1)=(2,2),所以|=2.(2)因?yàn)?m+n,所以(x,y)=(m+2n,2m+n),所以兩式相減得,m-n=y-x,令y-x=t,由圖知,當(dāng)直線y=x+t過(guò)點(diǎn)B(2,2)時(shí),t取得最大值1,故m-n的最大值為1.20.(xx·陜西高考理科·T18)(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2),點(diǎn)P(x,y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.(1)若+=0,求.(2)設(shè)=m+n(m,nR),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.【解題指南】(1)先利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得向量坐標(biāo),代入已知關(guān)系式得點(diǎn)P坐標(biāo),再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知轉(zhuǎn)化求得m-n與x,y的關(guān)系,再利用平面直角坐標(biāo)系中簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題求其最值.【解析】(1)因?yàn)?=0,又+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以解得x=2,y=2,即=(2,2),故|=2.(2)因?yàn)?m+n,所以(x,y)=(m+2n,2m+n),所以兩式相減得,m-n=y-x,令y-x=t,由圖知,當(dāng)直線y=x+t過(guò)點(diǎn)B(2,2)時(shí),t取得最大值1,故m-n的最大值為1.