江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題學(xué)案

江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第3講 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題學(xué)案考情考向分析函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合問題，主要是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題、函數(shù)零點(diǎn)問題、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題等，一般需要研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，注重?cái)?shù)學(xué)思想的考查B級(jí)要求，題目難度較大熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題例1已知函數(shù)f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)對(duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：對(duì)一切x(0，)，ln x>恒成立(1)解由題意知2xln xx2ax3對(duì)一切x(0，)恒成立，則a2ln xx.設(shè)h(x)2ln xx(x>0)，則h(x)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1)4.因?yàn)閷?duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，4(2)證明問題等價(jià)于證明xln x>(x(0，)恒成立又f(x)xln x，f(x)ln x1，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)minf .設(shè)m(x)(x(0，)，則m(x)，易知m(x)maxm(1)，從而對(duì)一切x(0，)，ln x>恒成立思維升華利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可以分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題跟蹤演練1已知函數(shù)f(x)ln xax2x，aR.(1)若f(1)0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)ax1恒成立，求整數(shù)a的最小值解(1)因?yàn)閒(1)10，所以a2，此時(shí)f(x)ln xx2x(x>0)，f(x)2x1(x>0)由f(x)<0，得2x2x1>0，解得x<或x>1.又因?yàn)閤>0，所以x>1.所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，)(2)方法一由f(x)ax1恒成立，得ln xax2xax1在(0，)上恒成立，問題等價(jià)于a在(0，)上恒成立令g(x)(x0)，只需ag(x)max即可又g(x)，令g(x)0，得xln x0.設(shè)h(x)xln x(x0)，因?yàn)閔(x)<0，所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)xln x0的根為x0.當(dāng)x(0，x0)時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在(0，x0)上是增函數(shù)，在(x0，)上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(x0).因?yàn)閔ln 2>0，h(1)<0，所以<x0<1，此時(shí)1<<2，即g(x)max(1,2)，所以a2，即整數(shù)a的最小值為2.方法二令g(x)f(x)(ax1)ln xax2(1a)x1，所以g(x)ax(1a).當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閤>0，所以g(x)>0，所以g(x)在(0，)上是增函數(shù)又因?yàn)間(1)ln 1a(1a)1a2>0，所以關(guān)于x的不等式f(x)ax1不能恒成立當(dāng)a>0時(shí)，g(x).令g(x)0，得x.所以當(dāng)x時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x時(shí)，g(x)<0，因此函數(shù)g(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)故函數(shù)g(x)的最大值為gln a×2(1a)×1ln a.令h(a)ln a，因?yàn)閔(1)>0，h(2)ln 2<0，又h(a)在(0，)上是減函數(shù)，所以當(dāng)a2時(shí)，h(a)<0，所以整數(shù)a的最小值為2.熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際應(yīng)用問題例2(2015·江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度解(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20,2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B點(diǎn)，又y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5,20設(shè)g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當(dāng)t(5,10)時(shí)，g(t)0，g(t)是減函數(shù)；當(dāng)t(10，20)時(shí)，g(t)0，g(t)是增函數(shù)所以當(dāng)t10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時(shí)f(t)min15.答當(dāng)t10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米思維升華利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟(1)建模：分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值(4)結(jié)論：回歸實(shí)際問題作答跟蹤演練2如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1 km，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo) (1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2 km，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20.由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)所以炮的最大射程為10 km.答炮的最大射程為10 km.(2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根(20a)24a2(a264)00<a6.所以當(dāng)a不超過6 km時(shí)，可擊中目標(biāo)答當(dāng)橫坐標(biāo)a不超過6 km時(shí)，炮彈可以擊中飛行物熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題例3已知函數(shù)f(x)xln x，g(x)x2ax2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aR)(1)判斷曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與曲線yg(x)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)x時(shí)，若函數(shù)yf(x)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍解(1)f(x)ln x1，所以切線斜率kf(1)1.又f(1)0，所以曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為yx1.由得x2(1a)x10.由(1a)24a22a3(a1)(a3)可知，當(dāng)0，即a1或a3時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0，即a1或a3時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0，即1a3時(shí)，沒有公共點(diǎn)(2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，x，由y0，得axln x.令h(x)xln x，x，則h(x).當(dāng)x時(shí)，由h(x)0，得x1.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在1，e上單調(diào)遞增，因此h(x)minh(1)3.由h2e1，h(e)e1，比較可知hh(e)，所以，結(jié)合函數(shù)圖象，可得當(dāng)3ae1時(shí)，函數(shù)yf(x)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)思維升華(1)研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)，歸根到底還是研究函數(shù)的圖象，如單調(diào)性、值域、與x軸的交點(diǎn)等(2)由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，一般要根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象，構(gòu)造滿足問題的不等式求解跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR)(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)2ln xx22x(x0)，f(x)2x2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m，則g(x)2x.因?yàn)閤，所以當(dāng)g(x)0時(shí)，x1.當(dāng)<x<1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)1<x<e時(shí)，g(x)<0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e2<0，則g(e)<g，所以g(x)在上的最小值是g(e)所以g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是解得1<m2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.1(2018·江蘇)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚內(nèi)的地塊形狀為CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上設(shè)OC與MN所成的角為.(1)用分別表示矩形ABCD和CDP的面積，并確定sin 的取值范圍；(2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43.求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大解(1)如圖，設(shè)PO的延長(zhǎng)線交MN于點(diǎn)H，則PHMN，所以O(shè)H10.過點(diǎn)O作OEBC于點(diǎn)E，則OEMN，所以COE，故OE40cos ，EC40sin ，則矩形ABCD的面積為2×40cos ·(40sin 10)800(4sin cos cos )，CDP的面積為×2×40cos (4040sin )1 600(cos sin cos )過點(diǎn)N作GNMN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G和K，則GKKN10.令GOK0，則sin 0，0.當(dāng)時(shí)，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sin 的取值范圍是.答矩形ABCD的面積為800(4sin cos cos )平方米，CDP的面積為1 600(cos sin cos )平方米，sin 的取值范圍是.(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k0)，則年總產(chǎn)值為4k×800(4sin cos cos )3k×1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，.設(shè)f()sin cos cos ，則f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1)令f()0，得，當(dāng)時(shí)，f()0，所以f()為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f()0，所以f()為減函數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)，f()取到最大值答當(dāng)時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大2已知函數(shù)f(x)在x0處的切線方程為yx.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若對(duì)任意的x(0,2)，都有f(x)<成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)由題意得f(x)，因?yàn)楹瘮?shù)在x0處的切線方程為yx，所以f(0)1，解得a1.(2)由題意知f(x)<對(duì)任意x(0,2)都成立，所以k2xx2>0，即k>x22x對(duì)任意x(0,2)都成立，從而k0.不等式整理可得k<x22x，令g(x)x22x，所以g(x)2(x1)(x1)0，解得x1，當(dāng)x(1,2)時(shí)，g(x)>0，函數(shù)g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，同理可得函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減所以k<g(x)ming(1)e1.綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0，e1)A組專題通關(guān)1設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，且f(0)0，f0，則不等式f(x)0的解集為_答案解析如圖所示，根據(jù)圖象，得不等式f(x)0的解集為.2若不等式2xln xx2ax3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案(，4解析條件可轉(zhuǎn)化為a2ln xx恒成立設(shè)f(x)2ln xx，則f(x)(x0)當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.3函數(shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_答案1解析因?yàn)閒(x)2xln 23x2>0，所以函數(shù)f(x)2xx32在(0,1)上單調(diào)遞增，且f(0)1021<0，f(1)2121>0.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)4若存在正數(shù)x使2x(xa)1成立，則a的取值范圍是_答案(1，)解析2x(xa)1，ax.令f(x)x，則f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)f(0)011，a的取值范圍是(1，)5關(guān)于x的方程x33x2a0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(4,0)解析由題意知使函數(shù)f(x)x33x2a的極大值大于0且極小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值，即f(x)極大值f(0)a；當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極小值，即f(x)極小值f(2)4a，所以解得4<a<0.6已知函數(shù)f(x)x33x29x3，若函數(shù)g(x)f(x)m在x2,5上有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為_答案1,8)解析 f(x)3x26x93(x22x3)3(x1)(x3)，令f(x)0，得x1或x3.當(dāng)x2，1)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1,3)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(3,5時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的極小值為f(3)24，極大值為f(1)8.而f(2)1，f(5)8，函數(shù)圖象大致如圖所示故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)f(x)在2,5內(nèi)的函數(shù)圖象與直線ym有3個(gè)交點(diǎn)，故即m1,8)7已知不等式exxax的解集為P，若0,2P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，e1)解析由題意知不等式exxax在x0,2上恒成立當(dāng)x0時(shí)，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)a，該不等式都成立當(dāng)x(0,2時(shí)，原不等式即a1，令g(x)1，x，則g(x)，當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)1x2時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，故g(x)在(0,2上的最小值為g(1)e1，故a的取值范圍為(，e1)8若函數(shù)f(x)x3x在(t,8t2)上有最大值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案(3，解析因?yàn)閒(x)x21，所以當(dāng)x(，1)和(1，)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，故x1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)又函數(shù)f(x)在(t,8t2)上有最大值，所以t<1<8t2，又f(1)f(2)，且f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，所以f(8t2)f(2)，從而t<1<8t22，得3<t.9已知函數(shù)f(x)ln xx2ax(a為常數(shù))(1)若x1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；(2)當(dāng)0a2時(shí)，試判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若對(duì)任意的a(1,2)，x01,2，不等式f(x0)mln a 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解f(x)2xa.(1)由已知得f(1)0，所以12a0，所以a3，經(jīng)驗(yàn)證符合題意(2)當(dāng)0a2時(shí)，f(x)2xa.因?yàn)?a2，所以10，又x0，即f(x)0，故f(x)在(0，)上是增函數(shù)(3)當(dāng)a(1,2)時(shí)，由(2)知，f(x)在1,2上的最小值為f(1)1a，故問題等價(jià)于對(duì)任意的a(1,2)，不等式1amln a恒成立，即m恒成立記g(a)(1a2)，則g(a).令M(a)aln a1a，則M(a)ln a0，所以M(a)在(1,2)上單調(diào)遞減，所以M(a)M(1)0，故g(a)0，所以g(a)在(1,2)上單調(diào)遞減，所以g(a)g(2)log2e，所以mlog2e，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(，log2e10一家公司計(jì)劃生產(chǎn)某種小型產(chǎn)品的月固定成本為1萬元，每生產(chǎn)1萬件需要再投入2萬元，設(shè)該公司一個(gè)月生產(chǎn)該小型產(chǎn)品x萬件并全部銷售完，每萬件的銷售收入為(4x)萬元，且每萬件國家給予補(bǔ)助萬元(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e是一個(gè)常數(shù))(1)寫出月利潤f(x)(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)月產(chǎn)量在1,2e萬件時(shí)，求該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤最大值(萬元)及此時(shí)的月產(chǎn)量值(萬件)(注：月利潤月銷售收入月國家補(bǔ)助月總成本)解(1)由月利潤月銷售收入月國家補(bǔ)助月總成本，可得f(x)x1x22(e1)x2eln x2(x0)(2)f(x)x22(e1)x2eln x2的定義域?yàn)?,2e，且f(x)2x2(e1)(1x2e)令f(x)0，解得x1或xe.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況列表如下：x1，e)e(e,2ef(x)0f(x)極大值f(e)由上表得f(x)x22(e1)x2eln x2在定義域1,2e上的最大值為f(e)，且f(e)e22.答當(dāng)月產(chǎn)量在1,2e萬件時(shí)，該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤最大值為e22(萬元)，此時(shí)的月產(chǎn)量值為e萬件B組能力提高11已知函數(shù)f(x)ln x(ea)xb，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若不等式f(x)0恒成立，則的最小值為_答案解析由不等式f(x)0恒成立可得f(x)max0.f(x)ea，x>0，當(dāng)ea0，即ae時(shí)，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且x，f(x)，此時(shí)f(x)0不可能恒成立；當(dāng)ea<0，即a>e時(shí)，由f(x)0，得x，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)maxfln(ae)1b0，則bln(ae)1.又a>e，所以，a>e，令aet>0，則，t>0.令g(t)，t>0，則g(t)，由g(t)0，得te，且當(dāng)t(0，e)時(shí)，g(t)<0，g(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t(e，)時(shí)，g(t)>0，g(t)單調(diào)遞增，所以g(t)ming(e)，即，故的最小值為.12若曲線C1：yax2(a>0)與曲線C2：yex在(0，)上存在公共點(diǎn)，則a的取值范圍為_答案解析由題意知方程ax2ex(a>0)在(0，)上有解，則a，x(0，)，令f(x)，x(0，)，則f(x)，x(0，)，由f(x)0得x2，當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，所以當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上有最小值f(2)，所以a.13已知函數(shù)f(x)，關(guān)于x的方程f2(x)2af(x)a10 (aR)有3個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_答案解析f(x)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值f(1)e，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)0，函數(shù)單調(diào)遞增，如圖，畫出函數(shù)的圖象，設(shè)tf(x)，當(dāng)te時(shí)，tf(x)有3個(gè)實(shí)根，當(dāng)te時(shí)，tf(x)有2個(gè)實(shí)根，當(dāng)0<t<e時(shí)，tf(x)有1個(gè)實(shí)根，考慮到原方程的判別式大于零恒成立，所以原方程等價(jià)于t22ata10有2個(gè)相異實(shí)根，其中t1e，t2(0，e)，當(dāng)te時(shí)，e22aea10，解得a，檢驗(yàn)滿足條件14已知不等式(mn)2(mln n)22對(duì)任意mR，n(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_答案1，)解析(mn)2(mln n)2表示點(diǎn)(m，m)與點(diǎn)(n，ln n)之間的距離的平方，而點(diǎn)(m，m)在直線yx上，點(diǎn)(n，ln n)在曲線yln x上，則直線yx上的點(diǎn)與曲線yln x上的點(diǎn)之間的最小距離大于等于，則直線一定在曲線上方，則>1.當(dāng)yln x的切線斜率為1時(shí)，y1，得x1，則yln x在點(diǎn)(1,0)處的切線與yx平行，則點(diǎn)(1,0)到直線yx的距離，得1(3舍去)15已知函數(shù)f(x)2x5ln x，g(x)x2mx4，若存在x1(0,1)，對(duì)任意x21,2，總有f(x1)g(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解題意等價(jià)于f(x)在(0,1)上的最大值大于或等于g(x)在1,2上的最大值f(x)，由f(x)0，得x或x2.當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，所以在(0,1)上，f(x)maxf35ln 2.又g(x)在1,2上的最大值為maxg(1)，g(2)，所以有即解得解得m85ln 2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是85ln 2，)16已知函數(shù)f(x)ln x(a0)(1)當(dāng)a2時(shí)，求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式f(x)a對(duì)于x0的一切值恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f(x)ln x，所以f(x)，所以當(dāng)x(0，e)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(e，)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(e，)上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a2時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(e，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，e)(2)由題意知ln xa(x0)恒成立，等價(jià)于xln xae2ax0在(0，)上恒成立令g(x)xln xae2ax，則g(x)ln x1a，令g(x)0，得xea1.當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x(0，ea1)ea1(ea1，)g(x)0g(x)極小值所以g(x)的最小值為g(ea1)(a1)ea1ae2aea1ae2ea1.令t(x)xe2ex1(x0)，則t(x)1ex1，令t(x)0，得x1.當(dāng)x變化時(shí)，t(x)，t(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)t(x)0t(x)極大值所以當(dāng)a(0,1)時(shí)，g(x)的最小值為t(a)t(0)e20，符合題意；當(dāng)a1，)時(shí)，g(x)的最小值為t(a)ae2ea10t(2)，所以a1,2綜上所述，a(0,2